Banakuntza binomial

Parametro ezberdinetako banakuntza binomialen probabilitate funtzioak.

Probabilitate teorian, banakuntza binomiala bai edo ez (porrot edo arrakasta ere esaten da) motako emaitzak izan ditzakeen saiakuntza zerrenda batean suertatzen diren baiezko emaitzen kopuruaren probabilitate banakuntza da, guztira n saiakuntza egiten direlarik, eta saiakuntza bakoitzean bai suertatzeko probabilitatea p izanik (ez suertatzeko probabilitatea q=1-p adierazi ohi da). Adibidez, seiko edo dado bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari buruz, edo jaiotako 200 umeetatik zenbat diren mutiko zenbatzean banakuntza binomiala erabiltzen da. Saiakuntza bakoitzari Bernoulliren saiakuntza deritzo eta n saiakuntzako segida Bernoulliren prozesu bat da. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko independentzia da, saiakuntza guztietan bai izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera.

Banakuntza binomialaren probabilitate funtzioa hau da, X baiezkoen emaitza kopurua izanik:

$P(X = x;n,p) = {n\choose x}p^x(1-p)^{n-x}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^x(1-p)^{n-x}\ \ ; \ \ x=0,1,2,\ldots,n$

Labur, zorizko aldagai batek banakuntza binomialari jarraitzen diola honela adierazten da, n eta p parametroak zehaztuz:

$X \sim B\big(n,p\big)$

Adibidez, seiko baten 8 jaurtiketetan suertatzen diren 2 zenbakien kopurua B(n=8,p=1/6) banatzen da; 200 umeetan mutiko kopuruak B(n=200,p=0.5) banakuntza binomialari darraio, bi sexuen probabilitate berdintasuna suposatuz.

B(n,p) banakuntza binomialari jarraitzen dion X zorizko aldagai baten itxaropen matematikoa edo batez bestekoa hau da:

$E\big[X\big]=np$

Bariantza berriz hau da: $var\big[X\big]=npq=np(1-p)$

Moda (n+1)p balioa baino txikiagoa edo berdina den zenbaki oso handiena da. m=(n+1)p balioa zenbaki osoa bada, probabilitate bereko m eta m-1 balioak dira orduan moda.

Erlazioa beste banakuntzekin

• Bernoulliren banakuntza banakuntza binomial bat besterik ez da, n=1 izanik:

$b(p):=B\big(1,p\big)$

• Banakuntza binomiala ugalkorra da, p parametroa konstantea bada:

$X \sim B\big(m,p\big);\ Y \sim B(n,p) \rightarrow X+Y \sim B(m+n,p)$

• De Moivre-Laplace teoremaren arabera, n parametroa aski handia bada (n>30 ezarri ohi da), banakuntza binomiala oso alboratua ez bada (horretarako, np eta n(1-p) balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako jarraitasun zuzenketa egiten bada, banakuntza normala erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:

$B(n,p) \approx N\big(\mu=np,\ \sigma=\sqrt{np(1-p)}\big)$

• Banakuntza binomiala Poissonen banakuntzara hurbiltzen da, n saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, np biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, B(n,p) banakuntza bateko hurbilketa gisa λ= np parametroko Poissonen banakuntza erabil daiteke, n aski handia eta p aski txikia bada. Hurbilketa n ≥ 20 eta p ≤ 0.05 balioetarako zehatza dela esan daiteke, edo baita ere n ≥ 100 eta np ≤ 10 balioetarako.