Irudi (matematika): berrikuspenen arteko aldeak

← Aurreko ezberdintasuna Hurrengo ezberdintasuna →

Ezabatutako edukia Gehitutako edukia

Lerroan

17:54, 4 abendua 2021ko berrikusketa

X abiaburu-multzotik Y multzorako f funtzioaren irudia Y-ren azpimultzoa da.

Matematikan, funtzio baten irudia funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, irudi-multzoa, helburu-multzoa edo ibiltartea dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

Im_{f}:=\left\{y\in Y\;|\;\exists x\in X,\;f(x)=y\right\}

Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

Definizioa

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, $f:X\longrightarrow Y$ funtzio bat da $X$ multzotik $Y$ multzora doana.

Elementu baten irudia

Baldin eta $x$ $X$ -ren elementua bada, orduan $x$ -ren irudia $f$ -n, $f(x)$ deitua, $x$ ordezkatzean $f$ -k hartzen duen balioa da. $f(x)$ $x$ -rako $f$ -ren irteera gisa ezagutzen da.

$y$ emanda, $f$ funtzioak " $y$ -ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada $x$ bat funtzioaren eremuan non $f(x)=y$ den. Era berean, $S$ multzo bat emanda, $f$ -k " $S$ -ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada $x$ bat funtzioaren eremuan non $f(x)\in S$ . Aldiz, " $f$ -k $S$ -ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein $x$ $f$ -ren eremuan $f(x)\in S$ bada.

Azpimultzo baten irudia

$A\subseteq X$ azpimultzoaren irudia $f$ -n, $f(A)$ deitua, $Y$ -ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: ^[1]^[2]

$f(A)=\{f(x):x\in A\}$

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, $f[A]$ honela idazten da: $f(A)$ . Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, $f[\cdot ]$ funtzio bat da zeinen eremua $X$ -ren potentzia-multzoa den eta koeremua $Y$ -ren potentzia-multzoa.

Funtzio baten irudia

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua.^[3] Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere $f$ -ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

Erlazio bitarretara orokortzea

$R$ erlazio bitar arbitrarioa bada $X\times Y$ -n, orduan $\{y\in Y:xRy\ non\ x\in X\}$ multzoari $R$ -ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, $\{x\in X:xRy\ non\ y\in Y\}$ multzoari $R$ -ren eremua deritzo.

Aurreirudia

$f$ $X$ -tik $Y$ -ra doan funtzioa izanda, $B\subseteq Y$ multzoaren aurreirudia, $f^{-1}[B]$ deitua, $f^{-1}[B]=\{x\in X:f(x)\in B\}$ definitutako $X$ -ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan $f^{-1}(B)$ eta $f^{-}(B)$ erabiltzen dira.^[4] Multzo baten aurreirudia $f^{-1}[\{B\}]$ edo $f^{-1}[B]$ da.

Adibidez, $f(x)=x^{2}$ funtziorako, $\{4\}$ -ren aurreirudia $\{-2,2\}$ izango litzateke. Ez da nahasi behar $f^{-1}$ notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non $B$ -ren aurreirudia $f$ -n, $B$ -ren irudia den $f^{-1}$ -n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat ^[5] irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

Geziaren notazioa

$f^{\rightarrow }:P(X)\rightarrow P(Y)$ , $f^{\rightarrow }=\{f(a)\mid a\in A\}$
$f^{\leftarrow }:P(Y)\rightarrow P(X)$ , $f^{\leftarrow }=\{a\in X\mid f(a)\in B\}$

Izarren notazioa

$f_{\star }:P(X)\rightarrow P(Y)$ , $f^{\rightarrow }$ -ren ordez
$f^{\star }:P(Y)\rightarrow P(X)$ , $f^{\leftarrow }$ -ren ordez

Beste terminologiak

$f[A]$ -ren ordez $f''A$ ere erabiltzen da. ^[6]^[7]
Zenbait testuk $f$ -ren irudia $f$ -ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita $f$ -ren koeremua adierazteko.

Adibideak

1. $f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}$ honek definituta: $f(x)={\begin{cases}a,&x{\text{=1 }}{\text{bada}}\\a,&x{\text{=2 }}{\text{bada}}\\c,&x{\text{=3 }}{\text{bada.}}\end{cases}}$

$\{2,3\}$ multzoaren irudia $f$ -n $f(\{2,3\})=\{a,c\}$ da. $f$ funtzioaren irudia $\{a,c\}$ da. $a$ -ren aurreirudia $f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}$ da. $\{a,b\}$ -ren aurreirudia ere $f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}$ da eta $\{b,d\}$ -ren aurreirudia multzo hutsa da $\{\ \}=\varnothing$ .

2. $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ honek definituta: $f(x)=x^{2}$ .

$\{-2,3\}$ -ren irudia $f$ -n $f^{-1}(\{-2,3\})=\{4,9\}$ da, eta $f$ -ren irudia $\mathbb {R} ^{+}$ da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). $\{4,9\}$ -ren aurreirudia $f$ -n $f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}$ da. $N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}$ multzoaren aurreirudia $f$ -n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

Propietateak

Orokorrean

$f:X\longrightarrow Y$ edozein funtziorako eta $A\subseteq X$ eta $B\subseteq Y$ azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:


Irudia	Aurreirudia
$f(X)\in Y$	$f^{-1}(Y)=X$
$f(f^{-1}(Y))=f(X)$	$f(f^{-1}(X))=X$
$f(f^{-1}(B))\subseteq B$ (berdin $f$ supraiektiboa bada)^[8]^[9]	$f(f^{-1}(A))\supseteq A$ (berdin $f$ injektiboa bada)^[8]^[9]
$f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)$	$(f\mid _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)$
$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$	$f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)$
$f(A)=\emptyset$ baldin eta soilik baldin $A=\emptyset$	$f^{-1}(B)=\emptyset$ baldin eta soilik baldin $B\subseteq Y\ \setminus f(X)$

Erreferentziak

↑ (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology. doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ ^a ^b Halmos, Paul R.. (1960). Naive set theory. London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
↑ ^a ^b Kelley, John L.. (1955). General topology. Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

Ikus, gainera

Izate-eremua

Kanpo estekak

Datuak: Q860623

[1] (Ingelesez) «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» Mathematics LibreTexts 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[2] Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006. (1968). Naive Mengenlehre.. Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[3] (Ingelesez) Weisstein, Eric W.. «Image» mathworld.wolfram.com (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[4] Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric. (2016-07). Convergence Foundations of Topology. doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[5] Blyth, T. S.. (2005). Lattices and ordered algebraic structures. Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[6] Rubin, Jean E.. (1967). Set theory for the mathematician. San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[7] «Wayback Machine» web.archive.org 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[:0-8] Halmos, Paul R.. (1960). Naive set theory. London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[:1-9] Kelley, John L.. (1955). General topology. Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ 12. lerroa: / 12. lerroa: @@
 "Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, <math>f:X\longrightarrow Y</math> funtzio bat da <math>X</math> [[Multzo|multzotik]] <math>Y</math> multzora doana.
-=== '''Elementu baten irudia''' ===
+=== Elementu baten irudia ===
 Baldin eta <math>x</math> <math>X</math>-ren elementua bada, orduan <math>x</math>-ren irudia <math>f</math>-n, <math>f(x)</math> deitua, <math>x</math> ordezkatzean <math>f</math>-k hartzen duen balioa da. <math>f(x)</math> <math>x</math>-rako <math>f</math>-ren irteera gisa ezagutzen da.
 <math>y</math> emanda, <math>f</math> funtzioak "<math>y</math>-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada <math>x</math> bat funtzioaren eremuan non <math>f(x)=y</math> den. Era berean, <math>S</math> multzo bat emanda, <math>f</math>-k "<math>S</math>-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada <math>x</math> bat funtzioaren eremuan non <math>f(x)\in S</math>. Aldiz, "<math>f</math>-k <math>S</math>-ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da  edozein <math>x</math> <math>f</math>-ren eremuan <math>f(x)\in S</math> bada.
-=== '''Azpimultzo baten irudia''' ===
+=== Azpimultzo baten irudia ===
 <math>A \subseteq X</math> [[Azpimultzo|azpimultzoaren]] irudia <math>f</math>-n, <math>f(A)</math> deitua, <math>Y</math>-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: <ref>{{Erreferentzia|izenburua=5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets|hizkuntza=en|data=2019-11-05|url=https://math.libretexts.org/Courses/Monroe_Community_College/MATH_220_Discrete_Math/5%3A_Functions/5.4%3A_Onto_Functions_and_Images%2F%2FPreimages_of_Sets|aldizkaria=Mathematics LibreTexts|sartze-data=2021-12-04}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izena=Halmos, Paul R. 1916-2006|abizena=Verfasser|izenburua=Naive Mengenlehre.|argitaletxea=Vandenhoeck u. Ruprecht|data=1968|url=http://worldcat.org/oclc/1072448936|pmc=1072448936|sartze-data=2021-12-04}}</ref>
@@ 24. lerroa: / 24. lerroa: @@
 Nahasteko arriskurik ez dagoenean, <math>f[A]</math> honela idazten da: <math>f(A)</math>. Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, <math>f [ \cdot ]</math> funtzio bat da zeinen eremua <math>X</math>-ren [[Potentzia-multzo|potentzia-multzoa]] den eta koeremua <math>Y</math>-ren potentzia-multzoa.
-=== '''Funtzio baten irudia''' ===
+=== Funtzio baten irudia ===
 Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren [[Hein|heina]] ere deitua.<ref>{{Erreferentzia|izena=Eric W.|abizena=Weisstein|izenburua=Image|hizkuntza=en|url=https://mathworld.wolfram.com/Image.html|aldizkaria=mathworld.wolfram.com|sartze-data=2021-12-04}}</ref> Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere <math>f</math>-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.
-=== '''Erlazio bitarretara orokortzea''' ===
+=== Erlazio bitarretara orokortzea ===
 <math>R</math> erlazio bitar arbitrarioa bada <math>X \times Y</math>-n, orduan <math>\{ y \in Y : xRy \ non \ x \in X \}</math> multzoari <math>R</math>-ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, <math>\{ x \in X : xRy \ non \ y \in Y \}</math> multzoari <math>R</math>-ren eremua deritzo.
@@ 38. lerroa: / 38. lerroa: @@
 == Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa ==
-Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat <ref>{{Erreferentzia|izena=T. S.|abizena=Blyth|izenburua=Lattices and ordered algebraic structures|argitaletxea=Springer|data=2005|url=https://www.worldcat.org/oclc/262677746|isbn=978-1-84628-127-3|pmc=262677746|sartze-data=2021-12-04}}</ref> irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:
+Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat <ref>{{Erreferentzia|izena=T. S.|abizena=Blyth|izenburua=Lattices and ordered algebraic structures|argitaletxea=Springer|data=2005|url=https://www.worldcat.org/oclc/262677746|isbn=978-1-84628-127-3|pmc=262677746|sartze-data=2021-12-04}}</ref> irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, po'''tentzia-multzoen arteko funtzio gisa:'''
 === '''Geziaren notazioa''' ===
@@ 44. lerroa: / 44. lerroa: @@
 * <math>f^\leftarrow : P(Y) \rightarrow P(X)</math>, <math>f^\leftarrow = \{a \in X \mid f(a) \in B\}</math>
-=== '''Izarren notazioa''' ===
+=== Izarren notazioa ===
 * <math>f_\star : P(X) \rightarrow P(Y)</math>, <math>f^\rightarrow </math>-ren ordez
 * <math>f^\star : P(Y) \rightarrow P(X)</math>, <math>f^\leftarrow </math>-ren ordez
-=== '''Beste terminologiak''' ===
+=== Beste terminologiak ===
 * <math>f[A]</math>-ren ordez <math>f''A</math> ere erabiltzen da. <ref>{{Erreferentzia|izena=Jean E.|abizena=Rubin|izenburua=Set theory for the mathematician|argitaletxea=San Francisco, Holden-Day|data=1967|url=http://archive.org/details/settheoryformath0000rubi|sartze-data=2021-12-04}}</ref><ref>{{Erreferentzia|izenburua=Wayback Machine|data=2018-02-07|url=https://web.archive.org/web/20180207010648/https://pdfs.semanticscholar.org/d8d8/5cdd3eb2fd9406d13b5c04d55708068031ef.pdf|aldizkaria=web.archive.org|sartze-data=2021-12-04}}</ref>
 * Zenbait testuk <math>f</math>-ren irudia <math>f</math>-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, “hein” hitza ere erabili ohi baita <math>f</math>-ren koeremua adierazteko.
@@ 65. lerroa: / 65. lerroa: @@
 == Propietateak ==
-=== '''Orokorrean''' ===
+=== Orokorrean ===
 <math>f:X\longrightarrow Y</math> edozein funtziorako eta <math>A\subseteq X</math> eta <math>B\subseteq Y</math> azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:
 {| class="wikitable"