Multzoen arteko aljebra

Matematikan, multzoen aljebrak, multzoen propietateek eta legeek, bildura, ebakidura eta osaketaren eragiketak definitzen ditu. Adierazpideak ebaluatzeko eta kalkuluak egiteko prozedura sistematikoak ere ematen ditu, eragiketa eta erlazio horiek tartean sartuz.

Multzoen arteko eragiketen bidez, multzo "zaharretatik" berriak eraiki ahal izango ditugu, enuntziatu zaharretik berriak eraikiz. Lotura estua izango dute eraikunta modu hauek eraikuntzekin. Lotura izango dute ukapen, konjuntzio eta disjuntzioarekin.

De Morganen Legeak honako bi arau betetzen ditu:

• $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$
• $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$

Multzoak

Multzo bat objektu gisa hartzen diren objektuen bilduma da. Multzoak, hauek osatzen dituen elementuez dago definituta soilik, ez hauek irudiktzeko moduagatik. Orokorrean, multzoak letra larriz idatzi ohi dira eta elementuak, letra xehez. Normalean, multzo baten elementuak giltzen artean zerrendatzen dira.

Hainbat erlazio existitzen dira multzoak eta hauek osatzen dituzten elementuen artean:

Pertenentzia: Oinarrizko erlazioa pertenentzia da. Izan ere x elementu bat A multzo baten barne edo kanpo egon daiteke, honela adierazten da:

$x\in A\quad \longrightarrow$ x, A ren barne dago.

$x\notin A\quad \longrightarrow$ x, Atik kanpo dago.

Berdintasuna: Bi multzo berdinak dira, elementu berdinak badituzte, aldiz, elementu desberdinak badituzte, multzoak ez dira berdinak. Suposatuz A eta B multzoak ditugula, honela adierazten da:

$A=B\quad \longrightarrow$ A eta B multzoak berdinak dira

$A\neq B\quad \longrightarrow$ A eta B multzoak desberdinak dira

Inklusioa. A multzo bat emanda , B multzoaren azpi-bilduma edo honen berdina da, bere elementuak B-ren azpimultzo bat badira , eta honela adierazten da

$A\subseteq B\quad \longrightarrow$ A B-ren azpimultzoa da.

$A\nsubseteq B\quad \longrightarrow$ A ez da Bren azpimultzoa.

Multzo hutsa, elementurik ez duen multzoa da eta ∅ edo {} bidez adierazten da. Multzo unibertsala, elementu guztiez osatuta dagoen multzoa da, kontextu bakoitzaren arabera. Adibidez zenbaki naturalak aztertuz gero, multzo unibertsala ${\displaystyle \mathbb {N} }$ izango litzateke, hau da, zenbaki natural guztiek osatzen dutena.

Azpimultzoen aljebra

Ondorengo proposizioak dio inklusioa multzu baten eta horren azpimultzo baten arteko erlazioa ordena-erlazioa dela.

PROPOSIZIOA 1: Izan bitez A, B eta C multzoak. Orduan honakoa ikusten da:

• Erreflexiboa:

$A\subseteq A$

• Antisimetrikoa:

$A\subseteq B$ eta $B\subseteq A$ baldin eta soilik baldin $A=B$

• Trantsitiboa:

$A\subseteq B$ eta $B\subseteq C$ badira, orduan $A\subseteq C$

PROPOSIZIOA 2: Izan bitez A, B eta C S multzo baten azpimultzoak, orduan honakoa ikusten da:

• Elementu maximoaren eta minimoaren existentzia:

$\varnothing \subseteq A\subseteq S$

• Bilduren existentzia:

$A\subseteq A\cup B$

$A\subseteq C$ eta $B\subseteq C$ badira, orduan $A\cup B\subseteq$

• Ebakiduraren existentzia:

$A\cap B\subseteq A$

$C\subseteq A$ eta $C\subseteq B$ badira, orduan $C\subseteq A\cap B$

Ondorengo proposizioak dio $A\subseteq B$ beste adierazpen hauen baliokidea dela, bildura, ebakidura et osagarria erabiliz.

PROPOSIZIOA 3: Izan bitez edozein A eta B multzoak, eta $A\subseteq B$ izanik, orduan honako adierazpen hauek baliokideak dira:

• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A\setminus B=\varnothing$
• $B^{c}\subseteq A^{c}$

Multzoaren osagarria

Venn diagrama

A-renak ez diren X-ren elementuak osatutako multzoa da, honela adierazita:

$X-A=X\setminus A=\{x\in X\mid x\not \in A\}$

Argi dagoenean zein $X$-rekiko hartzen den osagarria, $A^{c}$ ere idatzi ohi da, $X-A$-ren ordez.

B-A multzo osagarria

Era berean, X-ren barnean dauden bi multzoen arteko diferentzia ere adierazi daiteke. Hau da, A-ren B-rekiko osagarria da B-n dauden eta A-n ez dauden elementuak:

$B-A=B\backslash A=\{x\in X\mid x\in B,\mathrm {eta} \ x\not \in A\}$

Era berean definitu daiteke A-n dauden eta B-n ez dauden elementuak:

$A-B=A\backslash B=\{x\in X\mid x\in A,\mathrm {eta} \ x\not \in B\}$

Propietateak:

De Morganen Legeak:

• $(A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}$
• $(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}$

Osagarri bikoitza:

• $(A^{c})^{c}=A$

Multzu hutsaren eta X multzoaren osagarriak:

• $\emptyset ^{c}=X$
• $X^{c}=\emptyset$

PROPOSIZIOA: Izan bidez A eta B X multzo baten azpimultzoak:

• $A\cup B=X$ eta $A\cap B=\emptyset$ badira, orduan $B=A^{c}$

Bildura

A eta B-ren bildura

A eta B bi multzoen arteko bildura, $\cup$ bidez adierazten dena, aldi berean A eta B-ren elementuak diren multzoak osatzen dute, $A\cup B$ bidez adieratzen dena:

$A\cup B=\{x\in X\mid x\in A,\mathrm {edo} \ x\in B\}$

Honako propietate hauek betetzen ditu:

• Lege ekipotentea: $A\cup A=A$
• $A\cup \emptyset =A$ eta $A\cup X=X$
• Elkartze-propietatea: $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• Trukatze-propietatea: $A\cup B=B\cup A$
• Banatze-propietatea: $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• $A\cup A^{c}=X$

Ebakidura

A eta B-ren ebakidura

A eta B bi mueltzoen arteko ebakidura, $\cap$ bidez adieratzen dena, aldi berean A-n eta B-n dauden elementuak osatzen duten multzoa da, $A\cap B$ bidez adierazten da:

$A\cap B=\{x\in X\mid x\in A,\mathrm {eta} \ x\in B\}$

Honako propietate hauek betetzen ditu:

• Lege ekipotentea: $A\cap A=A$
• $A\cap X=A$ eta $A\cap \emptyset =\emptyset$
• Elkartze-propietatea: $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$
• Trukatze-propietatea: $A\cap B=B\cap A$
• Banatze-propietatea: $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$
• $A\cap A^{c}=\emptyset$

Biderkadura kartesiarra

A eta B-ren arteko biderkadura kartesiarra bi multzoen artean egindako eragiketa da, non multzo berri bat sortuko dena bikote ordenatuez osatuta, eta honela adierazten da:

$A\times B=\{(a,b):a\in A,\mathrm {eta} \ b\in B\}$

Honako propietate hauek betetzen ditu:

• $A\times (B\cap C)=(A\times B)\cap (A\times C)$
• $A\times (B\cup C)=(A\times B)\cup (A\times C)$
• baldin $C\neq \emptyset$ eta $A\times B=B\times C$ badira, orduan $A=B$
• $A\times (B-C)=(A\times B)-(A\times C)$
• $(A\times B)\cap (C\times D)=(A\cap C)\times (B\cap D)$
• $(A\times B)^{c}=(A^{c}\times B^{c})\cup (A^{c}\times B)\cup (A\times B^{c})$
• baldin $B\subset C$ bada, orduan $A\times B\subset A\times C$
• $(A\times B)\cap (C\times D)=(A\times D)\cap (C\times B)$
• baldin A,B,C eta D multso ez hutsak badira, orduan $A\times B\subset C\times D$ baldin eta soilik baldin $A\subset C$ eta $B\subset D$ badira.

Propietateak

Eragiketa horietako batzuek zenbaki arruntekin egindako eragiketen antzeko propietateak dituzte. Adibidez, ebakidura eta bildura komutatiboak eta asoziatiboak dira. Multzo hutsa bilduraren elementu neutroa da, eta ebakiduraren eta elementu kartesiarraren elementu xurgatzailea. Multzo unibertsala elkargunearen elementu neutroa eta loturaren elementu xurgatzailea da.

Gainera, bildura, ebakidura, diferentziako eta osagarriko eragiketak Booleren aljebra bateko eragiketen oso antzekoak dira, baita logika proposizionalaren konektore logikoen oso antzekoak ere.

Ikus, gainera

• Multzo
• Venn diagrama
• Multzo-teoria
• Multzoen teoria informal

Kanpo estekak

• (Ingelesez) https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_set_identities_and_relations List of set identities and relations (Wikipedia)
• (Ingelesez) Weisstein, Eric W. https://mathworld.wolfram.com/SetTheory.html "Set Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource,  

• Datuak: Q10565797