Modulu (matematika)

Modulu bat bektore-espazioen kontzeptua orokortzen duen egitura aljebraikoa da. Bektore-espazioen orokorpena da, eskalarren multzoa gorputza izan beharrean eraztuna izatea nahikoa delako modulu batean. Era berean, moduluak talde abeldarren orokorpena ere badira; talde abeldar batek eskalartzat zenbaki osoen eraztuna duenean eratzen duen modulua talde abeldar bera baita.

Modulu bat, talde abeldar batukor batez, eraztun batez eta bien arteko lotura linealki zehazten duen biderkadura eskalar batez osaturik dago. Hots, biderkadura eskalarra banakorra da talde abeldarraren batuketarekiko zein eraztunaren batuketarekiko; eta gainera, biderkadura eskalarra eraztunaren biderketarekin bateragarria izan behar da.

Moduluek harreman estua dute taldeen errepresentazio teoriarekin. Aljebra trukakorraren eta aljebra homologikoaren oinarrietako bat dira. Eta oso erabiliak dira geometria aljebraikoan zein topologia aljebraikoan.

Sarrera eta definizioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Motibazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bektore espazio batean, eskalarren multzoa gorputza izan behar da. Modulu baten kasuan aldiz, nahikoa da eskalarren multzoa eraztuna izatearekin. Horregatik, modulua bektore espazioaren orokorpen esanguratsua da. Gainera, aljebra trukakorrean, eraztun baten idealak zein zatidura eraztunak moduluak dira. Ondorioz, idealei eta zatidura eraztunei buruzko emaitza asko moduluen emaitza bakar baten bitartez labur daitezke.

Moduluen teoriak bektore-espazioen propietaterik onenak hedatzea du helburu. Horregatik garatzen da moduluen teoria, "portaera-ona" duten eraztunekin eta gutxienez eraztun trukakorrak eta identitatedunak izaten dira normalean. Zentzu horretan, oso eraztun “onak” dira ideal nagusietako domeinuak, besteak beste finituki sortuak direlako.^[1]

Izan ere, moduluak bektore-espazioak baino apur bat zailagoak izan daitezke. Esaterako, modulu guztiek ez dute oinarririk. Bektore-espazioek ordea beti dute oinarri bat, batzuetan oinarria infinitua den arren.

Definizio formala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez $(M,+)$ talde abeldarra eta $A$ eraztun identitateduna. Gainera, $\cdot :A\times M\longrightarrow M$ biderketa definiturik izango dugu, zeinak $a\in A$ eta $x\in M$ bakoitzari $a\cdot x\in M$ elementu bat esleitzen dion. Orduan, $M$ $A$ -ren gainean ezker modulua dela esango dugu (edo, laburkiago, ezker $A$ -modulua dela) baldintza hauek betetzen badira:

${\text{(i) }}\;\;\;\;\;a\cdot (x+y)=a\cdot x+a\cdot y{\text{ , }}\;\;a\in A\;{\text{ eta }}\;x,y\in M\;{\text{guztietarako.}}$

${\text{(ii)}}\;\;\;\;\;(a+b)\cdot x=a\cdot x+b\cdot x{\text{ , }}\;\;\,a,b\in A\;{\text{ eta }}\;x\in M\;{\text{guztietarako.}}$

${\text{(iii)}}\;\;\;\;(ab)\cdot x=a\cdot (b\cdot x){\text{ , }}\;\;a,b\in A\;{\text{ eta }}\;x\in M\;{\text{guztietarako.}}$

${\text{(iv)}}\;\;\;\;\,1\cdot x=x{\text{ , }}\;\;x\in M\;{\text{guztietarako. (Hemen,}}\;1\;A{\text{-ko identitatea da.)}}$

Orduan, $A$ -ko elementuei eskalar deitzen diegu eta $\cdot :A\times M\longrightarrow M$ biderketari biderkadura eskalar deritzogu. Era berean definitzen dira eskuin $A$ -moduluak, baina biderketa eskalarrak eskuinetik eginez $\cdot :M\times A\longrightarrow M$ eragiketa batekin. Eraztun trukakorren kasuan, ezker $A$ -modulu bat badugu, berehalakoa da eskuin $A$ -modulua definitzea biak bat etortzeko moduan. Ondorioz, eraztun trukakorren kasuan zuzenean $A$ -moduluak defini ditzakegu ezker eta eskuin moduluen beharrik gabe aurretik zehaztu ditugun lau baldintzak betetzen direnean.

Zenbait autorek, identitatedunak ez diren eraztunetarako ere definitzen dituzte moduluak. Kasu horretan, ez dute laugarren baldintza ezartzen ezker $A$ -modulua definitzeko. Artikulu honetan bezala lau baldintzak ezartzen diren kasuari aldiz unitatedun ezker $A$ -modulua deritze.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi $K$ gorputza, orduan $K$ -bektore-espazioa ( $K$ -ren gaineko bektore-espazioa) eta $K$ -modulua gauza bera dira.
Izan bedi $M$ talde abeldar batukorra, orduan $\mathbb {Z}$ zenbaki osoen eraztuna izanik (trukakorra da) $M$ $\mathbb {Z}$ -modulua defini dezakegu honela: $\cdot ={\begin{cases}n\cdot x=\underbrace {x+x+...+x,} _{{\text{(}}\,n\;{\text{aldiz)}}}&n>0,\\0\cdot x=0,&n=0,\\\\(-n)\cdot x=-(n\cdot x),&-n<0.\end{cases}}$ edozein $x\in A$ izanik.
Izan bedi $A$ edozein eraztun. Orduan, $n\in \mathbb {N}$ zenbaki arrunta izanik, $A^{n}$ biderketa kartesiarra ezker zein eskuin $A$ -modulua da eragiketak osagaiz osagai definituz gero.