Eremu grabitatorio ahulen hurbilketa

Lurraren masak eragindako espazio-denboraren perturabazioaren 2 dimentsioko analogia.

Eremu grabitatorio ahuletarako hurbilketan, gutxi gora-beherako soluzioak bilatzen dira erlatibitate orokorraren teoriako Einsteinen eremu-ekuazioetarako.

Erlatibitate orokorraren teorian, grabitate linealizatua espazio-denboraren geometria deskribatzeko tentsore metrikoan perturbazio teoria aplikatzeari deritzo. Ondorioz, grabitate linearizatuaren bidez, grabitazio-eremuak ahulak direneko grabitatearen efektuak modu eraginkor batean modelatu daitezke. Grabitate linearizatuaren erabilera ezinbestekoa da grabitazio-uhin eta eremu ahuleko grabitazio-leiarren azterketarako.

Limite newtondarra

Eman dezagun partikula ez-erlatibista bat masa-banaketa bornatu batek sortutako eremu grabitatorio estatiko ahulean higitzen dela. Teoria newtondarrean azken honen $\Phi$ potentziala infinituan zero izateko moduan aukeratu ohi da.

Abiadura txikia denez, teoria newtondarreko t denbora eta $x^{i}$ (non i=1,2,3) koordenatuetan, $x_{0}=ct$ jarriz, geodesikoen ekuazioa honela idazten da:

$\mid {\frac {dx^{i}}{d\tau }}\ll {\frac {dx^{0}}{d\tau }}\mid \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \ {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma _{00}^{\lambda }{\frac {dx^{0}}{d\tau }}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {d^{2}x^{\lambda }}{d\tau ^{2}}}+c^{2}\Gamma _{00}^{\lambda }({\frac {dt}{d\tau }})^{2}=0$

Eremua estatikoa denez, denborarekiko deribatuak nuluak dira:

$\Gamma _{00}^{\lambda }=-{\frac {1}{2}}g^{\lambda \rho }g_{00,\rho }=-{\frac {1}{2}}g^{\lambda i}g_{00,i}$

Eremua ahula bada, perturbazio teoria erabiliz:

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\ \ \ |h_{\mu \nu }|\ll 1$

eta h-rekiko koadratikoak diren gaiak arbuiatuz, hauxe dugu:

$\Gamma _{00}^{\lambda }=-{\frac {1}{2}}\eta ^{\lambda i}h_{00,i}\ \ \Rightarrow \ \ \left\{{\begin{array}{lcl}\Gamma _{00}^{0}=0\\\Gamma _{00}^{i}=-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}h_{00,j}\end{array}}\right.$

Honela geratzen dira geodesikoen ekuazioak:

${\frac {d^{2}t}{d\tau ^{2}}}=0\ \ \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ \ \ {\frac {dt}{d\tau }}=konstantea$

${\frac {d^{2}x}{d\tau ^{2}}}={\frac {c^{2}}{2}}({\frac {dt}{d\tau }})^{2}\nabla h_{00}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {c^{2}}{2}}\nabla h_{00}$

Mekanika newtondarrean, hauxe da higidura-ekuazioa:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-\nabla \Phi$

Ondorioz, $h_{00}=-2\Phi /c^{2}+K$ dugu. K integrazio-konstantea nulua dela ikusteko, erabil dezagun distantzia infinitura $\Phi \rightarrow 0$ dugula eta, eremua desagertzean erlatibitate berezia berreskuratzeko, $g_{00}=-1+h_{00}\rightarrow \eta _{00}=-1$, hau da, $h_{00}\rightarrow 0$. Beraz, eremu grabitatorio estatiko ahuletan, potentzial grabitatorio newtondarraren eta erlatibistaren arteko erlazioa hauxe da:

$g_{00}\simeq -(1+2{\frac {\Phi }{c^{2}}})$

Eguzkiaren azalean $\Phi /c^{2}\approx -2,12\times 10^{-6}$ da eta Lurraren azalean $\Phi /c^{2}\approx -6,95\times 10^{-10}$: grabitazioak oso gutxi aldatzen du geometria, kasu horietan. Eremu grabitatorio bortitzak behar dira aldaketak handiak izateko; horrexegatik dira hain erabilgarriak mekanika newtondarra eta erlatibitate berezia, bakoitza bere esparruan.

Eremu ahula

Espazio-denboraren geometria deskribatzen duten Einsteinen eremu-ekuazioak, unitate naturaletan,

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=8\pi GT_{\mu \nu }$

moduan idazten dira, non $R_{\mu \nu }$ Ricciren tentsorea den, $R$ Ricciren eskalarra, $T_{\mu \nu }$ energia-momentu tentsorea eta $g_{\mu \nu }$ ekuazioen soluzioak biltzen dituen espazio-denboraren tentsore metrikoa.

Einsteinen notazioan idazterakoan ezkutuan geratzen badira ere, Ricciren tentsore eta eskalarraren baitan ebazpen zehatzak lortzea asko zailtzen duten metrikarekiko dependentzia bereziki ez-linealak daude. Hala ere, espazio-denboraren kurbadura txikia den sistema partikularretan ($g_{\mu \nu }$-ren termino koadratikoen ekarpena higidura-ekuazioetan txikia denean) eremu-ekuazioaren soluzioak Minkowskiren metrika (eta $\eta _{\mu \nu }$ eta perturbazio txiki bat $h_{\mu \nu }$ batuz modeliza daitezke. Beste hitzetan:

$g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu },\ \ \ |h_{\mu \nu }|\ll 1$

Egoera honetan, $g_{\mu \nu }$ metrika orokorra perturbazio-ereduaz ordezkatuz, honako Ricciren tentsorearen adierazpen laburtu lortzen da:

$R_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\Box h_{\mu \nu })$

non $h=\eta ^{\mu \nu }h_{\mu \nu }$ perturbazioaren traza den, $\partial _{\mu }$-k $x^{\mu }$ koordenatuarekiko deribatu partziala eta $\Box =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }$ d’Alemberten eragilea.

Ricciren eskalarrarekin batera,

$R=\eta _{\mu \nu }R^{\mu \nu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }h^{\mu \nu }-\Box h$

Eremu-ekuazioaren ezker aldea hala gelditzen da:

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}(\partial _{\sigma }\partial _{\mu }h_{\nu }^{\sigma }+\partial _{\sigma }\partial _{\nu }h_{\mu }^{\sigma }-\partial _{\mu }\partial _{\nu }h-\Box h_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\partial _{\rho }\partial _{\lambda }h^{\rho \lambda }+\eta _{\mu \nu }\Box h)$

Eta, beraz, $h_{\mu \nu }$-ren menpeko bigarren mailako deribatu partzialen ekuazio diferentzial lineala lortzen da.

Gauge aldaezintasuna

$g_{\mu \nu }$ espazio-denbora orokorreko metrika Minkowskirenaren eta perturbazio gai baten batura gisa deskonposatzeko modua ez da bakarra. Koordenatuen aukeraketa ezberdinek   $h_{\mu \nu }$ -ren adierazpen ezberdinak sortuko dituzte. Fenomeno hori aztertzeko gauge simetria erabiliko da.  

Gauge simetriak koordenatuen aldaketa infinitesimal bat egitean eraldatzen ez den sistema bat deskribatzeko tresna matematikoak dira. Beraz, $h_{\mu \nu }$ perturbazio metrikak koordenatu ezberdinetan itxura aldatu arren, deskribatzen duen sistema orokorrak ez du hala egingo.

Modu formalean azaltzeko, $h_{\mu \nu }$  perturbazioaren aniztasuna   $h_{\mu \nu }$ bera nahikoa txiki mantentzen duten espazio-denborako difeomorfismoen kolekzio anitzaren ondoriotzat har daiteke. Jarraitzeko, beraz, beharrezkoa da $h_{\mu \nu }$  difeomorfismoen multzo orokor baten arabera definitzea, ondoren eremu ahularen hurbilketak finkatzen duen eskala txikia mantentzeko multzo orokor horien azpimultzo bat aukeratuz. Horrela, $\phi$ difeomorfismo arbitrario bat definitu daiteke, Minkowskiren espazio-denbora laua $g_{\mu \nu }$  espazio-denbora orokorrago bateko metrikarekin erlazionatzen duena. Hala, perturbazio metrika ondorengo moduan deskribatu daiteke:

$h_{\mu \nu }=(\phi ^{*}g)_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }$

Hemen, $(\phi ^{*}g)$ terminoa $g_{\mu \nu }$ -ren "pullback" bezala ezagutzen da eta $\eta _{\mu \nu }$ Minkowskiren metrika da. $\phi$ difeomorfismoak $|h_{\mu \nu }|\ll 1$ izateko moduan hautatu daitezke.

Espazio-denbora lau bateko $\xi ^{\mu }$ eremu bektorial bat emanik, $\psi _{\epsilon }$ difeomorfismoen familia gehigarri bat definitu daiteke, $\epsilon >0$ izanik, $\xi ^{\mu }$ bektoreen konbinaketak osatzen duena. Difeomorfismo berri horiek lehen aipautako aldaketa infinitesimal horietako koordenatuen transformazioak adierazteko erabiliko dira. $\phi$-rekin batera, perturbazioen familia bat ondorengo moduan azaldu daiteke:

${\begin{aligned}h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=[(\phi \circ \psi _{\epsilon })^{*}g]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\=[\psi _{\epsilon }^{*}(\phi ^{*}g)]_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\=\psi _{\epsilon }^{*}(h+\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }\\=(\psi _{\epsilon }^{*}h)_{\mu \nu }+\epsilon \left[{\frac {(\psi _{\epsilon }^{*}\eta )_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}{\epsilon }}\right].\end{aligned}}$

Hala, $\epsilon \rightarrow 0$ limitean,

$h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon {\mathcal {L}}_{\xi }\eta _{\mu \nu }$

izango da, ${\mathcal {L}}_{\xi }$ $\xi _{\mu }$ bektore eremuan zeharreko Lie deribatua izanik.

Lie deribatu horren bidez $h_{\mu \nu }$ perturbazio metrikaren gauge transformazioa lortu daiteke:

$h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }+\epsilon (\partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu })$

Azken horrek, sistema fisiko berbera deskribatzen duen perturbazio metriken multzoa modu zehatz batean azaltzen du. Beste era batera esanda, eremu linearizatuen ekuazioen gauge simetria ezaugarritzen du.

Gauge aukeraketa

Gaugen inbariantzia aprobetxatuz, perturbazio metrikaren hainbat propietate finkatu daitezke $\xi ^{\mu }$  bektore eremu egoki bat finkatuz.

Zeharkako gauge-a

$h_{\mu \nu }$ perturbazioak luzeraren neurketak nola distortsionatzen dituen ikusteko, ondorengo espazioko tentsorea definitzea erabilgarria da:

$s_{ij}=h_{ij}-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}\delta _{ij}\ ;\ \ \ i,j\in {1,2,3}$

$s_{ij}$ erabiliz, beraz, perturbazioaren espazioko gaiak deskonposatu daitezke,

$h_{ij}=s_{ij}-\Psi \delta _{ij}$

non $\Psi =-{\frac {1}{3}}\delta ^{kl}h_{kl}$

$s_{ij}$ tentsoreak ez dauka trazarik eta esfortzu bezala ere ezagutzen da, izan ere, perturbazioak espazioko neurketak zenbat luzatzen edo uzkurtzen dituen adierazten du. Erradiazio grabitatorioa ikertzean, esfortzua bereziki erabilgarria da zeharkako gauge-arekin erabiltzerakoan. Gauge hori ondorengo erlazioa betetzen duen $\xi ^{\mu }$ egoki bat erabiliz definituko da:

$\nabla ^{2}\xi ^{j}+{\frac {1}{3}}\partial _{j}\partial _{i}\xi ^{i}=-\partial _{i}s^{ij}$

$\xi ^{0}$-k ondorengoa bete behar duela finkatuko dugu:

$\nabla ^{2}\xi ^{0}=\partial _{i}h_{0i}+\partial _{0}\partial _{i}\xi ^{i}$

Horrela, esfortzua espazialki zeharkakoa bilakatzen da:

$\partial _{i}s_{(\epsilon )}^{ij}=0$

hurrengo propietate gehigarriarekin:

$\partial _{i}h_{(\epsilon )}^{0i}=0$

Gauge sinkronoa

Gauge sinkronoak perturbazio metrika sinplifikatzen du, horretarako metrikari denbora neurketak ez distortsionatzea behartuz. Zehatzago esanda, gauge sinkronoa $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$ tentsorearen gai ez-espazialak 0 izateko moduan aukeratzen da:

$h_{0\nu }^{(\epsilon )}=0$

Hori lortzeko $\xi ^{\mu }$ bektorearen denbora gaiak ondorengoa bete beharko du:

$\partial _{0}\xi ^{0}=-h_{00}$

eta gai espazialek, aldiz:

$\partial _{0}\xi ^{i}=\partial _{i}\xi ^{0}-h_{0i}$

Gauge harmonikoa

Gauge harmonikoa (Lorenz-en gauge-a bezala ere ezagutzen dena) eremu linealizatuen ekuazioak ahalik eta gehien laburtzea komeni denan erabiltzen da. Horren erabilerarako ondorengo baldintza bete behar da:

$\partial _{\mu }h_{\nu }^{\mu }={\frac {1}{2}}\partial _{\nu }h$

Horretarako $h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}$-k

$\square \xi _{\mu }=-\partial _{\nu }h_{\mu }^{\nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\mu }h$

bete beharko du

Gauge harmonikoaren erabilerarekin Einsteinen $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }$ tentsorea ondorengora laburtzen da:

$G_{\mu \nu }=-{\frac {1}{2}}\square \left(h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }\right)$

Azken hori alderantzizko trazaren metrikaren menpe adierazita, ${\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=h_{\mu \nu }^{(\epsilon )}-{\frac {1}{2}}h^{(\epsilon )}\eta _{\mu \nu }$, eremu linealizatuaren ekuazioak

$\square {\bar {h}}_{\mu \nu }^{(\epsilon )}=-16\pi GT_{\mu \nu }$

bihurtzen dira. Azken hori erradiazio grabitatorioa definitzen duten uhinen soluzioak erabiliz modu zehatzean ebatzi daiteke.

Ikus, gainera

• Erlatibitate orokorra
• Grabitazio-uhin
• Soluzio zehatzak erlatibitate orokorrean
• Energia-momentuaren tentsorea
• Ricciren tentsorea
• Geodisikoak
• Espazio-denbora
• Einsteinen eremu-ekuazioak
• Metrika
• Erlatibitate berezia

Kanpo estekak

• Datuak: Q546984