Lankide:Mikel1324/Proba orria

SOMMERFELD-EN EREDU ATOMIKOA

Sommerfield-en eredu atomikoa, Arnold Sommerfeld​ (1868-1951) fisikari alemaniarrak egindako eredu atomikoa da. Eredu hau Bohr-en eredu atomikoa-ren orokorpen bat da, ikuspegi erlatibista batetik atomo bateko elektroien ibilbideak fisikoki deskribatzen dituena.

Bohr-en ereduaren mugapenak

Bohr-en eredu atomikoak oso ondo funtzionatzen zuen atomo hidrogenoide-rako, izan ere, esperimentalki behatutako atomoen igorpen espektro-etan agertzen ziren lerroak azaltzeko, elektroien energia kuantizazioa zegoela ondorioztatu zuen, hau da, elektroien energia ezin zitekeen edozein izan. Bohr-ek ondorengoa proposatu zuen:

1. Elektroiek eta nukleoaren artean indar Coulomb-darra ematen da; hori dela eta, elektroiak nukleoaren inguruan orbita zirkularretan higitzen dira.
2. Orbita hauek ezin dira edonolakoak izan, momentu angeluarra h2unitatekoa izan behar da $(L={\frac {h}{2\pi }}n,n=1,2,...)$. Hortaz, elektroien energia ere kuantizatuta dago, ondorengoa izanik: $E=-{\frac {me^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}2\hbar ^{2}}}{\frac {Z^{2}}{n^{2}}}$
3. Elektroiek ez dute energia igortzen orbita batean daudenean, egoera egonkorra da.
4. Elektroi bat orbita batetik bestera pasatzean energia igortzen du fotoi baten bidez. Igorritako fotoien uhin luzeren erlazioa (espektroan agertzen direnak) ondorengoa da:

$E_{fot}={\frac {hc}{\lambda }}=\Delta E=E_{n_{buk}}-E_{n_{has}}\Rightarrow {\frac {1}{\lambda }}={\frac {me^{4}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}4\pi \hbar ^{3}}}Z^{2}({\frac {1}{n_{has}^{2}}}-{\frac {1}{n_{buk}^{2}}})$

Nolanahi ere, saiakuntza kalitate handiagoko espektrospkopio-en bidez burutzean, hasiera batean lerro bakarra zena zenbait azpilerroz osatuta zegoela behatu zen; beste era batera esanda, uhin luzera oso antzekoa zuten zenbait lerro agertzen ziren espektroan, azpilerro horien arteko aldeak, lerro nagusien arteko aldeak baino 104 aldiz txikiagoak zirelarik, orokorrean. Bohr-en ereduak ezin zuen egitura fin hau azaldu, beraz, argi zegoen orokortu egin behar zela eredua.

Sommerfeld-en esperimentalki behatutako azpilerro hauek azaltzeko, maila energetiko berdin baten barruan azpimailak existitzen zirela ondorioztatu zuen, hau da, energia arinki desberdinak. Gainera, ikuspegi teoriko batetik, zenbait atomoetan elektroien abiadurak argi abiadura-ren frakzio hautemangarri batera heltzen zirela behatu zuen. Hortaz, Sommerfeld-ek elektroi erlatibistetarako aztertu zuen eztabiadagaia.

Sommerfeld eta Wilson-en kuantizazioa

XX. mendearen lehen laurdenean, Arnold Sommerfeld eta Charles Wilson-ek Planck-en legea-ren eta Bohr-en eredu atomikoan arteko erlazioa azaltzen ahalegindu ziren, bi teoria hauetan h konstante bera  (Plank-en konstantea)  agertzen baitzen.

1916. urtean, fase-espazio klasikoan oinarrituriko kuantizazio arau bat proposatu zuten, arestian aipatutako Planck-en Legea eta Bohr-en eredu atomikoa berne hartzen zituena. Ondorengoa zen proposatutako postulatua:

Sistema fisiko batean, sistema deskribatzeko erabilitako magnitude orokortua denboraren funtzio periodikoa bada, orduan kuantizazio lege hau betetzen da:  $\oint pdq=nh$                                                                                                       (1)

Kuantizazio lege arau hau erabiliz, hainbat sistema fisikoren energia diskretuen balioak nola lortzen diren eta nolakoak diren ikusiko dugu.

Oszilatzaile harmonikoa

Har dezagun m masadun partikula bat k zurruntasun-konstantedun malguki batera lotuta, sistema osoak E energia izanda:

$E={\frac {1}{2m}}p^{2}+{\frac {k}{2}}q^{2}$ (2)

Ekuazio honetan agertzen diren atal bietan E zatitzen badugu, $(p,q)$ planoan dagoen eta a=$a={\sqrt {2mE}}$ eta $b={\sqrt {\frac {2E}{k}}}$ ardatz-erdiak dituen elipse bat lortzen dugu (3).

$1={\frac {1}{2mE}}p^{2}+{\frac {k}{2E}}q^{2}$ (3)

Planoan dagoen elipse baten azalera $\pi ab$ dela jakinda eta (1) Sommerfeld eta Wilson-en kuantizazio araua jarraituz, energia askatuz (4) ekuazioan agertzen diren maila disketruak lortzen ditugu.

$E_{n}=nhv,v={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$ (4)

Azken ekuazio hau, hain zuzen, Planck-ek gorputz beltza-ren erradiazioa ikertzen zuenean postulatu zuen ekuazioa da.

Eraztun batean higitzen den partikula

$m$ masadun partikula bat $R$ erradiodun eraztun batean mugitzen dela hartuko dugu; jakina, eraztunak muga baldintza periodikoak ditu, beraz $q(\theta )=q(\theta +2\pi )$. Horrela, sistema (5) energia erabiliz deskribatuko dugu:

$E={\frac {L^{2}}{2I}},I=mR^{2}$ (5)

L momentu angeluarrarekiko askatuz, (6) lortzen dugu.

$L={\sqrt {2IE}}$ (6)

Eraztuna angelu gunztientzat ($R$ jakin baterako) isopotentziala dela hartuta eta sistemaren baldintza periodikoak direla eta, $I$ konstantea da edozein $\theta$ angelurentzat eta fase espazioan koordenatuari dagokion luzera $2\pi$ dela ikus dezakegu. Hots, fase espazioko orbita itxiaren azalera $2\pi {\sqrt {2IE}}$ da eta Sommerfeld-Wilson-en araua erabiliz (7) lortzen dugu.

$E_{n}={\frac {h^{2}}{8\pi ^{2}I}}n^{2}={\frac {L^{2}}{2I}}$ (7)

Ikus dezakegunez, (7) ekuazioko gai guztiak kuadratikoak dira; berriz L momentu angeluarra askatzen badugu (8) ekuazioa lortzen dugu, Bohr-ek proposatu zuen momentu angeluarraren kuantizazioa dena hain zuzen.

$L={\frac {h}{2\pi }}n^{2}$ (8)

Partikula 1D-ko kutxan

Demagun $m$ masadun eta $E$ energiadun partikula bat $L$ luzerako dimentsio bakarreko kutxa baten barruan higitzen dela, partikulak kutxaren hormak jotzen dituenean talka guztiz elastikoak direlarik eta energia eta momentua kontserbatzen direlarik. Sistema (9) energiarekin deskribatuko da:

$E={\frac {p^{2}}{2m}}$ (9)

$p$ askatzen badugu, momentuak har ditzakeen baloreak (10) ekuazioan agertzen dira:

$p=\pm {\sqrt {2mE}}$         (10)

Balio positiboentzat partikula ezkerretik eskubira higiko da eta balio negatiboentzat alderantziz. Kutxan zehar potentziala konstantea denez, partikularen momentua kosntantea izango da norantza eta moduluan hormen aurka talka egin arte. Hortaz, kutxaren luzera $L$ dela kontuan izanik, argi ikusten da fase espazioko azalera itxiaren balioa $2L{\sqrt {2mE}}$ dela. Sommerfeld-Wilson-en kuantizazio araua aplikatuta (11) lortzen dugu:

$E_{n}={\frac {h^{2}n}{8mL^{2}}}$ (11)

Ikus daitekeenez, maila hauek beranduago proposatuko litzatekeen Schrödinger-en ekuazioa askatuz lortzen diren berberak dira.

Sommerfeld-en ereduaren garapena

1916. urtean, Sommerfield-ek Bohr-en eredu atomikoa hobetu zuen, bi funtsezko aldaketa sartuz: elektroien orbitak zirkularrak izan ordez eliptikoak zirela eta elektroi hauen abiadurak erlatibistak zirela.

Nukleoa-ren masa infinitutzat hartuz eta pausagunean dagoela onartuz, elektroiaren posizioa adierazteko, $(r,\theta )$ koordenatu polarrak erabiltzen dira, eta biak periodikoak dira. Bi osagai periodiko izanik, Wilson eta Sommerfeld-en bi adierazpen idatzi daitezke:

$\oint Ld\theta =n_{\theta }h$           (12)

$\oint pdr=n_{r}h$         (13)

(12) ekuaziotik erlazio hau ateratzen da:

$L={\frac {h}{2\pi }}n_{\theta }$           (14)

Erlazio hori Bohr-en ereduaren postulatua da, beraz, orbita zirkularretan ere agertu zen.

(13) ebazteko, kontuan hartu behar da energiaren adierazpena:

$E={\frac {1}{2}}m_{e}v^{2}+{\frac {L^{2}}{2m_{e}r^{2}}}-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\Rightarrow p_{r}={\frac {\sqrt {2m}}{r}}{\sqrt {Er^{2}+{\frac {Ze^{2}r}{4\pi \epsilon _{0}}}-{\frac {L^{2}}{2m}}}}$          (15)

Wilson eta Sommerfeld-en bigarren adierazpena erabiliz, ondorengoa lortzen dugu:

$2\pi ({\frac {me^{2}Z}{4\pi \epsilon _{0}{\sqrt {-2me}}}}-L)=n_{r}h$           (16)

Baina, lehenengo baldintzaren arabera $L={\frac {h}{2\pi }}n_{\theta }$ denez:

$E=-{\frac {me^{4}Z^{2}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}2\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}},n=n_{r}+n_{\theta }$           (17)

Bestalde, orbita eliptikoetan, $\epsilon$ eszentrikotasuna hau da:

$\epsilon ={\sqrt {1+{\frac {2EL^{2}(4\pi \epsilon )^{2}}{me^{4}Z^{2}}}}}$           (18)

$L$ eta $E$-ren balioak (14) eta (17) adierazpenekin ordezkatuz:

$\epsilon ={\sqrt {1-{\frac {n_{\theta }^{2}}{n^{2}}}}}$           (19)

Beraz, $n$ jakin bat emanda, $n_{\theta }=1,2,...,n$ da. Energia bereko n orbita daude, eszentriko- tasun desberdinekin (ikus (1) irudia). Orbita horiek endekatuak direla esaten da. Energia endekatua da.

n=1 (n=1)	n=2 (n=1,2)	n=3 (n=1,2,3)	n=4 (n=1,2,3,4)

1.irudia: Wilson eta Sommerfeld-en ereduaren orbita eliptikoak, atomo hidrogenoidean.

Endekapena kentzeko, Sommerfeld-ek arestian aipatutako erlatibitatearen teoria erabili zuen. Hidrogeno atomoan, elektroiaren abiadura ${\frac {v}{c}}\backsimeq 10^{-2}$ da, beraz, energia zinetikoa-ren zuzenketaren ordena $({\frac {v}{c}})^{2}=10^{-4}$ da, behatutako azpilerroen arteko aldearen proportzioa dena hain zuzen ere.

Orbita bakoitzean, zuzenketaren balioa elektroiaren batez besteko abiaduraren karratuaren proportzionala da, eta batez besteko hori desberdina da energia bereko orbita eliptikoetan. Beraz, hori izango da azpimailen arteko energia aldea eragingo duena. Kalkuluak egin ondoren, energiaren adierazpen hau lortuko da:

$E=-{\frac {me^{4}Z^{2}}{(4\pi \epsilon _{0})^{2}2\hbar ^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}(1+\alpha ^{2}{\frac {Z^{2}}{n}}({\frac {1}{n_{\theta }}}-{\frac {3}{4n}}))$           (20)

$\alpha$ magnitudea zenbaki hutsa da, egitura fineko konstantea deiturikoa. Bere balioa hau da:

$\alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\hbar c}}\simeq {\frac {1}{137}}\Rightarrow \alpha ^{2}\simeq 10^{-4}$           (21)

Hortaz, $n$ bereko baina $n_{\theta }$ desberdineko orbitek energia desberdina dute, beraien arteko aldea $\alpha ^{2}\simeq 10^{-4}$ magnitude ordenekoa izanik, behatutako azpilerroen arteko aldearen proportzioa dena.

Sommerfeld-en ereduak, beraz, trantsizio posible gehiago egiten ditu posible, baina trantsizio posible horiek igorriko lituzketen fotoien uhin-luzera guztiak ez dira agertzen espektroetan.

Esperimentalki behatutako trantsizioak, ondorengo hautatze araua betetzen dutenak dira soilik:

$n_{\theta _{buk}}-n_{\theta _{has}}=\pm 1$           (22)

2.irudia: Baimendutako trantsizioak (beltzez) eta debekatutako trantsizioak (gorriz)

Sommerfeld-en eredua-ren mugapenak

Sommerfeld-en ereduak eredu atomikoaren garapenean aurrerapauso handia suposatu bazuen ere, zenbait mugapen ditu:

1. Sistema perdiodikoetan aplikatu daiteke bakarrik, sistema ez-periodikoetan, ordea, ez.
2. Ez du ondo azaltzen zein trantsizio diren onargarriak eta zein ez.
3. Atomo konplexuen gainean aplikatzean, emaitzak ez dira onak.
4. Teoria osoa, ideia multzoa dela ematen du, osotuta ez dagoena.

Laburpena

1916. urtean, Arnold Sommerfeld-ek ondorengo aldaketak egin zizkion Bohr-en eredu atomikoa-ri,  Albert Einstein-en Erlatibitatearen Teoria-ren laguntzaz:

1. Elektroiak nukleoaren inguruan mugitzen dira, orbita zirkularretan edo orbita eliptikoetan
2. Bigarren maila energetikotik aurrera azpimaila bat edo gehiago existitzen dira maila berean.

Eredu atomikoak

Aurreko eredua: Bohr-en eredu atomikoa

'Sommerfeld-en eredu atomikoa' (1916-1924)

Ondorengo eredua: Schrödinger-en eredu atomikoa