Lankide:Aalvarez101/Proba orria

Wikipedia, Entziklopedia askea
Zenbait zuzen paralelo.

Geometrian, bi zuzen plano batean elkartzen ez badira paraleloak dira; hau da, plano batean ebakitzen ez diren bi zuzen paraleloak dira.

Zuzena eta planoa edo hiru dimentsioko espazio-euklidestarrean bi planok ez badute punturik partekatzen, paraleloak direla esaten da. Hiru dimentsioko espazioan elkartzen ez diren bi zuzenek, paralelo izatekotan, plano berean egon behar dute.

Plano paraleloak hiru dimentsioko plano berean ebakitzen ez diren planoak dira.

Zuzen paraleloak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Paralelismoa, geometrian, dimentsio bateko edo gehiagoko edozein aldaera linealetan (zuzenak,planoak,hiperplanoak,eta abar)artean eginiko erlazioa da.

Plano kartesiarren bi zuzen paraleloak dira, malda bera baldin badaukate edo ardatzarekiko perpendikularrak badira, adibidez, funtzio konstantea.

Geometria afinean, aldaera lineal bat adierazten badugu V = p + E, non p puntua eta E espazio bektoriala diren, esaten da A = a + F eta B = b + G paraleloak direla baldin eta soilik baldin F Gn badago edo G Fn badago.

A eta B aldaera lineal V bereko azpialdaerak dira eta F eta G espazio bektorial bereko E, azpiespazio bektorialak.

Plano afinean bektore gidatzaile bera duten bi zuzen dira paraleloak.

Beha dezagun, hiru dimentsioko espazio afin batean zuzen bat eta plano bat paraleloak izan ahal direla.

Horrela, plano batean dauden bi zuzen paraleloak dira baldin eta zuzen berdinak badira edo, ez badute punturik partekatzen.

Era berean, espazioan bi plano paraleloak dira baldin eta bi planoak berdinak badira edo ez badute zuzenik partekatzen.

Bakartasun-axioma[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Euklidestar geometria beste geometria batzuetatik desberdintzen duen axioma da, honela dio:

Plano batean zuzen batetik kanpo dagoen puntu bakoitzetik zuzenari paraleloa den zuzen bakarra pasatzen da.

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

P multzoa emanda, planoan dauden zuzenen multzoa, definitu dezakegu hurrengo erlazio bitarra eta honela adieraziko da: . Honek esan nahi du a b-ren paraleloa dela.

a, b eta c P planoko zuzenak izanda, hurrengo propietateak betetzen dira:

Bihurkor eta simetriko propietateak multzoen ebakiduraren ondorio dira, eta ez daude bakartasunaren axiomaren menpe.

  • Bihurkorra: edozein zuzen bere buruarekiko paraleloa da:

  • Simetrikoa: zuzen bat beste batekiko paraleloa bada,alderantzizkoa ere betetzen da:
  • Iragankorra: zuzen bat beste zuzen baten paralelo bada eta bigarren zuzen hori beste zuzen baten paralelo bada, orduan lehenengo zuzena hirugarren zuzenaren paralelo da.

Beraz, planoetako zuzenen arteko paralelismoa baliokidetasun-erlazio bat da.

Espazioko plano paraleloen multzoetan froga daitezke aipaturiko propietate hauek.

Teoremak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Planoan bi zuzen perpendikularrak badira beste zuzen batekiko bi zuzen horiek paraleloak dira haien artean.
  • Plano batean zuzen batek beste zuzen bat ebakitzen badu, orduan bigarren zuzenarekiko paraleloak diren zuzen guztiak ebakitzen ditu.

Bi teorema hauetako propietateak eta propietate iragankorraren frogapenak bakartasunaren axioma erabiltzen dute.

Historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Plano berdinean zehar inoiz elkartzen ez diren bi lerro paraleloak direlako definizioa (Euclid's Elements) liburuan agertzen da, hain zuzen ere liburuaren 23. definizioan. Greziarrek beste definizio desberdin batzuei buruz egin zuten eztabaida, gehienak Euclidesen bosgarren postulatua azaltzen saiatzeko. Proklosek Posidoniori atxikitzen dio lerro paraleloak distantziakideak diren lerroak direla esaten duen definizioa, eta era berean Geminus aipatzen du.Sinplizio Ziliziakoak ere Posidoniusen lerro paraleloen definizioa aipatzen du, halaber Aganisek definizio horri buruz egindako aldakuntza.

Hemeretzigarren mendearen amaieran oraindik, Ingalaterran, bigarren mailan erabiltzen zen testuliburua Euclid's Elements zen. Geometria proiektiboa eta ez-euklidear geometria eremuetan egindako aurrerapenei esker geometriari buruzko testu berriak idatzi ahal izan ziren, ordura arte erabiltzen ziren geometriari buruzko testuliburuen ordez erabiltzen hasiko zirenak. Testu berrien ezberdintasunik handiena aurreko testuliburuekiko lerro paraleloen definizioari dagokio eta aldaketa honekin batera, era bateko kritikak heldu ziren. Kritika horien artean, behar bada, gogorretako bat Charles Dodgson, Lewis Carrol ezizenez ezagutua,idatzitako antzerki-lanean,Euclid and His Modern, jasotzen da.

Argitaratutako lehenengo erreforma liburuetako bat 1868an, James Maurice Wilsonek idatzitako Elementary Geometry liburua izan zen. Wilsonek norabidearen kontzeptu primitiboan oinarritu zen. Wilhelm Killing arabera, Wilsonek erabilitako ideia hori Leibnizek erabilitakoaren jarraipena zen. Wilsonek, norabidea terminoa azaldu barik, termino hori erabili izan zuen beste kontzeptu batzuk azaltzeko, adibidez hurrengo hau esaten duena ; " Elkarrekin ebakitzen diren bi lerro norabide desberdinak dituzte eta norabide desberdintasun horri bi lerroek osatzen duten angeluari deritzo." Wilsonek hamabosgarren definizioan "lerro paralelo" kontzeptua eman zuen hurrengo modu honetan ; " norabide berdina duten, baina lerro berdinaren gainean ez dauden, bi lerro paraleloak dira". Augustus De Morganek aurreko definizioa aztertu zuen eta akatsak zituela adierazi zuen. Akats horien artean definizioaren oinarria eta definizio beraren erabilera lerro paraleloei buruzko kontzeptuak azaltzeko daude. Dodgsonek ere gaitzetsi zuen Wilsonek erabilitako lerro paraleloen definizioa. Wilsonek bere lerro paraleloen definizioa aldatu zuen bere liburuaren hirugarren argitaralditik aurrera.

Beste pertsona batzuk ere saiatu ziren paralelo kontzeptu horri buruzko definizio bat ematen baina ez zuten funtzionatu. Zailtasun handiena, Dodgsonek adierazi zuen moduan, definizioa erabiltzeko beste axioma batzuk gehitu beharra zegoela. Posidoniusen distantziakideak diren lerroen definizioa, Francis Cuthbertsonek bere Euclidean Geometry liburuan erabilitakoa 1874an, arazo bat zuen, izan ere lerro zuzenetik distantzia finko batetara dauden puntuak lerro bat balira azaldu behar dira. Aurreko arazo hau ezin zen frogatu eta egia balitz bezala onartu behar zen. Eratutako angeluak zeharkako propietatea dela eta, The Elements of Geometry liburuan erabilitakoa W.D.Cooleygatik 1860an, sinplifikatuta eta azalduta beharrezkoa da frogapen bat non zeharkako zuzen bat bi zuzen ebakitzen baditu angelu korrespondentzietan orduan zeharkakoak ere egin behar dute. Aurreko enuntziatua erabiltzeko, beharrezkoa da axioma berri batzuk ematea, aurreko definizioekin gertatzen zen moduan.

Euklidear paralelismoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi zuzen[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zuzenen markak erakusten dute a eta b zuzenak paraleloak dira. Zeharkako t zuzenak hori horrela dela frogatzen du sortutako angelu kongruenteen bidez.

Bi dimentsiotan (Planoan)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez bi zuzen paralelo, eta , Euklidear espazioan. Orduan ondoko propietateak baliokideak dira:

  1. zuzeneko edozein puntu zuzenarekiko distantzia berara (minimora) dago (lerro distantziakideak).
  2. zuzena zuzenaren plano berean dago baina ez du ebakitzen (gogoratu zuzenak infinitura luzatzen direla).
  3. eta zuzenak beste hirugarren zuzen batek (zeharkakoa) plano berean ebakitzen badu, ebakiduraren angelu korrespondenteak kongruenteak dira zeharkakoekin.

Propietate baliokideak direnez, edozein hartu daiteke definizio giza Euklidear espazioan; baina, lehenengo eta hirugarren propietateak neurri teoria erabiltzen eta beraz, bigarrena baino korapilatsuagoak dira. Horregatik, bigarrena da aukerarik ohikoena paralelo definitzeko Euklidear espazioan[1]. Beste propietateak Euklidesen Paraleloen Postulatuaren ondorioak dira.

Hiru dimentsiotan (Espazioan)[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Hiru dimentsioko espazioan ebakitzen diren bi zuzen ez dute zertan paralelo izan behar. Plano beran badaude soilik esan diezaieke paralelo; beste edozein kasutan zuzenak gurutzatzen direla esango da.

Hiru dimentsioko espazioan bi zuzen ezberdin, eta , paraleloak dira baldin eta soilik baldin zuzeneko puntutik zuzenari gertuen dagoen punturainoko distantzia puntuaren hautapenarekin independentea baldin bada. Hau ez da inoiz gertatzen gurutzatzen diren zuzenetan.

Zuzen bat eta plano bat[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez zuzena eta planoa hiru dimentsioko espazioan; orduan, zuzen hori ez dago planoan baldin eta soilik baldin ez dira ebakitzen.

Definizio horren baliokidea da ondorengoa: Zuzen bat eta plano bat paraleloak dira baldin eta soilik baldin zuzeneko puntutik planoari gertuen dagoen punturainoko distantzia puntuaren hautapenarekin independentea baldin bada.

Bi plano[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi zuzen paralelo plano berean egon behar direnen adeiren antzera, bi plano paralelo hiru dimentsioko espazio beran egon behar dute eta ezin dute puntu komunik eduki.

Izan bitez bi plano ezberdin, eta , hiru dimentsioko espazioan; orduan, paraleloak dira baldin eta soilik baldin planoko puntutik planoari gertuen dagoen punturainoko distantzia puntuaren hautapenarekin independentea baldin bada. Hau ez da inoiz gertatzen bi planoak hiru dimentsioko espazio beran ez badaude.

Ez-Euklidear geometriari luzapena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Geometria ez-Euklidearrean, ohikoagoa da geodesikoei buruz hitz egitea zuzenei baino. Edozein geometrian, geodesika bat bi puntuen arteko bide laburrena da. Geometria ez-Euklidearrean (geometria eliptikoan edo hiperbolikoan) goian aipatutako hiru propietateak ez dira baliokideak eta soilik bigarrena da baliagarria geometria ez-Euklidearrean ez baitu neurririk erabiltzen. Ohiko geometrian hiru propietateak hiru kurba ezberdin definitzen dute: kurba distantziakideak, geodesika paraleloak eta geodesikoak perpendikular komun bat partekatzen.

Geometria hiperbolikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Geometria Euklidearrean bi geodesika ebaki eta paralelo izan daitezke soilik. Geometria hiperbolikoan bi geodesika plano berean izan daitezke:

  1. Ebakitzaileak: planoko puntu batean ebakitzen badira.
  2. Paraleloak: ez badira puntu batean ebakitzen baina infinituko puntu batean (puntu ideala) konbergitzen badute.
  3. Ultra paralelo: ez badute komunean infinituko punturik.

Literaturan, ultra paralelo diren geodesikak ez-ebakiak izenez ezagutzen dira. Infinituan ebakitzen diren geodesikak limite paraloak deritze.

Zuzen ultra paraleloak perpendikular bakarra dute komunean (Ultraparaleloen teorema) eta perpendikular horren bi aldeetan dibergitzen dute.

Geometria esferikoa edo eliptikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. (Ingelesez) Parallel (geometry). 2018-10-25 (Noiz kontsultatua: 2018-11-06).