Lankide:Maiittane/Proba orria

Bolumena

Piramidearen bolumena kalkulu diferentzialaren bitartez lor daiteke. Plano batek piramidea zeharka ebakitzerakoan sortutako sekzioaren azalera piramidearen oinarriaren azalerarekiko (Ao) eta erpinaren eta planoren arteko distantziaren berbidurarekiko zuzenki proportzionala da. Distantzia hau (d) piramidearen altueraren (h) eta plano ebakitzailearen altueraren (z) arteko diferentzia da.

$d=h-z$

Beraz, plano ebakitzeileak piramidearen oinarritik z altuerara sortzen duen sekzioaren azalera ondoko formulak ematen digu:

$A\left(z\right)=A_{o}\ {\frac {d^{2}}{h^{2}}}=A_{o}\ {\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}$

Piramidearen bolumena oinarriaren forma eta erpinaren kokapenarekiko independentea da. Bolumena piramidearen oinarriaren azalera eta altuera ezagutuz lortzen dugu,

$B=\int _{0}^{h}A\left(z\right)dz=A_{o}\int _{0}^{h}{\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}\ dz=-A_{o}{\frac {(h-z)^{3}}{3h^{2}}}{\bigg |}_{0}^{h}$

(4) $B={\frac {\ A_{o}\ h}{3}}$

Konoarentzat ere baliozkoa da formula hau. Lehen aipatu bezala, bolumenaren kalkulua oinarriaren formarekiko independentea da. Bolumenak azalerarekiko soilik du dependentzia.

Piramide erregularraren bolumena

Oinarritzat poligono erregular bat duen piramideari poligono erregular deritzo. Honen bolumena poligonoaren oinarria definitzen duen poligono erregularraren aldea eta piramidearen altueraz kalkula daiteke. Oinarriaren azalera A_b (1)piramidearen bolumenaren ekuazioan (4) ordezkatuz, ondokoa lortzen dugu:

$B={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {n}{4}}\cdot l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \ h$

$B={\frac {n}{12}}\cdot l^{2}\cdot h\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)$

Poligono erregularrean zirkunskribatutako zirkunferentziaren r erradioa, poligonoaren barruan aldeen arteko ${\ce {\alpha}}$ angelua, h altuera eta alde kopurua ,n, erabilz bolumena honela kalkula dezakegu: (4. ERREFERENTZIA)

$$B={\frac {n}{6}}hr^{2}\sin 2\alpha$$

Zentroidea, masa zentroa eta grabitate zentroa

Tetraedro erregularraren zentroidea (edo barizentroa) haren altueran dago kokatuta. Albo bakoitzarekiko perpendikularrak diren zuzenak, tetraedroaren altueran ebakitzen diren puntua da zentroidea. Puntu hau tetraedroaren oinarritik distantzia honetara topatzen da:

${\frac {1}{4}}\cdot h$

Zentroidea dentsitate uniformeko tetraerro erregularraren masa zentroaren berdina da. Horrez gain, grabitazio eremu uniformeko eta dentsitate uniformeko tetraedro erregularraren grabitate zentroaren berbera ere bada.

Piramidearen oinarritik abiatuz, haren altuera laurdenera dentsitate eta grabitazio eremu uniformeko piramidearen grabitate zentroa kokatze da. (5 ERREFERENTZIA)

Bolumen erdiko piramide homotetikoa

Izan bedi, h altuerako piramide zuzena. Piramide zuzenaren bolumen erdia duen piramide homotetikoak h' altuera izango du; hots,

$h'=h\cdot {\sqrt[{3}]{1/2}}$

Frogapena

Koka dezagun oinarriarekiko paraleloa den planoa piramidearen goi-erpinetik h' distantziara. Orduan, bolumen berdineko bi zatitan ebakitzen da piramidea. Bila dezagun homoteziaren arrazoia: piramide homotetikoaren dimentsioak lortzeko piramidearen oinarriaren aldeak eta altuera biderkatzeko erabiltzen dugun koefizientea.

Piramidearen bolumen osoa hau bada:

$$B={\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}$$

Bolumen erdiko piramidearena berriz:

$$B'={\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}$$

x homoteziaren arrazoia, proportzionaltasunaren koefizientea izanik.

$$B'={\frac {1}{2}}\cdot B$$

dugunez, ondokoa ondorioztatzen dugu:

$${\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}$$

sinplifikatuz,

$$x^{3}\cdot a\cdot b\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot h$$

$$x^{3}={\frac {1}{2}}$$

$$x={\sqrt[{3}]{1/2}}$$

Homoteziaren arrazoia 0,79370053 da gutxi gorabehera.

Ikus bitez

• Piramidea (geometria)
• Piramide-enborra
• Tetraedroa
• Eudoxo Knidokoa
• Bipiramidea (oinarri amankomuna duten bi piramide)