Banakuntza binomial

Hiru banakuntza binomial desberdin irudikatzen dituen grafikoa. 20 pieza ekoiztuta, izandako pieza akastunen kopuruak (ardatz horizontalean) eta kopuru horri dagokion probabilitateak (zutabeen altuera) zehazten dira. Hiru banakuntza binomialak pieza bakoitza akastun izateko p probabilitateaz bereizten dira: banakuntza urdinean p probabilitate hori 0.1 da eta beraz 20×0.1=2 da probabilitate handieneko akastun kopurua; banakuntza berdean p=0.5 eta beraz 20×0.5=10 da akastun kopuru litekeena da; banakuntza gorrian, azkenik, p=0.8 betetzen da.

Probabilitate teorian, banakuntza binomiala bai edo ez motako emaitzak (arrakasta edo porrota ere esaten da) izan ditzakeen segida batean, Bernoulli prozesu batean hain zuzen, suertatzen diren baiezko edo arrakastazko emaitzen kopuruaren probabilitate banakuntza da. Adibidez, dado bat 8 aldiz botatzerakoan 2 zenbakia atera den aldi kopuruari, jaiotako 200 umeetatik mutiko kopuruari nahiz 20 piezetan pieza akastunen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzean banakuntza binomiala erabiltzen da. Banakuntza binomiala erabiltzeko ezinbesteko baldintza saiakuntza ezberdinen arteko independentzia da, saiakuntza guztietan bai izateko probabilitatea konstantea izatearekin batera. Banakuntza binomialak bi parametro ditu; izan ere, probabilitateak kalkulatzeko aski dira n saiakuntza kopurua eta p aldi bakoitzean arrakasta suertatzeko probabilitatea. Hain zuzen, B(n,p) adierazten da labur banakuntza binomiala. Aplikazioei dagokienean, zorizko laginketa itzuleradunean probabilitateak kalkulatzeko oinarria da. Halaber, banakuntza binomiala froga binomiala burutzeko erabiltzen da.

Definizioa eta ezaugarriak

Probabilitate-funtzioa

Galtonen taula batean, non aldi bakoitzean ezkerrera (Leon) edo eskubira (Kastillo) egiten den, pilota horia dagoen gelaskan bukatzeko lau ibilbide posibleak, kolore desberdinekin irudikatuta. Banakuntza binomialak gelaska jakin batean amaitzeko probabilitatea kalkulatzen du, aukerako ibilbide bakoitzaren probabilitateak batuz, triangeluen lerro kopuru (n parametroa, alegia) eta triangelu bakoitzean leon edo kastillo egiteko probabilitate finko (p parametroa) jakinetarako.

Banakuntza binomiala, labur $\scriptstyle B(n,p)$ adierazten dena, probabilitate funtzio honi jarraiki banatzen den probabilitate banakuntza da, n saiakuntzako Bernoulli prozesu batean, x arrakasta izateko probabilitatea ematen duena, p saiakuntza bakoitzean arrakasta izateko probabilitatea eta $\scriptstyle {n \choose x}$ koefiziente binomiala izanik::

$P(X = x;n,p) = {n\choose x}p^xq^{n-x}=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^x(1-p)^{n-x}\ \ ; \ \ x=0,1,2,\ldots,n$

Adibidez, dado baten 4 jaurtiketetan suertatzen diren 2 zenbakien kopurua $\scriptstyle B(n=4,p=1/6)$ banatzen da. 4 jaurtiketa horietan 2 zenbakia hiru aldiz agertzeko probabilitatea honela kalkulatzen da, aldi bakoitzean 2 zenbakia suertatzeko probabilittea 1/6=0.166 izanik:

$P(X = 3;4,1/6) = \frac{4!}{3!1!}\Bigg(\frac{1}{6}\Bigg)^3\Bigg(\frac{5}{6}\Bigg)^1=0.0154$

Horrela, 4 aldietatik hirutan 2 suertatzea nahiko zaila dela ondoriozta daiteke, 4 jaurtiketako segida guztietatik %1.54tan soilik gertatuko baita.

Banakuntza binomialaren formula jakin gabe ere aise kalkula daiteke eskatutako probabilitatea eta gainera, horrela eginez formularen jatorria atzeman daiteke:

$\begin{align} P(X = 3;4,1/6) & = P[(2 \cap 2 \cap 2 \cap \overline{2}) \cup (2 \cap 2 \cap \overline{2}) \cap 2) \cup (2 \cap \overline{2}) \cap 2 \cap 2) \cup (\overline{2} \cap 2 \cap 2 \cap 2)]\\ & = \Bigg(\frac16 \times \frac16 \times \frac16 \times \frac56\Bigg) + \Bigg(\frac16 \times \frac16 \times \frac56 \times \frac16\Bigg) + \Bigg(\frac16 \times \frac56 \times \frac16 \times \frac16\Bigg) + \Bigg(\frac56 \times \frac16 \times \frac16 \times \frac16\Bigg)\\ & = 4 \times \Bigg(\frac16 \times \frac16 \times \frac16 \times \frac56\Bigg)=\frac{4!}{3!1!}\Bigg(\frac{1}{6}\Bigg)^3\Bigg(\frac{5}{6}\Bigg)^1=0.0154\\ \end{align}$

Itxaropen matematikoa

B(n,p) banakuntza binomialaren itxaropen matematikoa edo batezbestekoa hau da:

$E[X]=np$

Adibidez, dado baten 60 jaurtiketetan suertatzen diren 1 puntuazioen kopurua $\scriptstyle B(n=60,p=1/6)$ banatzen da, eta ondorioz 1 puntuazioen batez besteko kopurua np=60×(1/6)=10 da.

Frogapen luzea

 Jarraian frogapen luzea egiten da itxaropen matematikoaren definizioa eta Newtonen binomioa erabiliz:

$\begin{align} E[X] & = \sum_{x=0}^nxp(x)\\ & =0{n \choose 0}q^n+1{n \choose 1}pq^{n-1}+2{n \choose 2}p^2q^{n-1}+3{n \choose 3}p^3q^{n-2}+\ldots+(n-1){n \choose n-1}p^{n-1}q^1+n{n \choose n}p^n\\ & = \frac{n!}{1!(n-1)!}pq^{n-1}+\frac{2 \cdot n!}{2!(n-1)!}p^2q^{n-1}+\frac{3 \cdot n!}{3!(n-3)!}p^3q^{n-3}+\ldots+\frac{(n-1) \cdot n!}{(n-1)!1!}p^{n-1}q^1+np^n\\ & = np\Bigg(\frac{(n-1)!}{1!(n-1)!}q^{n-1}+\frac{(n-1)!}{1!(n-2)!}pq^{n-2}+\frac{(n-1)!}{2!(n-3)!}pq^{n-3}+\ldots+\frac{(n-1)!}{(n-2)!1!}p^{n-2}q+p^{n-1}\Bigg)\\ & = np\Bigg(q^{n-1}+(n-1)pq^{n-2}+\frac{(n-1)(n-2)}{2}p^2q^{n-3}+\ldots+(n-1)p^{n-2}q+p^{n-1}\Bigg)\\ & = np(p+q)^{n-1}\ \ \ ; \ \ \textstyle{Newtonen\ binomioaz}\\ & = np\ \ \ ; \ \ \textstyle{p+q=1\ betetzen\ baita.} \end{align}$

Frogapen sinplea

 $\scriptstyle Y \sim B(n,p)$ banakuntza $\scriptstyle X_i \sim b(p)$ motako n banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren itxaropena p denez (ikus Erlazioak beste banakuntzekin, 2. puntua):

$\begin{align} E[Y] & = E[X_1]+E[X_2]+\ldots+E[X_n]\\ & =p+p+\ldots+p\\ & = np\\ \end{align}$

Bariantza

B(n,p) banakuntza binomialaren bariantza hau da:

$var[X]=npq$

Frogapen sinplea

 $\scriptstyle Y \sim B(n,p)$ banakuntza $\scriptstyle X_i \sim B(n,p)$ motako n Bernoulliren banakuntzen batura denez eta azken hauetako bakoitzaren bariantza pq denez:

$\begin{align} var[Y] & = var[X_1]+var[X_2]+\ldots+var[X_n]\\ & =pq+pq+\ldots+pq\\ & = npq\\ \end{align}$

Frogapen luzea

 Jarraian frogapen luzea egiten da bariantzaren definizioa eta Newtonen binomioa erabiliz.

Alde batetik,

$\sigma^2=E[X^2]-E[X]^2=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2$

$\scriptstyle E[X(X-1)]$ garatuko da orain:

$\begin{align} E[X(X-1)] & = \sum_{i=0}^nx(x-1)p(x)\\ & =\sum_{x=0}^nx(x-1)\frac{n!}{x!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\ & =\sum_{x=0}^nx(x-1)\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\ & =\sum_{x=2}^n\frac{n!}{(x-2)!(n-x)!}p^x(1-p)^{n-x}\\ & =n(n-1)p^2\sum_{x=2}^n\frac{(n-2)!}{(x-2)!(n-x)!}p^{x-2}(1-p)^{n-x}\ \ \ (y=x-2;\ m=n-2)\\ & =n(n-1)p^2\sum_{y=0}^m\frac{m!}{y!(m-y)!}p^y(1-p)^{m-y}\\ & =n(n-1)p^2(p+(1-p))^m\\ & =n(n-1)p^2\\ \end{align}$

Bariantzara itzuliz eta itaropena np dela kontuan hartuz:

$\sigma^2=E[X(X-1)]+E[X]-E[X]^2=n(n-1)p^2+np-(np)^2=np-np^2=np(1-p)=npq$

Moda

Moda, probabilitate handieneko balio moduan definitzen dena, (n+1)p balioa baino txikiagoa edo berdina den zenbaki oso handiena da. (n+1)p balioa zenbaki osoa bada, probabilitate bereko m eta m-1 bi balioak dira probabilitate handienekoak.

Erlazioak beste banakuntzekin

B(n,p) banakuntza binomiala p parametriko n Bernoulliren banakuntzaren batura: irudian ikus daitekeenez, Bernoulliren banakuntzaren 0/1 (zuri/beltza) emaitzen batura, 6 banakuntzatarako, 1 (beltza) emaitza p probabilitateaz gertatzen delarik, 6 saiakuntzetan zenbat beltz agertzen diren adierazten du, zeina banakuntza binomial bati jarraiki banatzen den.

• Bernoulliren banakuntza banakuntza binomial bat besterik ez da, n=1 izanik:

$b(p):=B\big(1,p\big)$

• B(n,p) banakuntza binomiala p parametroko n Bernoulliren banakuntzen batura da:

$B(n,p):=\underbrace{b(p)+b(p)+\ldots+b(p)}_n$

• Banakuntza binomiala batukortasunez egonkorra da, p parametroa konstantea bada; hots, p parametroko banakuntza binomial bi edo gehiagoren batura p banakuntza binomial bati jarraiki banatzen da:

$X \sim B\big(m,p\big);\ Y \sim B(n,p) \rightarrow X+Y \sim B(m+n,p)$

• De Moivre-Laplace teoremaren arabera, n parametroa aski handia bada (n>30 ezarri ohi da), banakuntza binomiala oso alboratua ez bada (horretarako, np eta n(1-p) balioak 5 baino handiagoak izatea ezarri ohi da) eta behar bezalako jarraitasun zuzenketa egiten bada, banakuntza normala erabil daiteke probabilitate binomialen hurbilketarako:

$B(n,p)_{n \rightarrow \infty} \approx N\big(\mu=np,\ \sigma=\sqrt{np(1-p)}\big)$

• Banakuntza binomiala Poissonen banakuntzara hurbiltzen da, n saiakuntza kopurua infiniturantz doanean, np biderkadura konstante mantentzen bada. Zehatzago, B(n,p) banakuntza bateko hurbilketa gisa λ=np parametroko Poissonen banakuntza erabil daiteke, n aski handia eta p aski txikia bada:

$B(n,p)_{(n \rightarrow \infty,\ p \rightarrow 0,\ np \rightarrow \lambda)} \approx P(\lambda=np)$

n ≥ 20 eta p ≤ 0.05 balioetarako zehaztasun onargarriko hurbilketatzat jo ohi da.

Kanpo loturak

• (Ingelesez) Banakuntza binomialaren probabilitateetarako online kalkulagailua.