Compton uhin-luzera

Compton uhin-luzera partikula baten propietate mekaniko kuantiko bat da, partikula horren pausagune energia duen fotoi baten uhin-luzera gisa definitua (ikus masaren eta energiaren arteko baliokidetasuna). Arthur Compton-ek 1923an sartu zuen elektroien bidezko fotoien sakabanaketaren azalpenean (Compton sakabanaketa izenez ezagutzen den prozesua).

$m$ masako partikula baten Compton uhin-luzera estandarra $\lambda$ da:

$$\lambda ={\frac {h}{mc}},$$

non $h$ Plancken konstantea eta $c$ argiaren abiadura den. Dagokion $f$ maiztasuna:

$$f={\frac {mc^{2}}{h}},$$

eta $\omega$ maiztasun angeluarra hau da:

$$\omega ={\frac {mc^{2}}{\hbar }}.$$

Non $\hbar$ Plancken konstante murriztua den. Elektroiaren Compton uhin-luzerarako CODATA 2018 balioa 2.42631023867(73)×10⁻¹² m da. Beste partikula batzuek Compton uhin-luzera desberdinak dituzte.

Compton-en uhin-luzera murriztua

Compton uhin-luzera murriztua ƛ (lambda barrakatua, ondoren honela adierazten dena ${\bar {\lambda }}$) Compton uhin-luzera gisa definitzen da, 2π-z zatituta:

${\bar {\lambda }}={\frac {\lambda }{2\pi }}={\frac {\hbar }{mc}},$

Papera partikula masiboetarako ekuazioetan

Alderantzizko Compton uhin-luzera murriztua masaren eskala kuantikoko irudikapen naturala da, eta, beraz, mekanika kuantikoaren funtsezko ekuazio askotan agertzen da. Comptonen uhin-luzera murriztua Klein-Gordonen ekuazio erlatibistan agertzen da partikula libre baterako:

$$\mathbf {\nabla } ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)^{2}\psi .$$

Diracen ekuazioan agertzen da (Einsteinen batuketa-konbentzioak erabiltzen duen forma esplizituki koaldakor bat da):

$$-i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi +\left({\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0.$$

Compton-en uhin-luzera murriztua ere ageri da Schrödinger-en ekuazioan, baina ez da erraz hautematen ekuazioaren ohiko irudikapenetan. Ondoren, hidrogenoaren antzeko atomo batean elektroi baten Schrödinger-en ekuazioaren irudikapen tradizionala erakusten da:

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}\psi .$$

$\hbar c$-z zatituz eta egitura meheko konstantearen arabera berridatziz, hau lortzen da:

$${\frac {i}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\bar {\lambda }}{2}}\nabla ^{2}\psi -{\frac {\alpha Z}{r}}\psi .$$

Murriztuaren eta ez-murriztuaren arteko bereizketa

Compton uhin-luzera murriztua masaren eskala kuantikoko irudikapen naturala da, eta masa inertzialari buruzko ekuazioetan erabiltzen da, hala nola Klein-Gordon eta Schrödingerren ekuazioetan.

Masarekin elkarreragiten duten fotoien uhin-luzerei buruzko ekuazioek Compton uhin-luzera ez-murriztua erabiltzen dute. m masako partikula batek E = mc² energia du pausagunean. Partikula horren Compton uhin-luzera energia bereko fotoi baten uhin-luzera da. f maiztasuneko fotoietarako, energia honela adierazten da:

$$E=hf={\frac {hc}{\lambda }}=mc^{2},$$

λ-rako ebatziz Compton-en uhin-luzeraren formula ematen duena.

Neurketaren muga

Compton uhin-luzerak funtsezko muga bat adierazten du partikula baten posizioa neurtzeko, mekanika kuantikoa eta erlatibitate berezia kontuan hartuta.

Muga hori partikularen m masaren araberakoa da. Ikusteko nola, ikus dezakegu partikula baten posizioa neurtu dezakegula argia bertan errebotatuz, baina posizioa zehatz neurtzeko uhin luzera laburreko argia behar da. Uhin luzera laburreko argia energia handiko fotoiez osatuta dago. Fotoi horien energia mc² baino handiagoa bada, horietako batek neurtzen ari den posizioa duen partikularekin talka egiten duenean, talkak mota bereko partikula berri bat sortzeko adina energia sor dezake. Hori dela eta, jatorrizko partikularen posizioaren gaiak ez du garrantzirik.

Argumentu honek ere frogatzen du Comptonen uhin-luzera murriztua dela eremuen teoria kuantikoak -partikulen sorrera eta deuseztapena deskriba dezakeenak- garrantzia hartzen duen muga. Aurreko argudioa honela zehaztu daiteke pixka bat gehiago. Demagun partikula baten posizioa neurtu nahi dugula Δx zehaztasun batekin. Orduan, posizio eta momenturako ziurgabetasun-erlazioak dio

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},$$

beraz, partikularen momentuaren ziurgabetasunak hau betetzen du:

$$\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2\Delta x}}.$$

Momentuaren eta energiaren arteko erlazio erlatibista erabiliz E² = (pc)² + (mc²)², Δp-k mc gainditzen duenean, energiako ziurgabetasuna mc² baino handiagoa da, eta hori mota bereko beste partikula bat sortzeko nahikoa energia da. Baina energia ziurgabetasun handiago hori baztertu behar dugu. Fisikoki, hori baztertu egiten da partikula gehigarri bat edo gehiago sortuz, partikula bakoitzaren momentuko ziurgabetasuna mc-n edo mc azpitik mantentzeko. Bereziki, ziurgabetasun minimoa gertatzen da fotoi sakabanatuak energia behatzaile intzidentearen pareko muga-energia duenean. Hortik ondoriozta daitekeenez, oinarrizko minimo bat dago Δx-entzat:

$$\Delta x\geq {\frac {1}{2}}\left({\frac {\hbar }{mc}}\right).$$

Beraz, posizioko ziurgabetasunak Compton uhin-luzera murriztuaren (ħ/mc) erdia baino handiagoa izan behar du

Beste konstante batzuekiko erlazioa

Luzera atomikoak, uhin-zenbakiak eta fisikaren ohiko eremuak Comptonek elektroiarentzat duen uhin-luzera murriztuarekin (${\bar {\lambda }}_{e}\equiv {\frac {\lambda _{e}}{2\pi }}\simeq 386\ fm$) eta egitura fin elektromagnetikoaren konstantearekin ($\alpha \simeq {\frac {1}{137}}$) erlaziona daitezke.

Bohr-en erradioa Compton-en uhin-luzerarekin lotuta dago:

$$a_{0}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)={\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha }}\simeq 137\times {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq 5.29\times 10^{4}~{\textrm {fm}}$$

Elektroiaren erradio klasikoa protoiarena baino 3 aldiz handiagoa da, eta honela idazten da:

$$r_{\text{e}}=\alpha \left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}\simeq {\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{137}}\simeq 2.82~{\textrm {fm}}$$

Rydbergen konstantea, uhin zenbaki linealaren dimentsioak dituena, honela idazten da:

$${\frac {1}{R_{\infty }}}={\frac {2\lambda _{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 91.1~{\textrm {nm}}$$

$${\frac {1}{2\pi R_{\infty }}}={\frac {2}{\alpha ^{2}}}\left({\frac {\lambda _{\text{e}}}{2\pi }}\right)=2{\frac {{\bar {\lambda }}_{\text{e}}}{\alpha ^{2}}}\simeq 14.5~{\textrm {nm}}$$

Sekuentzia hau lortzen da:

$$r_{\text{e}}=\alpha {\bar {\lambda }}_{\text{e}}=\alpha ^{2}a_{0}=\alpha ^{3}{\frac {1}{4\pi R_{\infty }}}.$$

Fermioien kasuan, Compton uhin-luzera murriztuak elkarrekintzen zeharkako sekzioa ezartzen du. Adibidez, fotoi baten elektroi batek duen Thomson sakabanaketarako zeharkako sekzioa

$$\sigma _{\mathrm {T} }={\frac {8\pi }{3}}\alpha ^{2}{\bar {\lambda }}_{\text{e}}^{2}\simeq 66.5~{\textrm {fm}}^{2},$$

burdin-56 nukleo baten zeharkako sekzioaren azalera da, gutxi gorabehera. Gauge bosoientzat, Compton uhin-luzerak Yukawa interakzioaren irismen eraginkorra ezartzen du: fotoiak masarik ez duenez, elektromagnetismoak irismen mugagabea du.

Plancken masa Comptonen uhin-luzera eta Schwarzschilden erradioa $r_{\rm {S}}=2GM/c^{2}$berdinak diren masa-ordena da, bere balioa Plancken luzerara ($l_{\rm {P}}$) hurbiltzen denean. Schwarzschilden erradioa masarekiko proportzionala da, eta Comptonen uhin-luzera, berriz, masaren alderantzizkoarekiko proportzionala. Plancken masa eta luzera honela definitzen dira:

$$m_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar c/G}}$$

$$l_{\rm {P}}={\sqrt {\hbar G/c^{3}}}.$$

Interpretazio geometrikoa

Compton uhin-luzeraren jatorri geometrikoa frogatu da, uhin-pakete baten mugimendua deskribatzen duten ekuazio erdiklasikoak erabiliz. Kasu honetan, Compton uhinaren luzera metrika kuantikoaren erro karratuaren berdina da, espazio kuantikoa deskribatzen duen metrika baten berdina:${\sqrt {g_{kk}}}=\lambda _{\mathrm {C} }$

Ikus, gainera

• Materia-uhin

Kanpo estekak

• Datuak: Q1145377