Edukira joan

Lankide:Be4tBm/Proba orria

Wikipedia, Entziklopedia askea

Azalpen sinplifikatua

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
Tunel efektuaren diagrama
Tunel efektua era sinplifikatuan azaltzen duen diagrama. Mekanika klasikoak eta kuantikoak baimendutako bideak alderatzen ditu.

Mekanika kuantikoaren arloko fenomenoa da tunel efektua eta mundu mikroskopikoaren ezagutzarekin lotura estua du. Orokorrean, asko jota tamaina atomikoa duten partikulekin ari garenean bakarrik beha daiteke. Eskala horretan mekanika klasikoak balioa galtzen du. Dena den, kontzeptua ulertzeko, potentzial langa bat zeharkatu nahian dabiltzan partikulak mendixka batean behera doan pilota batekin aldera daitezke.

Grabitatearen eginez, pilotak Lurraren zentroranzko norabidean higitzeko joera du. Mekanika klasikokoaren arabera, abiadura (energia) nahikoa ez badu, baloiak ezingo du muinoa gainditu.

Hala eta guztiz ere, mekanika kuantikoaren ikuspuntutik, partikulek noizbehinka beste aldera tunelatu dezakete. Hau da, partikulek energia nahikoa ez badute ere, muinoa gurutzatuko duten probabilitate txiki bat dago.[1]

Bi ikuspuntuen arteko aldearen jatorria materiak uhin zein partikulen propietateak dituela onartzea da. Dualtasun honen interpretazio batek Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa sartzen du tartean. Printzipio honek muga bat jartzen du aldi berean partikula baten posizioa eta momentu lineala jakiteko zehaztasunean.[2] Hori dela eta, "partikularen posizioa da" esan beharrean, testuinguru honetan egokiena "partikula posizioan aurkitzeko probabilitatea da" esatea da. Heisenbergen printzipioaren ondorioz, egoera batek zero (edo bat) probabilitatea izatea debekatuta dago. Hortaz, partikula bat oztopo baten beste aldean topatzeko probabilitatea beti izango da ez-nulua.

Partikula baten uhin-funtzioak sistema fisiko bati buruz jakin daitekeen guztia laburbiltzen du [3].

1. Irudia. Potentzial langa bat erasotzen duen uhin-fardelaren simulazioa. Uhin-fardelaren zati batek langa zeharkatzen du.

Schrödingerren ekuazioa bezalako formulazio matematikoak erabiliz aurki daiteke uhin-funtzioa. Bere moduluaren karratua zuzenean dago erlazionatuta partikula espazioko puntu batean aurkitzeko probabilitatearekin.

Langa zenbat eta zabalagoa eta energia altuagokoa izan, orduan eta txikiagoa da tunelatzeko probabilitatea. Tunelatzearen eredu sinpleak, dimentsio bateko potentzial langa esaterako, aljebraikoki analiza eta ebatz daiteke. Horrelakoetan, oztopoaren barruan anplitude ez-nulua duen uhin-funtzio batek ereduztatzen du prozesua. 1. irudiko simulazioak mota honetako sistema erakusten du.

Errealitateko mota honetako problemek askotan soluziorik ez dutenez, WKB hurbilketa bezalako metodo "semiklasikoak" garatu dira soluzio hurbilduak aurkitzeko.

...

...

Garapen matematikoa

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
Tunelatze kuantikoa. Jatorrian (x=0) potentzial langa oso garai (baina estua) dago. Tunel efektu adierazgarria ikus daiteke.

Denborarekiko independentea den Schrodingerren[4] ekuazioa

non

  • Plancken konstantea den.
  • partikularen masa den.
  • mugimenduaren norabidean neurtutako distantzia den.
  • Schrödingerren uhin funtzioa den.
  • partikularen energia potentziala (erreferentziazko maila egoki batekiko neurtuta) den.
  • partikularen ardatzeko higidurari dagokion energia den (-rekiko neurtuta) den.
  • fisikan izen jakinik ez duen magnitudea den, definituta den.

Schrödinger ekuazioak hainbat forma har ditzake -ren balio ezberdinetarako, -ren arabera. negatiboa eta konstantea den kasuetan, ekuazioa honela idatz daiteke:

Soluzioak uhinak dira, edo fase-konstanteekin. Aldiz, positiboa eta konstantea bada, Schrödingerren ekuazioak honako forma hartzen du:

konstantea izan beharrean -rekin aldatzen diren kasuak zailagoak dira. Salbuespenak diren kasuetan da errazagoa ebazpena, baina errealitate fisikoarekin loturarik ez duten egoerei dagozkie.

WKB hurbilketa

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
Klasikoki, partikularen posizioa deneko gunera dago mugatuta.

WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) hurbilketak koefiziente aldakorreko ekuazio diferentzial linealen soluzio hurbilduak ematen ditu. Bereziki erabilgarria da mekanika kuantikoko kalkulu semiklasikoak egiteko, zeinetan uhin funtzioa esponentzial gisa idatz daitekeen. Uhin funtzioaren anplitudea oso mantso aldatzen denean erabiltzen da. Ondoko forma duen soluzioa bilatuko dugu[5]:

Deribatuak:

Schrödingerren ekuazioa, , horrela berridatz daiteke funtzioa definituz

Gure soluzioa ordezkatuz

Zati errealak eta irudikariak bananduz, hurrengo bi ekuazioak lortuko ditugu

Bigarren ekuaziotik lortzen dugun soluzioa

Lehenengo ekuazioko arbuiagarria da

Beraz, gure soluzioa eta probabilitate banaketa

Hurbilketa hau baliagarria izateko, ezinbestekoa da izatea, bestela -k zerorantz joko luke, eta uhin funtzioak infiniturantz. Potentzial langa bertikala bada (hau da, -tik -rako jauzia bat-batatekoa bada) oso zaila da ematea. Hala ere, benetako kasuetan, malda ez da bertikala, eta orduan partikula aurki daitekeen puntuetako batean emango da. Hori betetzen duten puntuei puntu kritiko deituko diegu. Hain zuzen ere, klasikoki puntu kritiko hauetan partikulak buelta emango luke, baino kuantikoki hau ez da gertatzen. Hori dela eta, puntu hauetatik hurbil ekuazioa beste modu batean ebatzi behar da.

Eskuineko puntu kritikoa hurbiletik. Gune klasikoaren eta ez-klasikoaren arteko muga.

Lehendabizi, puntuan kokatuko dugu puntu hori translazio baten bitartez eta bi zatitan banatuko dugu lehen lortutako soluzioa, puntu kritikotik urrun baliagarria izan dadin:

Potentzialaren hurbilketa lineala hartuko dugu

Hori ordezkatuz, Schrödingerren ekuazioak forma hau hartzen du

Orduan definituz eta aldagai aldaketa eginez, ekuazio diferentziala horrela geratzen zaigu

Horren soluzioak Airy-ren funtzioak dira, funtzio berezi batzuk. Hauen adierazpenak konplikatuak dira, baina -tik urrun hurrengo hurbilketak erabil daitezke

Arreta berezia eskatzen duen gunea eta soluzioen bi gainezarmenak

Puntu kritikoetatik urrun WKB hurbilketa erabil daiteke, baina puntu kritikoetan ordea, ez. Hala ere, partikula baten higidura deskribatzeko funtzioek jarraituak izan behar dute. Hau betetzeko, hurbilketaren konstanteak Airyren funtzioen limite asintotikoekin doituko dira, eta horrela hurrengo uhin funtzioa lortuko dugu puntu kritikotik urrun. Ikusi puntu kritikoa hasierako posiziora () itzuli dugula, hasieran zerora eramateko translazioa deseginez.

Transmisio eta islapen koefizienteak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Transmisio eta islapen koefizienteak[6] aztertzeko, kasu erraz bat aukeratuko dugu: potentzial langa. da artean, eta hortik kanpo. Kasu honetan jauzia bertikala dela suposatuko dugu, eta beraz, potentzial langaren barruan WKB hurbilketa eginez lortutako emaitza baliagarria da:

Potentzial langa. Transmisio eta islapen indizeak aztertzeko erabiliko dugun kasu partikularra.

Baina potentziala konstantetzat hartuko dugunez, integrakizunetik atera daiteke. Ondoko parametroak definituz, eta , eta integralaren ordez ipiniz, tarte horretan gure adierazpenek hartuko duten itxura:

eta konstanteak direnez eta -ren barruan sar daitezke: .

Beraz, guztira daukaguna:

Transmisio eta islapen koefizienteen adierazpenetara iristeko aurreko ekuazioetan mugalde baldintzak inposatu behar dira: , eta bi hauen deribatuek jarraituak izan behar dute. Horrela lau ekuazio lortzen dira

Horma garai eta zabal bat zeharkatu duen uhin funtzioaren egitura kualitatiboa.

Hemen soluzio zehatzak lor daitezke; hala ere, kalkuluak zailak dira. Baina horma oso handia edota oso garaia baldin bada (hau da, tunelatze-probabilitatea txikia da), esponentzialki hazten den gaiaren koefizienteak () txikia izan behar du (izatez, zero izango litzateke horma infinituki handia balitz). Horrela, zuzenean hurrengoa lortzen da

Bestela, lehenengo bi ekuazioetatik, hartzen bada, -ren funtzio gisa lor daiteke

Lehen bezala, moduluak kalkulatzerakoan ondokoa lortzen da

Eta beraz, transimisio-indizea modu honetan idatz daiteke

Orain, eta -ren definizioak ordezkatuz

Transmisio-indizea (tunelatze probabilitatearen adierazletzat har dezakegu) esponentzialki txikitzen da potentzial-langaren zabalera handitzean. Hala ere hau ez da emaitza zehatza. Hurbilketarik erabiltzen ez bada, lortutako adierazpena[7]:

Modu berean, errefrakzio-indizea kalkula daiteke:

Erraz konproba daiteke betetzen dela, behar den moduan.






Erreferentziak

[aldatu | aldatu iturburu kodea]
  1. (Ingelesez) Davies, P. C. W.. (2005-01). «Quantum tunneling time» American Journal of Physics 73 (1): 23–27.  doi:10.1119/1.1810153. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2021-04-01).
  2. Nimtz, G.. (2008). Zero time space : how quantum tunneling broke the light speed barrier. Wiley-VCH ISBN 978-3-527-40735-4. PMC 214341390. (Noiz kontsultatua: 2021-04-01).
  3. Bjorken and Drell, "Relativistic Quantum Mechanics", 2. orria. Mcgraw-Hill College, 1965.
  4. Razavy, Mohsen. (2003). Quantum theory of tunneling. World Scientific ISBN 981-256-488-8. PMC 228136450. (Noiz kontsultatua: 2021-03-29).
  5. Griffiths, David J.. (2005). Introduction to quantum mechanics. (2nd ed. argitaraldia) Pearson Prentice Hall ISBN 0-13-111892-7. PMC 53926857. (Noiz kontsultatua: 2021-04-05).
  6. Tipler, Paul Allen. (2008). Modern physics. (5th ed. argitaraldia) W.H. Freeman ISBN 978-0-7167-7550-8. PMC 155682829. (Noiz kontsultatua: 2021-04-05).
  7. «barrera de potencial.pdf» Google Docs (Noiz kontsultatua: 2021-04-05).