Zenbakien teoria

Zenbakien teoria modernoa Diofantoren antzinako aritmetika grekotik eratorria da. Diofantoren aritmetikaren azala, Bachet de Méziriacek latinera itzulia, Pierre de Fermaten iruzkinak dituen edizioa, 1670ean argitaratua.

Zenbaki lehenen banaketa zenbakien teorian azterketa puntu garrantzitsu bat da. Ulamen espiral honek hori ilustratzeko balio du, bereziki polinomio koadratiko batzuen balio bat izatearen eta zenbaki lehena izatearen arteko baldintzapeko independentzia iradokiz.

Zenbaki-teoria, zenbakien teoria edo goi mailako aritmetika matematika puruaren edo matematika hutsaren adar bat da, zenbaki osoak eta zenbaki osoetako funtzioetan sakontzen duena gehienbat, baina, oro har, zenbaki-eraztunen propietateak aztertzen ditu $\mathbb {Z}$ duten eraztun osoak $\mathbb {Z} \hookrightarrow A$ morfismo finitu eta injektagarri baten bidez. Matematikoak ez direnek erraz uler ditzaketen problema ugari ditu. Modu orokorragoan, zenbaki osoak aztertzean sortzen diren problemak aztertzen ditu eremu horrek. Jürgen Neukirchek dio:

«

Zenbakien teoriak matematikak berak beste zientzien artean duen posizio idealizatuaren antzekoa du matematika-diziplinen artean

»

.}}

Carl Friedrich Gauss matematikari alemaniarrak honela zioen: «Matematika zientzien erregea da, eta zenbaki-teoria matematikaren erregea da». Zenbaki-teorian lan egiten duten zientzialariek, izan ere, zenbaki lehenak, zenbaki osoetatik eratorritako beste elementu matematiko batzuk (zenbaki arrazionalak, esaterako) eta zenbaki osoen orokorpenak aztertzen dituzte.

Zenbaki osoak berez har daitezke edo ekuazio-soluziotzat (geometria diofantoar). Zenbakien teoriaren auziak, askotan, hobeto ulertzen dira analisi-objektuak aztertuz (adibidez, Riemannen zeta funtzioa), zenbaki osoen propietateak, zenbaki lehenak edo beste objektu batzuk kodetzen baitituzte (zenbakien teoria analitikoa). Halaber, zenbaki errealak zenbaki arrazionalekin lotuta ere azter daitezke, adibidez, azken horien hurbilketa gisa, (hurbilketa diofantoar).

Aritmetika terminoa zenbakien teoriari erreferentzia egiteko ere erabiltzen zen. Termino hori nahiko zaharra da, baina, gaur egun, ez hain erabilia. Hortik, zenbakien teoriari, goi aritmetika deitu ohi zaio, nahiz terminoa gero eta gutxiago erabiltzen den. Aritmetika terminoaren adiera hori, ez da nahastu behar oinarrizko aritmetikarekin edo Peanoren aritmetika sistema formal gisa aztertzen duen logikaren adarrarekin. Zenbakien teoria aztertzen duten matematikariei, zenbakien teoriko deritze.

Historia

Jatorriak

Aritmetikaren jatorria

Plimpton 322 buztinezko taulatxoa

Mesopotamiako Larsa hirian K.a. 1800. urtean jatorria duen Plinton 322 buztinezko taulatxoan ageri da historian lehen aldiz aritmetikaren erabilera, non Pitagorasen hirukoen zerrenda bat azaltzen den, hau da, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ betetzen duten $(a,b,c)$ zenbaki osoez osatutako tupla edo bektoreen zerrenda bat. Hirukoitzak gehiegi eta handiegiak dira indar gordinaren bidez lortzeko. Lehenengo zutabearen gaineko izenburuak honela dio: «Diagonalaren takiltuma, zeinari kenketa egin zaion zabalera...».

Taularen antolaerak iradokitzen du osatu zela hizkuntza modernoan

$\left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2}+1=\left({\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)^{2},$

identitatearen baliokide denaren bidez, antzinako Babiloniako ohizko ariketetan inplizitua dagoena.​ Beste metodoren bat erabili bazen, hirukoitzak lehendabizi eraikitzen ziren, eta, gero, $c/a$ bidez berrantolatzen ziren, seguruenik taula gisa erabiltzeko, adibidez, aplikazioei begira.

Zerrenda hori, seguruenik, garai hartako zenbait arazori irtenbidea aurkitzeko eta arazo horiek konpontzeko sortua izango zen. Babiloniar astronomian, erabilera izan zezakeela uste da eta, beste iturri batzuen arabera, baita eskolako problemen zenbakizko adibideetan erabiltzeko ereRobson, 2001, or. 201, eztabaidagarria dena. Robsonen artikulua modu polemikoan dago idatzita, «beharbada [...] [Plimpton 322] bere idulkitik botatzeko»;​ aldi berean, ondorio hau atera zuen:

«

[...] Nola kalkulatu zen taula? galderak eta zer arazo planteatzen ditu taulak? galderak ez du zertan izan behar erantzun bera. Lehenengoa hobeto erantzun daiteke elkarrekiko pareen bidez, duela mende erdi lehen aldiz iradoki zen moduan, eta bigarrena triangelu angeluzuzeneko problemaren baten bidez

»

.

Babiloniako zenbaki-teoria –Babiloniako matematikatik bizirik irauten duena horrela dei badaiteke– zati bakar eta deigarri horretan datza; aldiz, Babiloniako aljebra (aljebraren bigarren mailako zentzuan) oso garatua zegoen. Iturri neoplatoniko berantiarrek diote Pitagorasek babiloniarren matematika ikasi zuela. Horiek baino lehenagoko iturrien arabera, Talesek eta Pitagorasek Egipton zehar bidaiatu eta ikasi zuten.

Euklides IX.a 21-34 oso litekeena da pitagoriko izatea;​ oso material sinplea da («bakoitiak bider bikoitiak bikoitia da»; «zenbaki bakoiti batek zenbaki bikoiti bat neurtzen [=zatitzen] badu, orduan, zenbaki bikoiti horren erdia ere neurtzen [=zatitzen] du») baina hori da ${\sqrt {2}}$ irrazionala dela frogatzeko behar den guztia. Mistiko pitagorikoek garrantzi handia ematen zieten bakoiti eta bikoitiei. ${\sqrt {2}}$ irrazionala dela aurkitzea lehen pitagorikoei egozten zaie (Teodoro aurrekoa).​ Zenbakiak irrazionalak izan zitezkeela adieraztean (termino modernoetan), badirudi aurkikuntzak eragin zuela matematikaren historiako lehen fundazio-krisia; batzuetan, Hipasori egozten zaio haren frogapena edo zabalkundea, pitagorikoen sektatik kanporatua edo bereizia izan zena.​ Horrek behartu zuen alde batetik zenbakiak (osoak eta arrazionalak —aritmetikaren subjektuak—) eta bestetik luzerak eta proportzioak (zenbaki errealekin identifikatuko genituzkeenak, arrazionalak izan ala ez) bereiztera.

Tradizio pitagorikoak poligonal edo zenbaki figuratu deiturikoz ere hitz egiten zuen.​ Zenbaki karratuak, kubikoak, eta abar, orain zenbaki triangeluarrak, pentagonalak eta abar baino naturalago ikusten diren arren, zenbaki triangeluarren eta pentagonalen batuketen azterketa emankorra izango zen aro modernoaren hasieran (XVII. mendetik XIX. mendearen hasierara).

Antzinako egiptoar edo vediar iturrietan, ez dugu ezagutzen inolako material aritmetiko garbirik, nahiz eta bietan aljebra pixka bat badagoen. Hondarraren txinatar teorema Sun Zi Suanjing-en (K.o. III., IV. edo V. mendeak) ariketa gisa agertzen da (Sun Ziren soluzioan, bada oharkabean pasatzen den urrats garrantzitsu bat: geroago, ​Kutzakako Āryabhaṭak ebatzi zuen problema da).

Zenbakiei buruzko nolabaiteko mistizismo ere badago matematika txinatarretan,​ baina, pitagorikoetan ez bezala, badirudi ez dutela inora eraman. Pitagorikoen zenbaki perfektuekin gertatu den moduan, karratu magikoak ere sineskeriatik gozamenera pasa dira.

Grezia klasikoa eta Aro helenistiko goiztiarra

Sakontzeko, irakurri: «Greziar matematika»

Pasarte batzuez gain, Grezia klasikoko matematikak ezagunak zaizkigu, bai matematikari ez garaikideen txostenengatik, bai lehen garai helenistikoko matematika-lanengatik.​ Zenbakien teoriaren kasuan, horrek esan nahi du, oro har, Platon eta Euklides, hurrenez hurren.

Asiako matematikek greziar eta heleniar ikaskuntzan eragina izan bazuten ere, badirudi Greziako matematikak ere tradizio autoktonoa direla.

Eusebio Zesareakoak, PE X, 4. kapituluan, Pitagoras aipatzen du:

«

Izan ere, Pitagoras horrek, nazio bakoitzaren jakituria zehatz-mehatz aztertzen zuen bitartean, Babilonia, Egipto eta Persia osoa bisitatu zituen, eta aztiek eta apaizek irakatsi zioten, eta horietaz gain, brahmanekin ikasi omen zuen (horiek filosofo indiarrak dira), eta, batzuengandik, astrologia jaso zuen; besteengandik, geometria, eta, besteengandik, aritmetika eta musika, eta nazio ezberdinetako gauza ezberdinak, eta soilik Greziako jakintsuengandik ez zuen ezer lortu, pobreziarekin eta jakinduria eskasarekin ezkonduta baitzeuden; beraz, aitzitik, bera izan zen greziarren irakaspenaren autore atzerritik ikasitakoa erakutsiz.

»

Aristotelesek zioen Platonen filosofiak hurbiletik jarraitzen ziola pitagorikoen irakaspenei,​ eta Zizeronek ere gauza bera dio: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia (Diotenez, Platonek pitagoriko guztia ikasi zuen).

Platonek interes handia zuen matematiketan, eta argi bereizten zituen aritmetika eta kalkulua (Aritmetikaz aritzerakoan, zenbakiari buruzko teorizazioaz ari zen neurri batean, aritmetika edo zenbakien teoria esan nahi izan dutenaren ordez). Platonen elkarrizketa baten bidez, Theaetetus, dakigu Teodorok ${\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\dots ,{\sqrt {17}}$ irrazionalak direla frogatu zuela. Theaetetus, baita Platon ere, Teodororen ikaslea izan zen; mota guztietako neurtezinak bereizten lan egin zuen; beraz, esan daiteke aitzindaria izan zela zenbaki-sistemen azterketan. Pappusek Euklidesen Elementuak X. liburua, hein handi batean, Theaetusen lanean oinarritutakoa deskribatzen du.

Euklidesek Elementuak liburuen zati bat zenbaki lehenei eta zatigarritasunari eskaini zien, zenbakien teoriari argi eta garbi dagozkion gaiak, teoria horretan oinarrizkoak direnak (Euklidesen Elementuak liburuen VII.etik IX.era). Bereziki, bi zenbakiren zatitzaile komun maximoa kalkulatzeko, algoritmo bat eman zuen (Euklidesen algoritmoa; Elementuak, Prop. VII.2), eta zenbaki lehenen infinitutasunaren lehen froga ezaguna (Elementuak, Prop. IX.20).

1773an, Lessingek, liburuzain lanean ari zela, eskuizkribu batean aurkitutako epigrama bat argitaratu zuen; Arkimedesek Eratostenesi bidalitako gutuna omen zen. Epigramak Arkimedesen aziendaren arazoa deritzona proposatzen zuen; emaitzak, eskuizkribuan ez dagoena, ekuazio koadratiko zehaztugabe bat ebaztea eskatzen du, geroago, oker, Pell-en ekuazio deitutakoari mugatua. Dakigunez, ekuazio horiek Indiako eskolak erabili zituen lehen aldiz arrakastaz. Arkimedesek berak soluziorako metodorik ba ote zuen ez da jakiterik.

Diofanto Alexandriakoa

Oso gutxi ezagutzen da Diofanto Alexandriakoari buruz; seguruenik, gure aroko III. mendean bizi izan zen, hau da, Euklides baino bostehun urte beranduago. Diofantoren Aritmetikako hamahiru liburuetatik sei jatorrizko grekoan gordetzen dira, eta beste lau arabierazko itzulpen batean. Aritmetika problema landuen bilduma bat da, non zeregina beti datzan ekuazio polinomikoen sistema bati ebazpen arrazionalak aurkitzean, normalean $f(x,y)=z^{2}$ o $f(x,y,z)=w^{2}$ formakoa. Hala, gaur egun, ekuazio diofantoarrez ari gara ekuazio polinomikoez ari garenean, zeinei soluzio arrazionalak edo osoak aurkitu behar zaizkien.

Esan daiteke Diofantok puntu arrazionalak aztertzen zituela, hau da, koordenatu arrazionalak dituzten puntuak, kurba zein aldaera aljebraikoetan; hala ere, greziarrek garai klasikoan ez bezala, zeinak geometrikoki gaur egun oinarrizko aljebra deituko genukeena egiten zuten, Diofantok gaur egun, termino aljebraiko hutsetan, oinarrizko geometria aljebraikoa deituko genukeena egiten zuen. Hizkuntza modernoan, Diofantok aldakien parametrizazio arrazionalak aurkitu zituen; Hau da, $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0$ formako ekuazio bat emanik, bere helburua, funtsean, hiru funtzio arrazional, $g_{1},g_{2},g_{3}$, aurkitzea zen, non $r$ eta $s$ ezar dezaten $x_{i}=g_{i}(r,s)$ balio guztietarako;$i=1,2,3$-rentzat, $f(x_{1},x_{2},x_{3})=0.$ ebazpena ematen du.

Diofantok zenbait kurba ez-arrazionalen ekuazioak ere aztertu zituen, zeinetarako ezinezkoa den parametrizazio arrazional bat. Kurba horietan (kurba eliptikoak; badirudi lehen agerraldi ezaguna dela), zenbait puntu arrazional aurkitzea lortu zuen, eraikuntza tangente baten parekoaren bidez: koordenatuen geometriara itzulita (Diofantoren garaian ez zegoena), haren metodoa puntu arrazional ezagun batean kurba baten tangentea marraztu balitz bezala bistaratuko litzateke, eta, gero, tangentearen eta kurbaren arteko beste elkargunea aurkitu; beste puntu hori puntu arrazional berri bat da. (Diofantok, era berean, sekante baten eraikuntza kasu berezi bat dei zitekeenera jo zuen).

Nahiz eta Diofanto, neurri handi batean, soluzio arrazionalez arduratzen zen, onartu zituen zenbaki osoen gaineko emaitza batzuk, bereziki, zenbaki oso oro lau karraturen batura dela, nahiz, esplizituki, inoiz ez zuen esan.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Nahiz eta greziar astronomiak, ziurrenik, indiar ikaskuntzan eragina izan zuen trigonometria sartzeraino, badirudi Indiako matematika tradizio indigena dela ;​ bereziki, ez dago frogarik esateko Euklidesen Elementuak Indiara XVIII. mendea baino lehen iritsi zirenik.

Āryabhaṭak (K.o. 476-550) frogatu zuen $n\equiv a_{1}{\bmod {m}}_{1}$, $n\equiv a_{2}{\bmod {m}}_{2}$ aldibereko kongruentzia bikoteak kuṭṭaka edo lainoztagailu deitu zuen metodo baten bidez ebatz zitezkeela; Euklidesen algoritmoaren (horren orokortze bat) antzeko prozedura bat da, ziur aski, Indian modu independentean aurkitu zena.​ Dirudienez, Āryabhaṭak kalkulu astronomikoen aplikazioak zituen buruan.

Brahmaguptak (K.o. 628) ekuazio koadratiko mugagabeen azterketa sistematikoari ekin zion, bereziki gaizki deitutako Pellen ekuazioari, zeinean Arkimedesek interesa izan zezakeen lehenik, baina Mendebaldean Fermat eta Euler-en garaira arte ez zen ebazten hasi. Sanskritoko ondorengo autoreek jarraituko zioten Brahmaguptaren terminologia teknikoa erabiliz. Azkenean, Pell-en ekuazioa ebazteko prozedura orokor bat (txakravala metodoa, edo metodo ziklikoa) aurkitu zuen Jayadevak (XI. mendean aipatua; hala ere, bere obra galdu egin da); eskura dagoen azalpenik zaharrena Bhaskara II.ko Bīja-gaṇitan agertzen da (XII. mendea).

Indiako matematika, neurri handi batean, ezezagunak izan ziren Europan XVIII. mendearen amaiera arte;​ Brahmagupta eta Bhāskararen lana 1817an itzuli zuen Henry Colebrookek ingelesera.

Aritmetika urrezko aro islamiarrean

Alhazen Mendebaldeko ikuspegitik ikusita: Selenographiaren aurrealdean, Alhasenek [sic] arrazoimenaren bidezko ezagutza irudikatzen du, eta Galileok, zentzumenen bidezkoa.

IX. mendearen hasieran, Al-Ma'mun kalifak matematika greziarraren lan asko itzultzea agindu zuen, eta sanskritozko lan bat gutxienez (Sindhind, Brahmaguptaren Brāhmasphuṭasiddhānta izan daitekeena edo ez). Diofantoren lan nagusia, Aritmetika, Qusta ibn Luqak itzuli zuen (820-912) arabierara. al-Fakhriren tratatuaren zati bat (al-Karajī, 953 - ca. 1029) hartan oinarritzen da, neurri batean. Rashed Roshdiren arabera, Al-Karajiren garaikidea zen Ibn al-Haythamenek, ordurako, ezagutzen zuen gerora Wilsonen teorema deituko zena.

Mendebaldeko Europa Erdi Aroan

Fibonacciren –Afrika iparraldean eta Konstantinoplan bidaiatu eta ikasia– progresio aritmetikoko karratuei buruzko tratatu batez gain, Erdi Aroan ez zen zenbakien teoriarik egin mendebaldeko Europan. Europan, gauzak aldatzen hasi ziren Pizkundearen amaieran, Greziako antzinateko lanen azterketa berritu bati esker. Katalizatzaile bat izan zen Diofantoren Aritmetikaren testuaren emendatzea eta latinera itzultzea.

Zenbakien teoria modernoa

Fermat

Pierre de Fermat (1607-1665)

Pierre de Fermat (1607-1665) frantziar abokatu eta matematikaria izan zen. Zenbakien teoriari buruz egin zuen lanaren zati handiena, beste matematikari batzuei idatzitako gutunetan eta ohar pribatuetan gorde da. Gutun eta ohar horietan, ez zuen ia frogarik idatzi.

Bere bizitzan zehar, Fermatek zenbaki-teorian hainbat ekarpen egin zituen. Horien artean, hauek dira nabarmenenak:

• 1638an, edozein zenbaki beste lau zenbaki edo gutxiagoren karratu gisa idatz daitekeela aldarrikatu zuen, nahiz eta frogarik eman ez.
• Fermaten teorema txikia (1640): p zenbaki lehenak ez badu zenbaki osoa zatitzen, orduan: $$a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}$$
• $x^{4}+y^{4}=z^{4}$ problemak zenbaki osoetan soluzio ez-tribialik ez zuela frogatu zuen.
• Fermaten azken teorema: $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ $\forall n\geq 3$ problemak ez du soluzio ez-tribialik.

Euler

Fermaten lan batzuk lagun batek erakutsi zizkionean interesatu zen Leonhard Euler (1707-1783) lehen aldiz zenbakien teoriaz. Eulerrek zenbakien teoriaz egin zituen ekarpenen artean, honakoak dira nabarmenenak:

• Fermaten teorema txikia frogatu zuen modulu ez-lehenetara orokortuz. Fermaten beste lan askorekin ere gauza bera egin zuen.
• Zatiki jarraituen eta Pell-en ekuazioaren arteko erlazioa idatzi zuen.
• Zenbakien teoria analitikoan, lehen urratsak eman zituen.

Lagrange

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) gai izan zen Fermatek eta Eulerrek eginiko lan batzuk osorik frogatzeko, esate baterako, lau karratuen teorema. Forma koadratikoak bere osotasunean aztertu zituen; baliokidetasun erlazioa definitu zuen, eta forma murriztuan adierazi zuen.

Adrien-Marie Legendrek  (1752–1833)  elkarrekikotasun koadratikoaren legea ezarri zuen. Zenbaki lehenen teoremaren eta segida aritmetikoen Dirichlet-en teoremaren konjeturak ezarri zituen. $ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=0$ ekuazioa sakon aztertu zuen, eta zuzenen gaineko forma koadratikoak ere aztertu zituen. Zahartzaroan, n=5 kasurako, Fermaten azken teorema frogatu zuen.

Disquisitiones Arithmeticae  liburuan, Carl Friedrich Gaussek (1777-1855) elkarrekikotasun koadratikoaren legea frogatu zuen, eta forma koadratikoen teoria garatu zuen. Kongruentzien notazioa erabiltzen lehenengoa izan zen, eta konputazioaren arloan ere murgildu zen, lehentasun testa (zenbaki lehenak aurkitzeko testa) esaterako. Liburu horren azken atalean, unitatearen erroaren eta zenbaki-teoriaren lotura ezarri zuen.

Izaeraren eta azpieremuen sorrera

Hemeretzigarren mendearen hasieran, honako garapenak gertatu ziren:

• Zenbaki-teoria azterketa eremu gisa ikusteak indarra hartu zuen.
• Zenbaki-teoria modernorako, matematikaren beharrezko garapenak eman ziren: analisi konplexua, talde-teoria, Galoisen teoria…
• Zenbaki-teoriaren banaketa zenbaki-teoria modernoko azpiatal nagusietan, hala nola zenbaki analitikoen teoria eta zenbaki aljebraikoen teoria.

Azpiatal nagusiak

Tresna elementalak

Metodo bat elementala dela esaten da bertan analisi konplexua erabiltzen ez bada. Adibidez, hasiera batean, zenbaki lehenen teorema analisi konplexua erabiliz frogatu zen (1896. urtean), baina 1949. urtera arte ez zen froga elementalik aurkitu.

Zenbakien teoria analitikoa

Zenbakien teoria analitikoa da zenbaki osoen problemak ebazteko analisi matematikoa erabiltzen duen zenbakien teoriaren azpiatal bat. Azpiatal horretan gehien erabiltzen diren metodoen artean, Dirichleten serieak eta Riemannen zeta funtzioak daude.

Zenbakien teoria aljebraikoa

Zenbaki konplexu bat aljebraikoa dela esaten da koefiziente arrazionalak dituen polinomio baten erroa bada; adibidez, $x^{2}+x+1$ zenbakiaren erro guztiak. Eraztunen teoriako zenbaki idealen, idealen teoriaren eta balorazio-teoriaren garapenarekin batera etorri zen zenbaki aljebraikoen teoriaren garapena.

Orain arte ikusitako hiru azpiatalekin, zenbaki baten faktorizazioa bakarra dela frogatzen da.

Geometria Diofantikoa

Geometria diofantikoaren oinarrizko problema ekuazio diofantoar batek soluziorik duen ala ez jakitean datza, eta baiezko kasuan zenbat dituen jakitean.

Adibidez, bi aldagai errealen menpe  definitutako ekuazio batek kurba bat definitzen du planoan. Ideia orokortuz, bi aldagai edo gehiagoren menpe definitutako ekuazio batek edo ekuazio-sistema batek kurba bat, gainazal bat edo n dimentsioko espazioko objektu bat definitzen du. Geometria diofantoarrean, problemak ea balio arrazionaletarako edo osotarako soluziorik duen aztertzen da. Baiezko kasuan, zenbat dauden eta lantzen ari garen espazioan nola banatuta dauden jakitea da hurrengo urratsa. Horretarako, soluzio kopurua ea finitua den eta bere kontagarritasuna aztertu behar da.

Beste eremu batzuk

Konbinatoria aritmetikoa

Konbinatoria aritmetikoak honako galdera hauek hartzen ditu abiapuntutzat: A multzo txiki eta infinitu bat hartzen badugu, multzo honek$\{a,a+b,a+2b,....,a+10b\}$ segida aritmetikoko zenbat elementu izango ditu? Posible izango al da multzoko elementuen batura bidez balio batetik gorako elementuak idaztea? Multzoko elementuen batura ekuazio modura hartuta lortzen diren ekuazioei konbinatoria aritmetikoko karakteristikak deritze.

Eremu hori aipatutako ekuazioen azterketan oinarritzen denez, zenbaki-teoria batukorra eta zenbakien geometria erabiltzen dira. Orokorrean, azaltzen diren problemak erlazionatuta daude talde-teoria finituarekin, modelo teoriarekin eta teoria ergodikoarekin.

Zenbaki-teoria konputazionala

Soluzioak lortzeko metodoen deskribapena frogapenak egitearen ideia baino lehenagotik dator. Metodo horiek (algoritmoak) Antzinako Grezian azaltzen dira lehen aldiz historian. Horren adibidea da algoritmo euklidearra: zenbaki-teorian algoritmo euklidearra erabiltzen den modua zaharragoa da konputazioan algoritmo euklidearra erabiltzen den modua baino.

Orokorrean, bi arazo izango ditugu, edo izango ote ditugun jakin nahiko dugu: batetik, ea konputatzeko gai izango garen eta, beraz, ea konputazionalki emaitza bat lortuko dugun; bestetik, ea zenbat iraungo duen kalkulu konputazionalak, hau da, kostu konputazionala zenbatekoa izango den. Agian, erraza izan daiteke zenbaki bat lehena den erabakitzea, baina konputazionalki modu eraginkor eta azkarrean egitea oso zaila izan daiteke (zenbakia oso handia bada, baliteke kalkulu gehiegi egin behar izatea). Gaur egun, badira lehentasun test azkarrak, baina faktorizaziorako test azkarrak falta dira.

Kriptografian, mezu bat bere hartzailearentzat (eta soilik berarentzat) ulergarria izatea lortu nahi da, horretarako pribatutasuna bermatuz. Hari beretik, demagun kodifikatutako zifratutako mezu bat dugula; hori deskodetzeko, zifratutako mezua zenbakitzat hartuz, faktore lehenetan deskonposatzea premiazkoa da ia beti (gaur egun erabiltzen diren sistema kriptografikoetan), eta konputazionalki programatzeko, lehentasun test azkarren beharra dugu. Mezu baten pribatutasuna bermatzeko (baina gero mezua deskodetu ahal izateko), zenbaki lehenetan deskonposatzeko oso konplexuak diren zenbakiak erabiltzen dira. Horrela, faktorizaziorako test azkarrik ez dagoenez, mezuaren hartzailea ez den batek ezingo du deskodetu, eta, beraz, pribatutasuna mantentzen da.

Aplikazioak

Zenbaki teoria elementala matematika diskretuko kurtsoetan irakasten da zientzia konputazionalerako. Horrez gain, zenbaki teoriak aplikazio ugari ditu analisi numerikoan, bai eta aski ezaguna den kriptografian ere.

Bibliografia

• Apostol, Tom M.. (1976). Introduction to analytic number theory. Springer ISBN 978-0-387-90163-3. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Apostol, Tom M.. (n.d.). An Introduction to the Theory of Numbers. American Mathematical Society (kontsulta data: 2016-02-28). (Subscription needed)
• (Alemanez) Becker, Oskar. (1936). «Die Lehre von Geraden und Ungeraden im neunten Buch der euklidischen Elemente» Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik 3: 533–53..
• Boyer, Carl Benjamin; Merzbach, Uta C.. (1991). A History of Mathematics. (2.. argitaraldia) New York: Wiley ISBN 978-0-471-54397-8.. 1968 edition at archive.org
• Clark, Walter Eugene (trans.). (1930). The Āryabhaṭīya of Āryabhaṭa: An ancient Indian work on Mathematics and Astronomy. University of Chicago Press (kontsulta data: 2016-02-28).
• Colebrooke, Henry Thomas. (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara.. Londres: J. Murray (kontsulta data: 2016-02-28).
• Davenport, Harold; Montgomery, Hugh L.. (2000). Multiplicative Number Theory. 74 (revised 3rd. argitaraldia) Springer ISBN 978-0-387-95097-6..
• Edwards, Harold M.. (1983-11). «Euler and Quadratic Reciprocity» Mathematics Magazine 56 (5): 285–91.  doi:10.2307/2690368..
• Edwards, Harold M.. (2000). Fermat's Last Theorem: a Genetic Introduction to Algebraic Number Theory. 50 (reprint of 1977. argitaraldia) Springer Verlag ISBN 978-0-387-95002-0..
• (Frantsesez) Fermat, Pierre de. (1679). Varia Opera Mathematica. Toulouse: Joannis Pech (kontsulta data: 2016-02-28).
• Friberg, Jöran. (1981-08). «Methods and Traditions of Babylonian Mathematics: Plimpton 322, Pythagorean Triples and the Babylonian Triangle Parameter Equations» Historia Mathematica 8 (3): 277–318.  doi:10.1016/0315-0860(81)90069-0..
• von Fritz, Kurt. (2004). «The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum» Classics in the History of Greek Mathematics. Berlin: Kluwer (Springer) ISBN 978-1-4020-0081-2..
• Gauss, Carl Friedrich; Waterhouse, William C. (trans.). (1966). Disquisitiones Arithmeticae. Springer ISBN 978-0-387-96254-2..
• Goldfeld, Dorian M.. (2003). Elementary Proof of the Prime Number Theorem: a Historical Perspective. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert. (2007). «A book in search of a discipline» The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's "Disquisitiones Arithmeticae". Berlin & Heidelberg: Springer, 3–66 or. ISBN 978-3-540-20441-1. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Granville, Andrew. (2008). «Analytic number theory» The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press ISBN 978-0-691-11880-2. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Porphyry; Guthrie, K.S. (trans.). (1920). Life of Pythagoras. Alpine, New Jersey: Platonist Press.
• Guthrie, Kenneth Sylvan. (1987). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids, Michigan: Phanes Press ISBN 978-0-933999-51-0..
• An Introduction to the Theory of Numbers. (Sixth. argitaraldia) Oxford University Press ISBN 978-0-19-921986-5..
• Heath, Thomas L.. (1921). A History of Greek Mathematics, Volume 1: From Thales to Euclid. Oxford: Clarendon Press (kontsulta data: 2016-02-28).
• Hopkins, J.F.P.. (1990). «Geographical and Navigational Literature» Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period. Cambridge University Press ISBN 978-0-521-32763-3..
• Huffman, Carl A.. (2011-08-08). Pythagoras. (Fall 2011. argitaraldia) (kontsulta data: 2012-02-07).
• Iwaniec, Henryk; Kowalski, Emmanuel. (2004). Analytic Number Theory. 53 Providence, RI: American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-3633-0..
• Plato; Jowett, Benjamin (trans.). (1871). Theaetetus. .
• Lam, Lay Yong; Ang, Tian Se. (2004). Fleeting Footsteps: Tracing the Conception of Arithmetic and Algebra in Ancient China. (revised. argitaraldia) Singapore: World Scientific ISBN 978-981-238-696-0. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Long, Calvin T.. Elementary Introduction to Number Theory. (2.. argitaraldia) Lexington, VA: D.C. Heath and Company.
• Mahoney, M.S.. (1994). The Mathematical Career of Pierre de Fermat, 1601–1665. (Reprint, 2nd. argitaraldia) Princeton University Press ISBN 978-0-691-03666-3. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Milne, J. S.. (2017-03-18). Algebraic Number Theory. (kontsulta data: 2020-04-07).
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C.. (2007). Multiplicative Number Theory: I, Classical Theory. Cambridge University Press ISBN 978-0-521-84903-6. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Morrow, Glenn Raymond (trans., ed.); Proclus. (1992). A Commentary on Book 1 of Euclid's Elements. Princeton University Press ISBN 978-0-691-02090-7..
• Mumford, David. (2010-03). «Mathematics in India: reviewed by David Mumford» Notices of the American Mathematical Society 57 (3): 387. ISSN 1088-9477..
• Neugebauer, Otto E.. (1969). «The Exact Sciences in Antiquity» Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium (New York: Dover Publications) 9: 1–191. ISBN 978-0-486-22332-2. PMID 14884919. (kontsulta data: 2016-03-02).
• Neugebauer, Otto E.; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht. (1945). Mathematical Cuneiform Texts. 29 American Oriental Society etc..
• O'Grady, Patricia. (2004-09). Thales of Miletus. The Internet Encyclopaedia of Philosophy (kontsulta data: 2012-02-07).
• Pingree, David; Ya'qub, ibn Tariq. (1968). «The Fragments of the Works of Ya'qub ibn Tariq» Journal of Near Eastern Studies 26.
• Pingree, D.; al-Fazari. (1970). «The Fragments of the Works of al-Fazari» Journal of Near Eastern Studies 28.
• Plofker, Kim. (2008). Mathematics in India. Princeton University Press ISBN 978-0-691-12067-6..
• (Txineraz) Suanjing shi shu (Ten Mathematical Classics). Beijing: Zhonghua shuju (kontsulta data: 2016-02-28).
• Rashed, Roshdi. (1980). «Ibn al-Haytham et le théorème de Wilson» Archive for History of Exact Sciences 22 (4): 305–21.  doi:10.1007/BF00717654..
• Robson, Eleanor. (2001). «Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a Reassessment of Plimpton 322» Historia Mathematica 28 (3): 167–206.  doi:10.1006/hmat.2001.2317. jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2014-10-21).
• Sachau, Eduard; Bīrūni, ̄Muḥammad ibn Aḥmad. (1888). Alberuni's India: An Account of the Religion, Philosophy, Literature, Geography, Chronology, Astronomy and Astrology of India, Vol. 1. Londres: Kegan, Paul, Trench, Trübner & Co. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Serre, Jean-Pierre. (1996). A Course in Arithmetic. 7 Springer ISBN 978-0-387-90040-7..
• Smith, D.E.. (1958). History of Mathematics, Vol I. New York: Dover Publications.
• (Frantsesez) Tannery, Paul; Henry, Charles (eds.); Fermat, Pierre de. (1891). Oeuvres de Fermat. Paris: Imprimerie Gauthier-Villars et Fils. Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
• Life of Pythagoras or, Pythagoric Life. Londres: J.M. Watkins jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2011-07-21). For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
• Truesdell, C.A.. (1984). «Leonard Euler, Supreme Geometer» Leonard Euler, Elements of Algebra. (reprint of 1840 5th. argitaraldia) New York: Springer-Verlag ISBN 978-0-387-96014-2.. This Google books preview of Elements of algebra lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:
• Truesdell, C.A.. (2007). «Leonard Euler, Supreme Geometer» The Genius of Euler: reflections on his life and work. New York: Mathematical Association of America ISBN 978-0-88385-558-4. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Varadarajan, V.S.. (2006). Euler Through Time: A New Look at Old Themes. American Mathematical Society ISBN 978-0-8218-3580-7. (kontsulta data: 2016-02-28).
• Vardi, Ilan. (1998-04). «Archimedes' Cattle Problem» American Mathematical Monthly 105 (4): 305–19.  doi:10.2307/2589706..
• van der Waerden, Bartel L.; Dresden, Arnold (trans). (1961). Science Awakening. Vol. 1 or Vol 2 New York: Oxford University Press.
• Weil, André. (1984). Number Theory: an Approach Through History – from Hammurapi to Legendre. Boston: Birkhäuser ISBN 978-0-8176-3141-3. (kontsulta data: 2016-02-28).

Kanpo estekak

• Datuak: Q12479
• Multimedia: Number theory / Q12479