Elipse

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Geometrian, elipsea bi puntu finkoetarako distantzien batura konstantea duten planoko puntu guztien leku geometrikoa da. Aldi berean, kono bati ebakidura zeihar bat egitean agertzen den kurba da. Horrela, elipsea konika-mota bat da, parabola eta hiperbola bezala. Zirkunferentzia elipse berezi bat da, zeina konoari ebakidura zuzen bat eginez agertzen den.

Errealitatean maiz agertzen den kurba bat da. Horrela, eguzki-sistemako planetek elipse motako orbita batean zehar egiten dute bira eguzkiaren inguruan. Zirkunferentzia bat proiektatuz sor daitekeen kurba ere bada elipsea.


440
Elipse bateko puntuetatik F1 eta F2 bi puntu finkoetarako distantzien batura berdina da beti. Bi puntu finkoei foku deritze.
180
Elipsea kono bat plano zeihar batez ebakitzean sortzen den konika da.
231
Saturnoko eraztunek zirkunferentzia bat osatzen dute, baina proiekzio efektu bat dela eta, zeihar behatzen badira, elipse moduan agertzen dira.
261
Planetek elipse bati jarraiki egiten dute bira eguzkiaren inguruan eta elipse horretan eguzkia foku batean dago kokaturik, Keplerren lehenengo legearen arabera.

Elipse baten elementuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Elipse baten elementuak.

Elipsearen zentroa 0 puntuan kokaturik, ardatz nagusia -atik ara doan zuzenkia da eta ardatz txikia -btik bra doana. Bi ardatzak elkarzutak dira eta elipsearen simetria-ardatzak dira gainera.

Fokuak -c eta c puntuetan kokaturik daude, zentrotik distantzia berera. Elipseko puntu orotik bi fokuetara dagoen distantzien batura bat dator ardatz nagusiaren luzerarekin: 2a. Gainera, berdintza hau betetzen da: a2+b2=c2.

Elipsearen eszentrikotasuna honela definitzen da: e=c/a. Beraz, c=ea betetzen da. Eszentrikotasuna zenbat eta txikiagoa izan, elipsea orduan eta borobilagoa da.

Zuzentzaileak -D eta D dira eta fokuen bertikaletik elipsearen zuzen tangenteak ardatz nagusiarekiko ebaki-puntuan altxatzen diren elkarzutak dira. Gainera, eszentrikotasuna zuzentzaileen arteko distantziaren eta ardatz nagusiaren luzeraren arteko konstante proportzionala ere bada: e=2a/2d=a/d.

Elipsearen ekuazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ekuazio kanonikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Elipsearen ekuazio kanonikoa bere ardatzak abzisa eta ordenatuen ardatzekiko paraleloak direnean erabiltzen da.

  • Elipsea ardatz nagusia X ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:
\frac{(x-x_1)^2}{a^2}+\frac{(y-y_1)^2}{b^2} = 1
  • Elipsearen ardatz nagusia X ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = 1
  • Elipsearen ardatz nagusia Y ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:
\frac{(x-x_1)^2}{b^2}+\frac{(y-y_1)^2}{a^2} = 1
  • Elipsearen ardatz nagusia Y ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:
\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2} = 1

Frogapena, ardatz nagusia X ardatza izanik, puntu batetik fokuetarako distantzien batura erabiliz egiten da:

  • elipsearen x,\ y\, puntu batetik F_1:(-c,0)\, eta F_2:(c,0)\, fokuetarako distantzien batura konstantea eta 2a\, ardatz nagusiarekin bat datorrenez:


d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a \rightarrow\,
\sqrt{(x-(-c))^2+(y-0)^2}+\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}=2a\,;
  • bigarren erroa beste aldera eraman ondoren, karratura berretuz:


(x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}+(x-c)^2-y^2\,;


  • erroa bakanduz eta laburtuz:

\begin{align}
\sqrt{(x-c)^2+(y-0)^2}&=\frac{-1}{4a}(x^2+2xc+c^2+y^2-4a^2-x^2+2xc-c^2-y^2)\\
&=-\frac{1}{4a}{4xc-4a^2}\\
&=a-\frac{c}{a}x.
\end{align}
  • bi aldeak karratura berretuz eta laburtuz:

\begin{align}
x^2-2xc+c^2+y^2&=a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x\\
x^2\frac{a^2-c^2}{a^2}+y^2&=a^2-c^2\\
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}&=1.
\end{align}


  • b^2=c^2-a^2\, aldaketa eginez:


\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1


Zentroa x_1,\ y_1\, puntuan dagoenean nahikoa da, zentroa jatorria bihurtu X=x-x_1\, eta Y=y-y_1\, aldagai-aldaketak erabiliz, aurreko formula erabili eta ondoren, aldagai-aldaketa desegin. Ardatz nagusia bertikala denena, x\, eta y\, aldagaiak aldatzea besterik ez da egin behar.


2b\, ardatz txikiaren luzera da, x=0\, eginez, y=\pm b\, elipseko puntuen arteko aldea, hain zuzen.

Lau puntuetatik igarotzen den elipsea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lau punutuetatik elipse bakarra igarotzen da.

Konziklikoak ez diren, hots, zirkunferentia berean ez dauden lau puntuetatik elipse bakarra igarotzen da. Puntuak (x_1,\ y_1),(x_2,\ y_2),(x_3,\ y_3),(x_4,\ y_4) izanik, determinante hau garatuz eratzen da elipsearen ekuazioa:


\begin{vmatrix} x^2 & y^2 & x & y & 1\\
x_1^2 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1\\
x_2^2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1\\
x_3^2 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\\
x_4^2 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1
\end{vmatrix}
Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Elipse Aldatu lotura Wikidatan