Tarte (matematika)

Matematikan, tartea (erreala) zenbaki errealen multzo bat da, propietate hau betetzen duena: tarteko edozein bi zenbakiren artean dagoen zenbakia ere tartearen barnean dago.

Adibidez, $0\leq x\leq 1$$0\leq x\leq 1$ betetzen duten zenbaki guztien multzoa $0$$0$ eta $1$$1$, eta bitarteko zenbaki guztiak barnean hartzen dituen tartea da. Beste tarte bat $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ da, zenbaki erreal guztien multzoa alegia eta baita multzo hutsa.

Notazioa

$a$$a$ eta $b$$b$ arteko zenbakien tartea, $a$$a$ eta $b$$b$ barnean hartuz, $[a,b]$$[a,b]$ eran adierazten ohi da. $a$$a$ eta $b$$b$ tartearen muturrak dira.

Muturrak kanpoan uzten

Muturren bat multzotik kanpo dagoela adierazteko, idazle batzuek kako zuzenaren ordez parentesia erabiltzen dute. Orduan, honela adierazten dugu:

${\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\(a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}$${\begin{aligned}(a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x<b\},\\{}[a,b)&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x<b\},\\(a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\in \mathbb {R} \,|\,a\leq x\leq b\}.\end{aligned}}$

Oharra: $(a,a)$$(a,a)$, $[a,a)$$[a,a)$, eta $(a,a]$$(a,a]$ multzo hutsa adierazten dute, $[a,a]$$[a,a]$ , berriz, $\{a\}$$\{a\}$ ale bakarreko multzoa da.

ISO notazioa

Nazioarteko estandarrak ISO 31-11 tarteetarako beste notazio bat ere definitzen du. Notazio horrek kako zuzenak baino ez ditu erabiltzen muturrak barruan ala kanpoan dauden adierazteko, honela:

${\begin{aligned}\left]a,b\right[&=\{x\,|\,a<x<b\},\\\left[a,b\right[&=\{x\,|\,a\leq x<b\},\\\left]a,b\right]&=\{x\,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}\end{aligned}}$${\begin{aligned}\left]a,b\right[&=\{x\,|\,a<x<b\},\\\left[a,b\right[&=\{x\,|\,a\leq x<b\},\\\left]a,b\right]&=\{x\,|\,a<x\leq b\},\\{}[a,b]&=\{x\,|\,a\leq x\leq b\}\end{aligned}}$

Sailkapena

Tarteak sailkatzeko bi irispide jarrai ditzakegu: ezaugarri topologikoen arabera (tarte irekiak, itxiak eta erdiirekiak edo erdiitxiak) edo ezaugarri metrikoen arabera (luzera: nulua, finitua ez nulua, edo infinitua).

Hona hemen kasu guztiak, non a ≤ b, x tarteko puntu bat, eta l tartearen luzera diren:

Notazioa	Tartea	Luzera (l)	Deskripzioa
$[a,b]\,$$[a,b]\,$	$a\leq x\leq b$$a\leq x\leq b$	$b-a\,$$b-a\,$	Luzera finituko tarte itxia.
$[a,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ [a,b)\!$$[a,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ [a,b)\!$	$a\leq x<b\!$$a\leq x<b\!$	$b-a\,$$b-a\,$	Tarte itxia a puntuan, irekia b puntuan (erdiitxia, erdiirekia).
$]a,b]\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,b]\!$$]a,b]\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,b]\!$	$a<x\leq b$$a<x\leq b$	$b-a\,$$b-a\,$	Tarte irekia a puntuan, itxia b puntuan.
$]a,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,b)\!$$]a,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,b)\!$	$a<x<b\!$$a<x<b\!$	$b-a\,$$b-a\,$	Tarte irekia.
$]-\infty ,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (-\infty ,b)\!$$]-\infty ,b[\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (-\infty ,b)\!$	$x<b\!$$x<b\!$	$\infty$$\infty$	Tarte (erdi) irekia.
$]-\infty ,b]\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (-\infty ,b]\!$$]-\infty ,b]\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (-\infty ,b]\!$	$x\leq b\!$$x\leq b\!$	$\infty$$\infty$	Tarte (erdi) itxia.
$[a,\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ [a,\infty )\!$$[a,\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ [a,\infty )\!$	$x\geq a\!$$x\geq a\!$	$\infty$$\infty$	Tarte (erdi) itxia.
$]a,\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,\infty )\!$$]a,\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (a,\infty )\!$	$x>a\!$$x>a\!$	$\infty$$\infty$	Tarte (erdi) irekia.
$]\infty ,+\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (\infty ,+\infty )\!$$]\infty ,+\infty [\ \ \mathrm {\ edo} \ \ (\infty ,+\infty )\!$	$x\in \mathbb {R} \!$$x\in \mathbb {R} \!$	$\infty$$\infty$	Aldi berean tarte irekia eta itxia.
$\{a\}\!$$\{a\}\!$	$x=a\!$$x=a\!$	$0\!$$0\!$	luzera nuluko tarte itxia. Ale bakarreko multzoa da.
$\{\}=\emptyset \!$$\{\}=\emptyset \!$	x ez da existitzen	Luzerarik gabe	Multzo hutsa.

Kanpo loturak

• Tarteen oinarrizko notazioa
• Tarteen notazioa
• Tartea