Lankide:Iñaki Arberas/Proba orria

Zenbait zuzen paralelo.

Geometrian,plano batean elkartzen ez diren bi zuzen paraleloak dira, hau da, plano batean bi zuzen ez badira ebakitzen ezta ukitzen paraleloak dira.

Zuzena eta planoa edo hiru dimentsioko Euklidear espazioan bi plano ez badute punturik partekatzen paraleloak direla esaten da. Bestalde, hiru dimentsioko espazioak elkartzen ez diren bi zuzen plano berean egon behar dira paraleloak izateko.

Plano paraleloak hiru dimentsioko plano berean ukitzen ez diren planoak dira.

Zuzen paraleloak

Definizioa

Geometrian,dimentsio bateko edo gehiagoko edozein aldaera linealean (zuzenak,planoak,hiperplanoak,etb)artean eginiko erlazioa da paralelismoa.

Plano kartesiarren bi zuzen paraleloak dira, baldin eta malda berdina daukaten edo ardatz baterekiko perpendikularrak badira, adibidez, funtzio konstantea.

Geometria afinean, aldaera lineal bat adierazten badugu V = p + E, non p puntua eta E espazio bektoriala diren, esaten da A = a + F, B = b + G ren paraleloa dela baldin eta soilik baldin F Gn badago edo G Fn badago, non A eta B aldaera lineal V bereko azpialdaerak diren eta F eta G espazio bektorial bereko E, azpiespazio bektorialak diren.

Plano afinean $(V=\mathbb {R} ^{2})$ esaten da bektore gidatzaile berdina duten bi zuzen paraleloak direla.

Beha dezagun, hiru dimentsiotako espazio afin batean, zuzen bat eta plano bat paraleloak izan ahal direla eta aldaera linealen aldiberekotasuna paralelismoaren kasu partikular bat dela.

Horrela, plano batean dauden bi zuzen paraleloak dira baldin eta zuzen berdinak diren edo, beste aldetik, ez badute punturik partekatzen.

Era berean, espazioan bi plano paraleloak dira baldin eta plano berdinak diren edo ez badute zuzenik partekatzen.

Bakartasun axioma

Euklidear geometria beste geometria batzuetatik desberdintzen duen axioma hurrengoa da:

Plano batean, zuzen batetik kanpo dagoen puntu bakoitzetik zuzen horri paraleloa den zuzen bakarra pasatzen da.

Propietateak

Planoan dauden zuzenen multzoa P emanda, definitu dezakegu hurrengo erlazio bitarra $\parallel$ eta hurrengo moduan adieraziko dugu: $a\parallel b\quad ,(a,b)\in \parallel$. a b-ri paraleloa dela errepresentatuz.

a, b eta c P planoko zuzenak izanda, betetzen da:

Lehenengo bi propietateak multzoen ebakiduraren ondorio dira eta ez daude bakartasunaren axiomaren menpe.

• Bihurkorra: Edozein zuzen berarekiko paraleloa da:

$\forall a\in P:\quad a\parallel a$

• Simetrikoa: Zuzen bat beste baterekiko paraleloa bada,alderantziz ere betetzen da:$\forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a$

• Iragankorra: Lehenengo zuzen bat bigarren zuzen baten paralelo bada eta bigarren zuzenak hirugarren zuzen baten paralelo bada, orduan lehenengo zuzena hirugarren zuzenaren paralelo da.

$\forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c$

Beraz planoetako zuzenen arteko paralelismoa baliokidetasun-erlazio bat da.

Espazioko plano paralelo multzoetan froga daitezke propietate hauek.

Teoremak

• Planoan hirugarren zuzen bati perpendikularrak diren bi zuzen paraleloak dira haien artean.
• Plano batean zuzen bat beste zuzen bat ebakitzen badu orduan zuzenarekiko paraleloak diren zuzen guztiak ebakitzen ditu.

Bi teorema hauetako eta hirugarren propietateko frogapenak bakartasunaren axioma erabiltzen dute.

Historia

Plano berean zehar inoiz elkartzen ez diren bi lerro paraleloak direlako definizioa Euclid's Elements liburuan agertzen da, hain zuzen ere liburuaren 23. definizioan, hain zuzen. Greziarrek beste definizio desberdin batzuei buruz egin zuten eztabaida, gehienak Euklidesen bosgarren postulatua azaltzen saiatzeko. Proklosek Posidoniori esleitzen dio lerro paraleloak lerro distantziakideak direla esaten duen definizioa. Sinplizio Ziliziakoak ere Posidoniusen lerro paraleloen definizioa aipatzen du, eta bai Aganisek definizio horretan egindako aldaketa ere.

XIX. mendearen amaieran, artean ere erabiltzen zen, Ingalaterrako bigarren ikastaroan, Euclid's Elements liburua ikasliburu gisa. Geometria proiektiboaren eta geometria ez-euklidearraren eremuetan egindako aurrerapenei esker, geometriari buruzko testu berriak idatzi ahal izan ziren, eta geometriari buruzko ordura arteko testuliburuen ordez erabiltzen hasi ziren. Testu berriek aurreko testuliburuekiko duten ezberdintasunik handiena lerro paraleloen definizioari dagoki; aldaketa honekin batera, hainbat kritikak heldu ziren. Kritika horien artean, beharbada, gogorretako bat Charles Dodgson-ek (Lewis Carrol ezizenez ezagutua bera) idatzitako antzerki-lanean jasotzen da (Euclid and His Modern).

Terminoak eraldatu zituen lehenengo liburuetako bat James Maurice Wilsonek 1868an idatzitako Elementary Geometry liburua izan zen. Wilson-ek norabidearen kontzeptu primitiboan oinarritu zen. Wilhelm Killingren arabera, Wilsonek erabilitako ideia hori Leibnizek erabilitakoaren jarraipena zen. Wilson-ek norabide terminoa, nahiz eta definitu gabe, beste kontzeptu batzuk azaltzeko erabili zuen; adibidez, honako hau: " Elkar ebakitzen duten bi lerro norabide desberdinak dituzte eta norabide-desberdintasun horri bi lerroen arteko angeluari deritzo." Wilson-ek, hamabosgarren definizioan, lerro paraleloaren kontzeptua azaldu zuen; honela: " Norabide bera duten, baina lerro beraren gainean ez dauden bi lerro paraleloak dira". Augustus De Morganek aurreko definizioa aztertu zuen, eta akatsak zituela adierazi zuen. Akats horien artean, definizioaren oinarria eta definizio beraren erabilera daude. Dodgsonek ere gaitzetsi zuen Wilsonek erabilitako definizioa. Wilsonek bere lerro paraleloen definizioa aldatu zuen bere liburuaren hirugarren argitaralditik aurrera.

Beste erreformatzaile batzuk ere saiatu ziren paralelo kontzeptu horri buruzko definizio bat ematen, baina definizio horiek ez zuten funtzionatu. Zailtasun handiena zen, Dodgson-ek adierazi zuen moduan, definizioa erabiltzeko beste axioma batzuk gehitu beharra zegoela. Posidonius-ek lerro distantziakideei buruz emandako definizioak, Francis Cuthbertsonek bere Euclidean Geometry liburuan (1874) erabiliak, arazo bat zuen; izan ere, lerro zuzenetik distantzia finko batera dauden puntuak lerro bat balira azaldu behar dira. Arazo hori ezin zen frogatu, eta egia balitz bezala onartu behar zen. Aurreko enuntziatua erabiltzeko, beharrezkoa da axioma berri batzuk ematea, aurreko definizioekin gertatu den moduan.

Euklidear paralelismoa

Bi zuzen

Zuzenen markak erakusten dute a eta b zuzenak paraleloak dira. Zeharkako t zuzenak hori horrela dela frogatzen du sortutako angelu kongruenteen bidez.

Bi dimentsiotan (Planoan)

Izan bitez bi zuzen paralelo, $l$ eta $m$, Euklidear espazioan. Orduan ondoko propietateak baliokideak dira:

1. $m$ zuzeneko edozein puntu $l$ zuzenarekiko distantzia berara (minimora) dago (lerro distantziakideak).
2. $m$ zuzena $l$ zuzenaren plano berean dago baina ez du $l$ ebakitzen (gogoratu zuzenak infinitura luzatzen direla).
3. $m$ eta $l$ zuzenak beste hirugarren zuzen batek (zeharkakoa) plano berean ebakitzen badu, ebakiduraren angelu korrespondenteak kongruenteak dira zeharkakoekin.

Propietate baliokideak direnez, edozein hartu daiteke definizio giza Euklidear espazioan; baina, lehenengo eta hirugarren propietateak neurri teoria erabiltzen eta beraz, bigarrena baino korapilatsuagoak dira. Horregatik, bigarrena da aukerarik ohikoena paralelo definitzeko Euklidear espazioan. Beste propietateak Euklidesen Paraleloen Postulatuaren ondorioak dira.

Hiru dimentsiotan (Espazioan)

Hiru dimentsioko espazioan ebakitzen diren bi zuzen ez dute zertan paralelo izan behar. Plano beran badaude soilik esan diezaieke paralelo; beste edozein kasutan zuzenak gurutzatzen direla esango da.

Hiru dimentsioko espazioan bi zuzen ezberdin, $l$ eta $m$, paraleloak dira baldin eta soilik baldin $m$ zuzeneko $p$ puntutik $l$ zuzenari gertuen dagoen punturainoko distantzia $p$ puntuaren hautapenarekin independentea baldin bada. Hau ez da inoiz gertatzen gurutzatzen diren zuzenetan.

Zuzen bat eta plano bat

Izan bitez $m$ zuzena eta $q$ planoa hiru dimentsioko espazioan; orduan, zuzen hori ez dago planoan baldin eta soilik baldin ez dira ebakitzen.

Definizio horren baliokidea da ondorengoa: Zuzen bat eta plano bat paraleloak dira baldin eta soilik baldin $m$ zuzeneko $p$ puntutik $q$ planoari gertuen dagoen punturainoko distantzia $p$ puntuaren hautapenarekin independentea baldin bada.

Bi plano

Bi zuzen paralelo plano berean egon behar direnen adeiren antzera, bi plano paralelo hiru dimentsioko espazio beran egon behar dute eta ezin dute puntu komunik eduki.

Izan bitez bi plano ezberdin, $q$ eta $r$, hiru dimentsioko espazioan; orduan, paraleloak dira baldin eta soilik baldin $q$ planoko $p$ puntutik $r$ planoari gertuen dagoen punturainoko distantzia $p$ puntuaren hautapenarekin independentea baldin bada. Hau ez da inoiz gertatzen bi planoak hiru dimentsioko espazio beran ez badaude.

Ez-Euklidear geometriari luzapena

Geometria ez-Euklidearrean, ohikoagoa da geodesikoei buruz hitz egitea zuzenei baino. Edozein geometrian, geodesika bat bi puntuen arteko bide laburrena da. Geometria ez-Euklidearrean (geometria eliptikoan edo hiperbolikoan) goian aipatutako hiru propietateak ez dira baliokideak eta soilik bigarrena da baliagarria geometria ez-Euklidearrean ez baitu neurririk erabiltzen. Ohiko geometrian hiru propietateak hiru kurba ezberdin definitzen dute: kurba distantziakideak, geodesika paraleloak eta geodesikoak perpendikular komun bat partekatzen.

Geometria hiperbolikoa

Geometria Euklidearrean bi geodesika ebaki eta paralelo izan daitezke soilik. Geometria hiperbolikoan bi geodesika plano berean izan daitezke:

1. Ebakitzaileak: planoko puntu batean ebakitzen badira.
2. Paraleloak: ez badira puntu batean ebakitzen baina infinituko puntu batean (puntu ideala) konbergitzen badute.
3. Ultra paralelo: ez badute komunean infinituko punturik.

Literaturan, ultra paralelo diren geodesikak ez-ebakiak izenez ezagutzen dira. Infinituan ebakitzen diren geodesikak limite paraloak deritze.

Zuzen ultra paraleloak perpendikular bakarra dute komunean (Ultraparaleloen teorema) eta perpendikular horren bi aldeetan dibergitzen dute.