Ekuazio diofantoar

Ekuazio diofantoarra deitzen zaio bi aldagai ezezagun edo gehiago duen edozein ekuazio aljebraikori, zeinen koefizienteak zenbaki osoen multzoan zehar ibiltzen diren eta zenbaki oso edo soluzio naturalak bilatzen diren, hau da, zenbaki osoen multzoak diren. Horrelako ekuazioen mota jakin bat dira bi ezezagunetako ekuazio diofantoar linealak, zeinak $ax+by=c$ forma duten.

$ax+by=c\,$ $a,b,c\,$-rekin zenbaki osoei dagokiena, soluzioa izateko baldintza beharrezkoa eta nahikoa da $a\,$eta $b\,$-ren zatitzaile komun handienak $c$ zatitzen duela

Adibidea

Ekuazio diofantoar baten adibidea da: $x+y=5\,$ .

Ekuazio horrek soluzio infinituak ditu zenbaki errealetan . Arau orokor gisa, dena den, arazoetan agertzen diren ekuazioek kasu kopuru txiki batera eta are soluzio bakar batera mugatzen laguntzen diguten murrizketak dituzte.

Adibidez, gure ekuazioan, balore posibleak $x$ eta $y$ zenbaki oso positiboei mugatzen baditugu, $(x,y)$-rentzako 4 irtenbide ditugu: $(1,4)\lor (2,3)\lor (3,2)\lor (4,1)$.

Ekuazio diofantoarren bidez ebazten den problema matematiko oso famatua tximinoaren eta kokoena da.

Ekuazio diofantoar lineala

$Ax+By=C\,$ ekuazio diofantoarra edo Bézout identitateak badu konponbidea du baldin eta $d=\mathrm {mcd} (A,B)$ (zatitzaile komun handiena) C -ren zatitzaile soila bada. Kasu horretan, ekuazioak soluzio infinitu ditu.

Era berean, $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}=C$ ekuazioak soluzioa du baldin eta $d=\mathrm {mcd} (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ $C$-ren zatitzaile soila bada .

Irtenbide orokorra

Demagun $Ax+By=C$ ekuazio diofantoarra. Irtenbidea soilik du $\mathrm {mcd} (A,B)=d|C\,$ bada . $\mathrm {mcd} (A,B)$ bilatzeko Euklidesen algoritmoa erabiltzen dugu. Ekuazio diofantoar batek soluzioa badu, nahitaez soluzio infinituak ditu eta denak era honetakoak dira:

${\begin{cases}x=x_{1}+\lambda {\cfrac {B}{d}}\\y=y_{1}-\lambda {\cfrac {A}{d}}\end{cases}}$

Non $d=\mathrm {mcd} (A,B)$, $\lambda \in \mathbb {Z}$ eta $x_{1}$ eta $y_{1}$ ekuazioaren soluzio jakin bat diren.

Zenbaki osoen soluzio horrek ekuazio beraren soluzioarekin kontrajartzen du $A,B,C,x,y$ zenbaki errealak direla kontuan hartzen denean eta $y={\frac {C-Ax}{B}}$ (suposatuz $B\neq 0$ ) formako soluzio infinituek osatzen dutenean.

Irtenbide partikularra

Soluzio jakin bat aurkitzeko, Bézout-en identitatea erabiltzen dugu Euklidesen algoritmoarekin batera. Horrek $x_{1}\,$ eta $y_{1}\,$ematen digu. Ikus dezagun adibidea:

$6x+10y=104$ ekuazio diofantoarra dugu

1. d = mcd(6, 10) bilatzen dugu, eta Euklidesen algoritmoa erabiliz aurkitzen dugu $d=2$ .
2. $d|C$-k (non "$|$" "banatu -ri") esan nahi duen, hau da, $2|104$, irtenbide jakin bat kalkulatzen dugu Bézout identitatea erabiliz: $x_{1}=2$ eta $y_{1}=-1$. Ekuazioa honela geratuko litzateke: $6\cdot 2+10\cdot (-1)=2$ .
3. Orain, $6x+10y=2$ ekuazioaren soluzio bat dugu. Horrekin, $x_{1}=2$ eta $y_{1}=-1$ . Ekuazioaren zati bakoitza ${\frac {C}{d}}={\frac {104}{2}}=52$-rekin biderkatzen badugu, gure jatorrizko ekuazioaren soluzio partikularra izango dugu $6x+10y=104$. Ekuazioa honela geldituko litzateke: $6\cdot 2\cdot 52+10\cdot (-1)\cdot 52=104$ .
4. Goian ikusi dugunarekin, irtenbide orokorra bilatzen dugu:

$\left\{{\begin{array}{rccl}x&=&(2\cdot 52)&+\lambda \cdot {\frac {10}{2}}\\y&=&(-1\cdot 52)&-\lambda \cdot {\frac {6}{2}}\end{array}}\right.\forall \lambda \in \mathbb {Z}$

Bi ezezagun dituen ekuazio ez-lineala

$x^{2}-y^{2}=a$ ekuazioa

$(x+y).(x-y)=a$ bezala idatz daitekeena. $x+y=m$ ; $x-y=n$ deituz, ekuazioa honela adierazten da $m\cdot n=a$ .

Badakigu $m$ eta $n$ parekotasun bera dutela. Sistema ebazterakoan, honako hau lortzen dugu:

$x+y=m$ $x={m+n \over 2}$

$x-y=n$ $y={m-n \over 2}$

Ekuazio pitagorastarra

Ekuazio pitagorastarra $x^{2}+y^{2}=z^{2}\,$-rekin $x,y,z\in \mathbb {Z}$ ekuazioari deitzen zaio. Goiko ekuazioaren edozein soluzio hirukoitz (x, y, z) hirukoitz pitagorastar deritzo. Gainera, $(x,y,z)$ ekuazio pitagorastarraren soluzio hirukoitz pitagorastarra bada, baita:

1. hirukoitz $x$ eta $y$ txandakatuz: $(y,x,z)$ .
2. hirukoitz anitz bat $(ky,kx,kz)$ .
3. hirukoitz bat seinaleren bat aldatuta $(-x,y,z)$, $(x,-y,z)$ bai $(y,x,-z)$ .
4. Aurreko prozedurak konbinatuz, lortutako beste edozein zerrenda laburtua.
5. ere izango dira

hirukoitz primitiboa dela esaten da zatitzaile komun handiena $x$ , $y$ , $z$ unitatea bada, hau da, ${\mbox{mcd}}(x,y,z)=1$. hirukoitz primitibo guztietan, gutxienez, $x$ edo $y$ zenbakietako bikoitia da, eta $z$ bakoitia. Baldintza horietan ikus daiteke ekuazio pitagorastarraren soluzio diren hirukoitz primitibo guztiak erakoak direla:

${\begin{cases}x=u^{2}-v^{2}\qquad y=2uv\qquad z=u^{2}+v^{2}\\u,v\in \mathbb {N} \;\land \;u\neq v\ ({\mbox{mod}}\ 2)\;\land \;{\mbox{mcd}}(u,v)=1\end{cases}}$

Platonen ekarpena

Platoni zor zaio ekarpena gaiari hiruki zuzen baten aldeak zenbaki osoetan formulatzen dituenean,$2n,n^{2}-1,n^{2}+1$, dudarik gabe, eragina izan baitzuen garapen matematiko orokorrean.

Hirukoitz pitagorastarrak

$u$, $v$, $w$ zenbaki oso positiboak triangelu zuzen baten aldeen luzerak irudikatzen dituztenean, (u, v, w) hirukoa hirukoitz pitagorastarra dela esaten da. Adibidez $(3,4,5)$, $(7,24,25)$ eta $(9,40,41)$ hirukoitz pitagorastarrak dira.

Ekuazio diofantoar kubikoa

$x^{3}+y^{3}=1729$ ekuazioa Ramanujanek konpondu zuen, automatikoki, zeinak soluzio gisa eman zituen —auto baten matrikulan agertzen ziren zifrei erreparatuz— (1,12), (12,1) (10,9) (9,10) ordenatutako bikoteak.

Hilberten hamargarren problema

1900. urtean, David Hilbert-ek problema-zerrenda famatu bat proposatu zuen, zeinaren konponbidea matematikari ekarpen handiak emango zizkiola hartzen zen. Horietako bat, zehazki hamargarrena, ekuazio diofantoarraren soluzio orokorrari buruzkoa zen, mende hasieran problema irekia zena. Problema, azkenean, 1970ean konpondu zen, Matiyasevichen teorema izenez ezagutzen den logika matematikoko emaitza berri batek Hilberten problemari ezezkoa erantzun zionean: «ez dago ekuazio diofantoar batek zenbat soluzio dituen ezartzeko aukera ematen duen prozedura orokorrik».

Bibliografia

• Mordell, L. J. (1969). Diophantine equations. Pure and Applied Mathematics 30. Academic Press. ISBN 0-12-506250-8. Zbl 0188.34503. 
• Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine approximations and Diophantine equations. Lecture Notes in Mathematics 1467. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020. 
• Shorey, T. N.; Tijdeman, R. (1986). Exponential Diophantine equations. Cambridge Tracts in Mathematics 87. Cambridge University Press. ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011. 
• Smart, Nigel P. (1998). The algorithmic resolution of Diophantine equations. London Mathematical Society Student Texts 41. Cambridge University Press. ISBN 0-521-64156-X. Zbl 0907.11001. 
• Stillwell, John (2004). Mathematics and its History (Second Edition edición). Springer Science + Business Media Inc. ISBN 0-387-95336-1. 

Ikus, gainera

• Zenbakien teoria

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "Diophantine Equation" MathWorld-en.
• Ekuazio diofantoarra PlanetMath-en.

• Datuak: Q905896
• Multimedia: Diophantine equation / Q905896