Tarte (matematika)

Matematikan, tartea (erreala) zenbaki errealen multzo bat da, propietate hau betetzen duena: tarteko edozein bi zenbakiren artean dagoen zenbakia ere tartearen barnean dago.

Adibidez, $0\le x\le 1$ betetzen duten zenbaki guztien multzoa $0$ eta $1$, eta bitarteko zenbaki guztiak barnean hartzen dituen tartea da. Beste tarte bat $\R$ da, zenbaki erreal guztien multzoa alegia eta baita multzo hutsa.

Notazioa

$a$ eta $b$ arteko zenbakien tartea, $a$ eta $b$ barnean hartuz, $[a,b]$ eran adierazten ohi da. $a$ eta $b$ tartearen muturrak dira.

Muturrak kanpoan uzten

Muturren bat multzotik kanpo dagoela adierazteko, idazle batzuek kako zuzenaren ordez parentesia erabiltzen dute. Orduan, honela adierazten dugu:

$\begin{align} (a,b) &= \{x\in\R\,|\,a<x<b\}, \\{} [a,b) &= \{x\in\R\,|\,a\le x<b\}, \\ (a,b] &= \{x\in\R\,|\,a<x\le b\}, \\{} [a,b] &= \{x\in\R\,|\,a\le x\le b\}. \end{align}$

Oharra: $(a,a)$, $[a,a)$, eta $(a,a]$ multzo hutsa adierazten dute, $[a,a]$ , berriz, $\{a\}$ ale bakarreko multzoa da.

ISO notazioa

Nazioarteko estandarrak ISO 31-11 tarteetarako beste notazio bat ere definitzen du. Notazio horrek kako zuzenak baino ez ditu erabiltzen muturrak barruan ala kanpoan dauden adierazteko, honela:

$\begin{align} \left]a,b\right[ &= \{x\,|\, a< x < b\}, \\ \left[a,b\right[ &= \{x\,|\, a\le x < b\}, \\ \left]a,b\right] &= \{x\,|\, a< x \le b\}, \\{} [a,b] &= \{ x \,| \,a \le x \le b \} \end{align}$

Sailkapena

Tarteak sailkatzeko bi irispide jarrai ditzakegu: ezaugarri topologikoen arabera (tarte irekiak, itxiak eta erdiirekiak edo erdiitxiak) edo ezaugarri metrikoen arabera (luzera: nulua, finitua ez nulua, edo infinitua).

Hona hemen kasu guztiak, non a ≤ b, x tarteko puntu bat, eta l tartearen luzera diren:

Notazioa	Tartea	Luzera (l)	Deskripzioa
$[a, b] \,$	$a \le x \le b$	$b-a \,$	Luzera finituko tarte itxia.
$[a, b[ \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ [a, b) \!$	$a \le x < b\!$	$b-a \,$	Tarte itxia a puntuan, irekia b puntuan (erdiitxia, erdiirekia).
$]a, b] \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ (a, b] \!$	$a < x \le b$	$b-a \,$	Tarte irekia a puntuan, itxia b puntuan.
$]a, b[ \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ (a, b) \!$	$a<x<b \!$	$b-a \,$	Tarte irekia.
$]-\infty, b[ \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ (- \infty, b) \!$	$x < b \!$	$\infty$	Tarte (erdi) irekia.
$]-\infty, b] \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ (- \infty, b] \!$	$x \le b \!$	$\infty$	Tarte (erdi) itxia.
$[a, \infty [ \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ [a, \infty ) \!$	$x \ge a \!$	$\infty$	Tarte (erdi) itxia.
$]a, \infty [ \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ (a, \infty ) \!$	$x > a \!$	$\infty$	Tarte (erdi) irekia.
$]\infty, + \infty [ \ \ \mathrm{ \ edo } \ \ (\infty, + \infty ) \!$	$x \in \mathbb{R} \!$	$\infty$	Aldi berean tarte irekia eta itxia.
$\{ a \} \!$	$x=a \!$	$0 \!$	luzera nuluko tarte itxia. Ale bakarreko multzoa da.
$\{\} = \emptyset\!$	x ez da existitzen	Luzerarik gabe	Multzo hutsa.

Kanpo loturak

• Tarteen oinarrizko notazioa
• Tarteen notazioa
• Tartea