Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa

Mekanika kuantikoan Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioak dio behatu daitezkeen magnitude fisiko eta osagarriak zehaztasun osoz ezin ditzakegula ezagutu. Hau da, fisika kuantikoan ezin ditugula jakin aldi berean eta zehaztasun osoz elkarren artean konmutatzen ez duten osagaien balioa. Horren adibide dira, partikula baten posizioa eta momentu lineala. Honen ondorioz, partikularen posizioa zehaztasun osoz ezagutuz gero, honen momentu linealaren ziurgabetasuna absolutua izango da. Printzipio hau Werner Heisenbergek enuntziatu zuen 1927an.

Jatorrian Heisenbergek neurketaren prozesuaren konsekuentzia moduan azaldu zuen: posizioa era zehatzean neurtzeak momentu linealari eragiten zion eta alderantziz, adibide bat (gamma-izpien mikroskopioa) aurkeztuz, zeina de Broglie hipotesiaren menpekoa zen. Haatik, gaur egun beste era osatuago batean ulertua da: ziurgabetasuna partikulan bertan ere existitzen da, baita neurketa egin baino lehen ere.

Ziurgabetasunaren printzipioaren azalpen modernoa, izatez, Kopenhage interpretaziotik (Bohr eta Heisenbergek abiaturikoa) haratago joanda, partikularen uhin-izaeraren oraindik menpekoagoa da: soka batean uhin baten posizioaz hitz egitea zentzu gabekoa den moduan, partikulek ez dute posizio guztiz zehatzik; antzera, pultsu baten uhin-luzeraz hitz egitea zentzu gabekoa den moduan, partikulek ez dute momentu lineal guztiz zehatzik (zeina uhin-luzeraren alderantzizkoaren proportzionala den). Gainera, posizioa erlatiboki ondo definitua dagoenean, uhina pultsu erakoa da eta nahiko txarto definituriko uhin-luzera (eta beraz momentu lineala) du. Eta era osagarrian, momentu lineala (eta beraz uhin luzera) erlatiboki ondo definitua dagoenean, uhinak itxura luze eta sinusoidala du, eta beraz nahiko txarto dago definitua bere posizioa.

De Brogliek berak proposatu zuen pilotu-uhin bat uhin-partikula dualtasuna azaltzeko. Bere ikuspuntutik, partikula bakoitzak posizio eta momentu lineal ondo definituak zituen, baina Schrödingerren ekuaziotik ondorioztaturiko uhin funtzio baten bidez gidatua egongo zen. Pilotu-uhinaren teoria hasieran baztertua izan zen, efektu ez-lokalak sorrarazten baitzituen partikula bat baino gehiagoz osaturiko sistemetan. Lokaltasun eza dena dela, laster bihurtu zen teoria kuantikoaren ezaugarri osagarria eta David Bohmek de Broglieren eredua hedatu zuen, esplizituki teorian sartu arte zuen. Bohm-en mekanikan, ^[1] uhin-partikularen dualtasuna ez da materia beraren propietatea, baizik eta gida-ekuazio edota potentzial kuantiko baten menpean higitzen ari den partikularen itxura.

Enuntziatu matematikoa

Demagun bi operadore ditugula: ${\hat {A}}$ eta ${\hat {B}}$ .

Bi operadore hauentzako kommutadorea horrela definitzen da:

$[{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}$

Kommutadore horren balioa zero bada esaten da bi operadore horiek kommutatzen dutela. Ez bada zero ez dute kommutatzen.

Heisenberg-en printzipioak dio bi operadore ez kommutagarrirentzat badagoela beraien ziurgabetasunen biderkaduraren beheko limite bat.

$\sigma _{A}^{}\sigma _{B}^{}\geq \left|{\frac {1}{2i}}\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|={\frac {1}{2}}\left|\langle [{\hat {A}},{\hat {B}}]\rangle \right|$

Ziurgabetasunak, $\Delta A$ edo $\sigma _{A}$ , batazbesteko balioarekiko desbideratzea neurtzen du.

$(\Delta A)^{2}=\sigma _{A}^{2}=<({\hat {A}}-<A>)^{2}>=<A^{2}>-<A>^{2}$

Demagun bi operadore ez-kommutagarri ditugula. Heisenberg-en adierazpenak dioen moduan, operadoreen kommutadorearen balio absolutuaren erdia izango da bi operadoreen ziurgabetasunen biderkaduraren beheko muga.

Ondorioz, operadore batekiko ziurgabetasuna 0 baldin bada; hau da, ziurtasun osoz defini badezakegu bere balioa, bigarren operadorearekiko ziurgabetasunak ezin du zero izan. Horrela balitz, bi ziurgabetasunen arteko biderkadura zero litzateke eta ez litzateke adierazpena beteko.

Hori dela eta, ondorioztatzen da bi osagaien operadoreek ez badute kommutatzen ezingo ditugula bi osagai horien balioak aldi berean zehaztu ziurtasun osoz.

Operadoreetako baten ziurgabetasuna 0 bada beste operadorearen ziurgabetasunak infinito izan beharko du.

Ziurgabetasun printzipioaren esplikazio kualitatiboa

Dinamikako aldagaiak (posizioa, momentu angeluarra, momentu lineala) prozedura esperimental batzuk erabiliz neurtzen ditugu. Neurketa egite horrek sistemaren egoera aldatuko du: perturbazio bat eragingo du. Adibidez, elektroi baten abiadura eta posizioaren neurketan pentsatzen badugu, neurketa egiteko beharrezkoa da argiaren fotoi bat igortzea elektroiaren aurka, zeinak elektroiaren abiadura eta posizioa aldatuko dituen. Hau da, neurketa egite hutsak errore bat sortzen du eta errore hori saihestea ezinezkoa da, erabilitako instrumentuak perfektuak izanda ere.

Fisika klasikoan sistema fisiko baten egoera deskribatzeko definitzen diren aldagaiak zehaztasun osoz neur daitezke. Praktikan partikula baten posizioa prezisio infinitesimalez zehaztu ezin badaiteke ere, fisika klasikoak dio prezisio hori eskuragarria dela eta esan daitekeela zehazki partikula bat puntu jakin batean dagoela. Bestalde, ziurgabetasun printzipioak neurketa egitean oinarrizko muga bat dagoela esaten duenez, sistema fisiko bat fisika klasikoko terminoen bidez deskribatzen denean hurbilketa bat egiten ari garela dio. Ziurgabetasun erlazioak hurbilketa horren kalitatea emango digu.

Arrazoi kultural eta hezkuntza arrazoiengatik ziurgabetasun printzipioa lehenengo aldiz aztertzerako garaian, fisika klasikoaren determinismoarekin baldintzatuta gaude. Bertan, partikula baten x posizioa denboraren funtzio jarrai bezala defini daiteke: $x=x(t)$ . Partikula horrek $m$ masa bat badu eta argiarena baino nahiko abiadura mantsoagoz mugitzen bada, partikularen momentu lineala masa bider abiadura bezala definitzen da. Honela abiadura posizioaren lehenengo deribatua da denborarekiko. $p=m\cdot {\frac {dx}{dt}}$

Aurretik esan bezala, Heisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioak dio ezingo dugula partikula baten hasierako posizioa eta momentu lineala aldi berean zehaztu ziurtasun osoz. $x(0)$ eta $p(0)$ jakitea izango bagenu, orduan fisika klasikoak partikularen posizioa eta abiadura zehaztuko lizkiguke beste edozein unetan. Baina Heisenberg-en ziurgabetasunaren printzipioak arrazoitzen duen moduan, hasierako posizioa eta momentu lineala aldi berean zehaztu ezin daitezkeen moduan, ezingo dira edozein unetan ere zehaztu ziurtasun osoz. Hau da, $x(t)$ eta $p(t)$ ezingo dira zehaztu. Ondorioz, partikularen traiektoria ere ezingo dugu zehazki ezagutu. Baina fisika klasikoa erabiltzen badugu, onartzen dugu partikulak traiektoria bat definitzen duela, zehazki ezagutu ezin badugu ere.

Baina ziurgabetasunaren printzipioa erabiltzen badugu, fisika klasikoaren ikuspegi hori ez da egokia. Traiektoriaren kontzeptu klasikoak ez digu balio: ez dauka zentzurik une batean partikularen posizioa eta abiadura aldi berean zeintzuk diren galdetzeak.

Indeterminazio erlazio adierazgarrienak

Robertson eta Schrödingerren erlazioak operadore orokorrentzat direnez, erlazio hauek edoizein behagarriri aplikatuak izan daitezke ziurgabetasun erlazio zehatz bat lortzeko. Erlazio ezagunen artean ondorengoak aurki ditzakegu:

Posizio eta momentu linealaren konmutadorea ez da zero eta ondorengo balioa hartzen du: $[{\widehat {x}},{\widehat {p}}]=i{\hbar }$ . Heisenbergen printzipioak dioenez, ondorengo ziurgabetasuna dugu: $\sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}$
Objektu baten momentu angeluar totalaren bi osagai ortogonalentzat, momentu angeluarraren osagaiek ere ez dute elkarrekin konmutatzen:

$[{{\widehat {l}}_{x}},{{\widehat {l}}_{y}}]=i\hbar {{\widehat {l}}_{z}}$ , $[{{\widehat {l}}_{y}},{{\widehat {l}}_{z}}]=i\hbar {{\widehat {l}}_{x}}$ eta $[{{\widehat {l}}_{x}},{{\widehat {l}}_{z}}]=i\hbar {{\widehat {l}}_{y}}$

Kasu honetan ondorengo ziurgabetasuna izango dugu: $\sigma _{{\widehat {l}}_{x}}\sigma _{{\widehat {l}}_{y}}\geq {\tfrac {\hbar }{2}}\left|\left\langle {\widehat {l}}_{z}\right\rangle \right|$

Denborak eta energiak ere ez dute konmutatzen. Ziurgabetasun hori honela adierazten da:

$\sigma _{E}\cdot \sigma _{\tau }\geq {\frac {\hbar }{2}}$

Indeterminazio erlazioaren ondorioak

Printzipio honek aldaketa handia eragin zuen fisikan, teoriaren ezagutza zehatzean oinarritzen baita (eta ez probabilitate hutsean oinarritutako ezagutzan). Hala ere, Planck-en konstantearen balio txikiaren ondorioz, mundu makroskopikoan indeterminazio kuantikoa arbuiagarria da. Ondorioz, teoria fisiko deterministen emaitzak, erlatibitatearen teoria kasu, onargarriak izaten jarraitzen dute intereseko kasu praktiko guztietan.

Mekanika kuantikoan partikulek ez dute traiektoria bat definitzen. Ez baita posible partikula baten mugimendua deskribatzen duten magnitude fisiko guztien balioa zehaztasun osoz ezagutzea, horrela, partikula aurkitzeko dugun probabilitate dentsitatea ezagutu dezakegu soilik.

Oinarrizko mailen energiaren estimazioa

Ziurgabetasun printzipioaren bidez zenbait sistemen zero puntuko energia estimatu dezakegu. Horretarako, suposatuko dugu puntu honetan partikula geldirik dagoela (momentu linealaren balioa zero dela onartuko da kuantikan). Energia kalkulatzeko metodo honek, oinarrizko egoeraren magnitudearen ordenaren ideia bat ematen digu. Orokorrean balio hau ez da izango zehatza. Ziurgabetasun printzipioaren ondorioz metodoaren interpretazio fisikoak adierazten digu partikularen lokalizazioak energia kostu bat duela (energia zinetikoaren terminoa). Beraz, kuantikaren gorabeheren ondorioz, partikula indar-zentrutik gertuago egon ahala altuagoa izango da sistemaren energia. Horrela, oinarrizko egoeran sistemaren energiaren minimizazioa lortuko da.