Kongruentzia (zenbakien teoria)

Wikipedia, Entziklopedia askea

Zenbakien teorian, kongruentzia terminoa bi zenbaki oso eta , zenbaki arruntazmodulua deiturikoa— zatitzerakoan, hondar berdina dutela adierazteko erabiltzen da. Honako notazio hau erabiliz:

Honela irakurtzen da: kongruente modulu .

eta moduluarekiko kongruenteak dira, baldin eta soilik baldin moduluak eta -ren arteko desberdintza zehazki zatitzen badu, hau da, . Beste modu batera esanda, eta -k -rekiko zatiketan, hondar bera uzten badute. Gainera, baiezta daiteke zenbakia -ren batura eta -ren multiplo bezala idatzi daitekela, denez, izango da batentzat eta orduan, .

Adierazpen baliokideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kongruentziak hainbat modu matematikotan adieraz daitezke. Esate baterako, adierazpen hauek baliokideak dira:

  • kongruente modulu
  • zati -ren hondarra zati -ren hondarra da
  • -k zehatz zatitzen du eta -ren kendura
  • idatz daiteke -ren eta -ren multiplo baten batura bezala

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kongruentziak moduluarekiko eta zenbakien arteko baliokidetasun-erlazio bat adierazten du, hurrengo erlazioak betetzen dituelako:

  • Erlazio bihurkaria (erreflexiboa): , guztietarako.
  • Simetria erlazioa: bada, da.
  • Iragate-erlazioa (trantsitiboa): eta badira, izango da.

eta badira:

Gainera, eta elkarrekiko lehenak badira, beste zenbait propietate ere betetzen dituzte, besteak beste:

  • zenbakia eta -rekiko lehena bada, ere -rekiko lehena izango da.
  • -rekiko lehena bada, orduan non . Horregatik, zatiketari buruz aritzeak zentzua du eta beraz, zuzena da non definizioz, .
  • Aurrekoaren ondorio bezala, modulu bereko bi kongruentzia badaude, eta , batu, kendu edo biderka ditzakegu, kongruentziak egiaztatzeko: eta .
  • Fermaten teorema txikia: Izan bitez lenbaki lehena eta . , -ren multiploa ez bada orduan:
  • Izan bitez eta zenbaki lehenak eta . ez bada ez -ren ez -ren multiploa, orduan:

Kongruentzia klaseak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Edozein kongruentzia-erlazio bezala, n kongruentzia-modulua baliokidetasun-erlazio bat da, eta a zenbaki osoaren baliokidetasun-klasea, bidez adierazten dena, {… , a − 2n, an, a, a + n, a + 2n, …} multzoa da. Multzo hori, a modulo n-rekin kongruenteak diren zenbaki osoek osatzen dute. Baliokidetasun-erlazioa denez, baliokidetasun-klaseak defini daitezke. Klase bakoitzean m-rekin zatitzean hondar bera ematen duten zenbaki osoak daude. Beraz, m hondar desberdin daudenez, m baliokidetasun-klase daude. Bakoitzaren ordezkari modura 0, 1, . . . eta m − 1 zenbakiak har daitezke. Baliokidetasun klasea [] bezala ere adieraz daiteke.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • , 7 = 3 + 1 ⋅ 4 baita.
  • , 82 = 1 + 9 ⋅ 9 baita.
  • , 27 = 0 + 3 ⋅ 3 baita.
  • , -3 = 3 + -1 ⋅ 6 baita.
  • , 2 ≠ 5 + k ⋅ 6 baita.

Ikus, gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]