Grabitazio

Isaac Newton (1642-1727), grabitazio unibertsalaren legeen sortzailea.

Grabitazioa fenomeno natural bat da, zeinaren eraginez masadun objetuek elkar erakartzen duten. Bereziki atzeman daiteke lurrean mantentzen gaituen erakarpen gisa, hau da, grabitatea, hainbat adierazpen naturalen erantzule dena: itsasaldiak, planeten orbitak, argizagi gehienen esferikotasuna eta abar.

Grabitazioa erraz ikus daiteke masa handiko objektuen artean, planeta eta izarren artean, adibidez, baina masadun edozein gorputzen gainean du eragina, gorputz subatomikoetatik hasi eta gorputz hipermasiboetaraino. Masa eta energia baliokideak direnez, energiaren edozein formak (argiak barne) grabitatea sortu, eta haren eragina jasaten du. Lurrean, grabitateak masadun objektuei pisua ematen die, eta Ilargiaren grabitatea da ozeano eta itsasoetan mareak sortzen dituena. Unibertsoan, gas egoeran dagoen materia grabitatearen eraginez kolapsatzen denean sortzen dira izarrak, eta izar horiek grabitatearen eraginez taldekatuz sortzen dira galaxiak; grabitatea da unibertsoan zehar dauden eskala handiko hainbat egitura edo formazioren sortzailea.

Horrenbestez, grabitazioa laugarren oinarrizko indartzat har daiteke, indar elektromagnetikoarekin, elkarrekintza nuklear ahularekin eta elkarrekintza nuklear bortitzarekin batera. Guztietan ahulena da, hain zuzen ere, grabitazio-indarra, eta, hori dela eta, ez du eragin nabarmenik partikula azpiatomikoen higidura aztertzeko orduan. Eskala makroskopikoan, aldiz, indar grabitatorioa nagusitzen da. Besteak beste, gorputz astronomikoen formazioaren eta ibilbidearen arrazoi nagusia da.

Albert Einstein (1879-1955), erlatibitate orokorraren aita.

Bestalde, grabitazioa ulertzeko beste modu bat ere badago: Einstein-ek proposatutako “Grabitazio orokorraren teoria”. Teoria horren arabera, grabitazioa ez da oinarrizko indar bat, masa ezberdineko gorputzek sortutako espazio-denboraren kurbaduraren ondorio zuzen bat baizik. Hala eta guztiz ere, aplikazio gehienetarako, nahikoa da Newtonen lege unibertsalaz baliatzea, horrek nahiko ondo hurbiltzen baitu aztertu beharreko sistema.

Etorkizunari begira, grabitazioa bere osotasunean ulertu ahal izateko, mekanika kuantikoaren ikuspuntutik garatutako teoria bat osatzen saiatu beharko genuke, orain arteko lana barneratzeaz gain, gaurdaino ulertzeko gai izan ez garen gaietan sakonduko duena: Grabitazio Kuantikoaren Teoria. Zientzialari asko ari dira fisikaren adar honetan lanean, haien helburua izanik orain arteko teoria guztiak eta lau indarrak barne hartuko dituen “Guztiaren Teoria” bat lortzea.

Grabitazioaren historia

Antzinako mundua

Grabitatearen izaera eta mekanismoa antzinako jakintsu ugarik aztertu zuten. Grezian, Aristotelesek uste zuen objektuak Lurrera erortzen zirela Lurra Unibertsoaren erdigunea zelako eta Unibertsoko masa guztia bertara erakartzen zuelako. Halaber, erortzen ari zen objektu baten abiadura bere pisuarekin batera handitu behar zela ere uste zuen; gerora frogatu zen ondorio hori faltsua zela. Aristotelesen ikuspegia Antzinako Grezia osoan oso onartua bazen ere, Plutarko eta beste pentsalari batzuk izan ziren aurreikusi zutenak grabitatearen erakarpena ez zela Lurrarena bakarrik.

Grabitatea indar gisa ulertzen ez bazuen ere, Arkimedes filosofo greziarrak triangelu baten grabitate zentroa aurkitu zuen. Era berean, bi pisu berdinek grabitate-zentro bera izango ez balute, bi pisu berdinek grabitate-zentro bera izango ez balute, bi pisuen grabitate-zentroa elkarrekin beren grabitate-zentroak lotzen dituen lerroaren erdian egongo litzatekeela postulatu zuen. Bi mende geroago, Vitruvio ingeniari eta arkitekto erromatarrak bere De architecturan esan zuen grabitatea ez dagoela substantzia baten pisuaren menpe, baizik eta bere izaeraren mende] K.a. VI. mendean, John Philoponus alexandriar jakintsu bizantziarrak bultzadaren teoria proposatu zuen denborarekin murrizten den kausazko indar bat sartuz, zeinak Aristotelesen teoria (higiduraren jarraipena indar baten etengabeko ekintzaren araberakoa da) aldatzen duen.

K.a. VII. mendean, Indian, Brahmaguptak grabitatea objektuak Lurrera erakartzen dituen indar erakargarria dela proposatu zuen, eta, hura deskribatzeko, gurutvākarṣaṇ terminoa erabili zuen.

Antzinako Ekialde Hurbilean, grabitatea eztabaida gogorren gaia zen. Al-Biruni intelektual persiarrak grabitate-indarra ez zela Lurrekoa soilik uste zuen, eta suposatu zuen, kriterio onarekin, beste zeruko gorputzek ere erakarpen grabitatorioa egin behar zutela. Aitzitik, Al-Khazinik Aristotelesen jarrera bera zuen: Unibertsoko materia guztia Lurraren erdigunera erakartzen dela.

Iraultza zientifikoa

XVI. eta XVII. mendeetan, Galileo Galilei izan zen grabitazioaren inguruan lehen lan modernoak egin zituen lehen zientzialaria. Azelerazio grabitatorioa gorputz guztietarako berdina zela erakutsi zuen, Pisako dorretik objektuak erortzen utziz egindako esperimentu famatuaz lehendabizi (nahiz eta ez dagoen inongo ebidentziarik Galileok esperimetu hori egin izanaz) eta plano inklinatuekin egindako esperimentu zehatzagoez ondoren. Galileoren lanak bidea erraztu zion Newton-i bere grabitazioaren teoria formulatzeko.

Newtonen grabitazio unibertsalaren legea

Bi masaren arteko grabitazio-indarrak erakarleak dira, berdinak dira moduluz, bien masa-zentroak biltzen dituen norabidea dute eta elkarren aurkako noranzkoak dituzte.

1687an, Isaac Newton fisikari ingelesak Principia lan ospetsua argitaratu zuen grabitazio unibertsalaren alderantzizko karratuen ekuazioa hipotetizatuz. Bi partikularen kasua (1 eta 2 partikulak) honelaxe idatz ditzakegu bakoitzak bestearen eraginez jasaten duen indar grabitatorioak: $${\boldsymbol {F}}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{12},$$$${\boldsymbol {F}}_{21}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{21},$$

non ${\boldsymbol {F}}_{12}$delakoa 1 partikulak 2 partikularen eraginez jasaten duen erakarpen-indarra den (bektorea), $G$ grabitazio unibertsalaren konstantea, $m_{1}$ eta $m_{2}$ bi gorputzen masak, $r$ bi masen arteko distantzia eta masa puntualen arteko ${\boldsymbol {u}}_{12}={\frac {{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}}{\mid {{\boldsymbol {r}}_{1}-{\boldsymbol {r}}_{2}}\mid }}$ bektore unitarioa; zeinu negatiboak indarra erakarlea dela adierazten du, alegia, ${\boldsymbol {F}}_{12}$ eta ${\boldsymbol {u}}_{12}$ bektoreek aurkako noranzkoa dutela; eta berdintsu bigarren adierazpenari dagokionez. Ekuazio horietatik, erraz ondoriozta daiteke grabitate-indarrak irismen infinitua duen arren oso urrun dauden objektuek ez dutela ia euren arteko elkarrekintzarik jasaten, masa izugarri handiak izan ezean.

Newtonen teoria gai izan zen Neptuno planetaren existentzia aurresateko, zeren, Uranoren higidura aztertzean, planeta horren ibilbidea ezin baitzen azaldu beste planeta baten eragin ezean.

Hala ere, Merkurioren orbitak erakusten zuen desadostasun batek zalantzan jarri zuen Newton-en teoria. Izan ere, teoria horrekin ezin zen orbitaren perihelioak erakusten zuen prezesioa azaldu. Geroago, 1915ean, Albert Einstein-ek argitaratu zuen Erlatibitate orokorraren teoriarekin, fenomeno hori zehaztazun osoz ebatzi ahal izan zen.

Baliokidetasun-printzipioa

Mailua eta lumaren erorketa: David Scott astronauta (Apollo 15 misioan) ilargian, Galileoren esperimentua errepikatu eta baliokidetasun-printzipioa frogatzen.

Baliokidetasun-printzipioaren arabera, objektu guztiak era berean erortzen dira, azelerazio berarekin, eta, hainbat aspektutan, grabitatearen efektuak bereiztezinak dira azelerazio edo dezelerazio batetik. Printzipio hori aztertu duten zientzialari ospetsuenen artean, Galileo Galilei, Loránd Eötvös eta Albert Einstein daude. Baliokidetasun-printzipioa frogatzeko modu errazena, masa ezberdineko bi objektu hutsean erortzen utziz gero zolura batera heltzen diren ikustea da. Horrelako esperimentu batek frogatzen du objektu guztiak era berean erortzen direla beste indarrik (airearen marruskadura edo efektu elektromagnetikoak, adibidez) ageri ez denean. Esperimentu sofistikatuagoek Eötvös-ek asmatutako tortrsio-balantzak erabiltzen dituzte. Satelite-testak ere egin izan dira (STEP, Satellite Test of the Equivalence Principle) doitasun handiagoa lortzeko, eta laserren bidez egindako esperimentu batek frogatu zuen baliokidetasun-printzipioa maila kuantikoan ere zuzena dela (Quantum Test of the Universality of Free Fall, Leibniz University Hannover, Alemania, 2014).

Erlatibitate orokorra

Albert Einsteinek Erlatibitatearen teoria orokorra argitaratu zuen 1915ean, Erlatibitate bereziaren teoria orokortuz eta bertan grabitatearen eragina kontuan hartuz. Orokortze horretan, Einsteinek zenbait printzipio berri sartu zituen: baliokidetasunaren-printzipioa, espazio-denboraren kurbadura eta kobariantzaren printzipioa. Teoria horretan, grabitate-indarren efektuak espazio-denboraren kurbadura gisa deskribatu zituen oinarrizko indar modura azaldu ordez.

Einsteinen teoriaren arabera, edozein masadun gorputzek espazio-denbora kurbatzen du, eta erorketa-librean higitzen den edozein gorputz mugituko da espazio-denbora kurboan lokalki zuzenak diren ibilbideetan. Ibilbide zuzen horiei, geodesika deritze. Newtonen lehenengo legearen pareko, Einsteinen teoriak ondokoa dio: objektu baten gainean indar bat aplikatzen dugunean, beraren ibilbidea geodesikatik aldenduko da.

Grabitazio kuantikoa

Erlatibitate orokorra deskubritu eta denbora gutxira ohartu ziren teoria hau ez dela bateragarria mekanika kuantikoarekin. Izan ere, posible da grabitazioa eremu kuantikoen teoriaren barruan deskribatzea (beste oinarrizko indarrekin batera) eta indar erakarle hau grabitoia deituko diogun bosoien bidez esplikatzea. Baina horrela, limite klasikoan erlatibitate orokorra berreskuratuko badugu ere, distantzia laburretan (Planck-en luzeraren mailan), teoriak huts egingo du. Honenbestez, teoria osatuago baten beharra somatzen da esparru honetan.

Mekanika klasikoa

Isaac Newtonek proposatutako Grabitazio unibertsalaren legeak ondokoa dio: masadun partikula puntual batek beste masadun partikula baten gainean eragiten duen indarra bi masen biderkadurarekiko proportzionala eta euren arteko distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala da. Gorago aipatu dugunez, partikula bakoitzak besteari egiten dion indarraren balioa honelaxe adieraz daiteke era matematikoan:

$${\boldsymbol {F}}_{12}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{{\left\vert {\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}\right\vert }^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{12},$$

grabitazio unibertsalaren konstantearen balioa $G=6,674\cdot 10^{-11}{\text{ N·m}}^{2}/{\text{kg}}^{2}$izanik, gutxi gorabehera.

Lege enpiriko horrek ondoko ondorio garrantzitsuak dakartza:

• Grabitazio-indarra beti da erakarlea. Planetek Eguzkiaren inguruan orbita itxiak egiten dituztenez, tribiala da ondorio hau. Izan ere, indar erakarle batek orbita irekiak sor baditzake ere, ezinezkoa da indar alderatzaile batek orbita itxiak sortzea.
• Irismen infinitua du. Bi gorputzek, elkarrengandik oso urruti egonagatik ere, beti jasango dute indar hau, nahiz eta distantzia batetik aurrera baztergarria izan.
• Elkarrekintza grabitatorioarekin lotutako indarra zentrala izango da beti.
• Distantzia handitu ahala, txikiagoa izango da erakarpen-indarra, eta, distantzia txikitu ahala, handiagoa.
• Lehenengo gorputzak bigarrenari eragiten dion indarra bigarrenak lehenengoari eragindako indarraren berdina izango da moduluz eta norabidez, baina kontrako noranzkoa izango du.

Gaur egun ere, gorputz astronomikoen mugimendua aztertzean, lege hau erabiltzen da, nahiz eta fenomenoa bere osotasunean aztertu ahal izateko beharrezkoa litzatekeen erlatibitate orokorraren teoria erabiltzea.

Bi gorputzen problema

Bi gorputzen higidura eliptikoa masa-zentroaren inguruan.

Newtonen legea bi gorputzeko sistema batean aplikatuz eta erreferentzia sistema inertzialtzat masa-zentroa hartuz, horien ibilbidea konikoa izango dela ikusiko dugu: eliptikoa, parabolikoa edo hiperbolikoa. Gainera, sistemaren energia osoa (energia potentziala eta energia zinetikoa batera kontuan hartzen dituena) negatiboa bada, ibilbideak eliptikoak izango dira derrigorrean. Horretaz baliatuz ondorioztatu zuten lehenengo aldiz planetek, hurbilketa on batean, orbita eliptikoak jarraitzen dituztela. Eta orbita horiek deskribatzeko , Keplerren legeez balia gaitezke.

Hiru gorputzen problema

Sakontzeko, irakurri: «Hiru gorputzen problema (grabitazioa)»

Bestalde, gure sistema hiru gorputzez osatuta dagoenean (Eguzkia-Lurra-Ilargia, esaterako), ebatzi beharreko problema konplexuago bihurtzen da. Gorputz bakoitzaren gaineko indarra beste biek eragindako indarraren batura bektoriala baino ez denez, erraz idatz ditzakegu higidura-ekuazioak. Baina, ekuazio horiek linealak ez direnez, ez dira ebazteko errazak: hiru gorputzeko sistemaren dinamika kaotikoa da, eta ez da soluzio analitiko orokor bat existitzen hori deskribatzen duenik. Ondorioz, problema hau ebazteko metodo numerikoak erabili beharko ditugu.

Mekanika erlatibista

Lurrak eragindako espazio-denboraren kurbadura, bi dimentsiotan irudikatuta.

Einsteinen eremu ekuazioak

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$

Lehenago aipatu dugun moduan, 1915. urtean, Albert Einstein fisikariak Erlatibitate Orokorraren Teoria argitaratu zuen, elkarrekintza grabitatorioa espazio-denboraren geometriaren deformaziotzat hartuz; planteamendu horrek grabitazio-indarra ulertzeko modua eraldatu zuen. Deformazioaren arrazoia gorputz ororen masa da, eta masak berak definituko du deformazioaren magnitudea ere.

Teoria honen arabera, grabitate-indarra ez da existitzen; irudipen bat da, eta, benetan, unibertsoaren geometriaren ondorio zuzena baino ez da. Horrela, Lurrak gure inguruko espazio-denbora deformatuko du, eta geometriak berak bultzatuko gaitu gu zentrorantz.

Deformazio geometriko hori tentsore baten bidez karakterizatuta dago, zeinak Einsteinen eremu-ekuazioak betetzen dituen.

Horrenbestez, “grabitate-indarra” sortzen duen efektua hauxe da: eremua sortzen duen puntuarekiko geldirik dagoen behatzailea ez da behatzaile inertzial bat, eta, ondorioz, Newtonen indarren baliokideak izango diren lege erlatibistak aplikatzean, alegiazko indarrak azalduko zaizkigu, Christoffel-en sinboloen bidez adierazten direnak. Ohiko grabitazioak ezaugarri erakarleak ditu erlatibitate orokorraren arabera. Energia iluna delakoak, aldiz, ezaugarri alderatzaileak dituela dirudi, eta unibertsoaren hedapen azeleratua eragiten du.

Mekanika kuantikoa

Gaurdaino ez gara gai izan grabitazioa kuantikoki ulertzeko; mekanika kuantikoaren arauak betetzen dituen eta eskala handietan erlatibitate orokorrarekin bat egiten duen teoria bat sortzeko egin diren saiakera guztiek porrot egin dute.

Hala ere, ikertzaile askok dihardute lanean horren inguruan, eta badaude gai horrekin lotutako ikuspuntu interesgarriak: kiribilen grabitate kuantikoa, supersoken teoria, twistoreen teoria… Dena den, horiek ez dute iragarpen nahiko zehatzik ematen eredu oso bat osatzeko.

Teoria bateratu bat sortzearen zailtasunen zergatiak ondokoak dira:

• Eremuen teoria kuantikoetan, espazio-denboraren egitura finkoa eta materiarekiko independentea izan ohi da. Kasu honetan, aldiz, espazio-denboraren eta materiaren artean elkarrekintza dago.

• Printzipio kuantikoak bete ahal izateko, eremu grabitatorioak kuantutan banatuta (bosoiez osatua) egon beharko luke. Partikula horiei grabitoiak deitu ohi zaie, baina ikertzaileek ez dute oraindik horien existentziaren ebidentziarik aurkitu.

Anomaliak eta desadostasunak

Badira behaketa batzuk behar bezala azaldu ez direnak eta, beraz, grabitatearen teoria hobeak behar direla adieraz dezaketenak edo, agian, beste era batera azalduak.

Galaxia espiral tipiko baten biraketa-kurba: aurreikusia (A) eta behatua (B). Kurben arteko desadostasuna materia ilunari dagokio.

• Izar bizkorrak: galaxietako izarrek abiadura-banaketa bat jarraitzen dute, non kanpoaldeko izarrak behar baino azkarrago mugitzen diren materia normalaren banaketaren arabera. Galaxia multzoen barruan dauden galaxiek antzeko eredua erakusten dute. Grabitazio bidez, baina, elektromagnetikoki ez den materia iluna eragingo luke desadostasuna. Halaber, Newtonen dinamikaren hainbat aldaketa ere proposatu dira.

• Flyby anomalia. Hainbat espazio-ontziek espero baino azelerazio handiagoa izan dute grabitatearen laguntza maniobratan.

• Azeleratutako unibertsoa. Badirudi unibertsoaren hedapena bizkortzen ari dela. Hori azaltzeko, Energia iluna proposatu da. Azken alternatibaren azalpena da espazioaren geometria ez dela homogeneoa (galaxia-multzoen ondorioz) eta hori kontuan hartzeko datuak berrinterpretatzen direnean hedapena ez dela azkartzen ari; dena den, ondorio hori eztabaidan dago.
• Unitate astronomikoaren igoera anormala. Azken neurketek adierazten dute planeten orbitak azkarrago zabaltzen ari direla eguzkiak energia irradiatzean masa galtzen duelako baino.
• Fotoi energetiko gehigarriak. Galaxia-multzoetan zehar bidaiatzen duten fotoiek energia irabazi beharko lukete, eta, gero, berriro galdu irteeran. Unibertsoaren hedapen bizkortzaileak fotoiek energia guztia itzultzea eragotzi beharko luke, baina, hori kontuan hartuta ere, mikrouhin kosmikoko hondoko erradiazioko fotoiek espero baino bi aldiz energia gehiago irabazten dute. Horrek adieraz dezake grabitatearen alderantzizko karratua baino azkarrago erortzen dela distantzia-eskala jakin batzuetan.
• Hidrogeno-hodei oso masiboak. Lyman-alfa basoko lerro espektralek iradokitzen dute hidrogeno-hodeiak eskala jakin batzuetan espero baino gehiago daudela bilduta, eta fluxu ilunaren antzera, distantzia-eskalan alderantzizko karratua baino motelago erortzen dela adieraz dezakete.

Teoria alternatiboak

Teoria alternatibo historikoak

• Grabitatearen teoria aristotelikoa.
• Le Sage-ren grabitatearen teoriak (1784). LeSage grabitatea ere deitzen zitzaion, baina, jatorriz, Fatiok proposatu zuen, eta Georges-Louis Le Sage-k gehiago landu zuen, gas argi batek Unibertso osoa betetzen duen fluidoetan oinarritutako azalpenean oinarrituta.
• Ritz-en grabitazioaren teoria, Ann. Kim. Fisikoak. 13, 145, (1908) 267–271 orr., Weber–Gauss elektrodinamika grabitazioari aplikatuta. Periheliaren aurrerapen klasikoa.
• Nordström-en grabitazioaren teoria (1912, 1913), erlatibitate orokorraren lehen lehiakidea.
• Kaluza Klein teoria (1921)
• Whitehead-en grabitazioaren teoria (1922), erlatibitate orokorraren beste lehiakide goiztiar bat.

Teoria alternatibo modernoak

• Brans-Dicke grabitatearen teoria (1961)
• Grabitate induzitua (1967), Andrei Sakharov-en proposamena, materiaren eremu kuantikoen teorietatik erlatibitate orokorra sor litekeenaren arabera.
• Korden teoria (1960ko hamarkadaren amaieran).
• ƒ(R) grabitatea (1970).
• Horndeski teoria (1974).
• Supergrabitatea (1976).
• Newtonen dinamika eraldatuan (MOND) (1981), Mordehai Milgromek Newtonen bigarren higidura-legearen aldaketa bat proposatzen du azelerazio txikietarako.
• The auto-creation cosmology theory of gravity (1982), G.A. Barber-ena, non Brans-Dicke teoria aldatzen den masa-sorkuntza ahalbidetzeko.
• Kiribilen grabitate kuantikoa (1988), Carlo Rovelli-rena, Lee Smolin eta Abhay Ashtekar-en eskutik.
• John Moffat-en teoria grabitatorio asimetrikoa (NGT) (1994).
• Tentsore-bektore-grabitate eskalar (TeVeS) (2004), Jacob Bekenstein-en MOND-en aldaketa erlatibista bat.
• Chameleon theory (2004), Justin Khoury eta Amanda Weltmanen eskutik.
• Pressuron theory (2013), Olivier Minazzoli eta Aurélien Hees-ek.
• Conformal gravity.
• Grabitatea indar entropiko gisa. Grabitatea entropiaren kontzeptu termodinamikotik sortzen den fenomeno gisa sortua.
• Superfluido hutsaren teorian, grabitatea eta espazio-denbora kurbatua hondo superfluido ez-erlatibistaren kitzikapen kolektibo gisa sortzen dira.
• Grabitate masiboa, non grabitazioek eta grabitazio-uhinek zeroa ez den masa-teoria.

Bibliografia

• Halliday, David; Robert Resnick; Kenneth S. Krane (2001). Physics v. 1 (ingelesez). Nueva York: John Wiley & Sons. {{ISBN|0-471-32057-9}}.
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (ingelesez) (6. edizioa). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
• Tipler, Paul Allen; Gene Mosca (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (ingelesez) (5. edizioa). W.H. Freeman & Company. {{ISBN|0-7167-0809-4}}.
• Wald, Robert M. (1994). Quantum Field Theory in Curved Spacetime and Black Hole Thermodynamics (ingelesez). Chicago University Press. {{ISBN|0-226-87027-8}}.
• Wald, Robert M. (1984). General Relativity (ingelesez) (12. edizioa). Chicago University Press. ISBN 0-226-87033-2
• Agirregabiria, Juan Mari. (2004). Mekanika klasikoa (7. edizioa). EHU/UPV. ISBN 9788483736319.

Kanpo estekak

• Datuak: Q11412
• Multimedia: Gravitation / Q11412