Pentagono (geometria)

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Pentagono erregularra
Regular polygon 5.svg
Mota Poligono erregularra
Aldeak 5
Schläfli sinboloa {5}
CDD CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.png
Simetria-taldea D5 2×5 ordena
Azalera  \simeq 1,720 a^2
Barne-angelua 108°
Propietateak ganbila, ziklikoa, aldeberdina, isogonala

Pentagonoa (πεντάγωνον hitz elkarte grekotik sortutako hitza, πεντά, "bost" eta γωνον, "angeluak") bost aldeko poligonoari deritzo.

Pentagono erregularra[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pentagon gold.svg

Pentagono erregularra alde guztiak eta barne-angelu guztiak berdinak dituen pentagonoa da. Pentagono erregular baten barne-angeluen baturak (5-2)·180° = 540° edo 3\pi rad balio du. Horrenbestez, barne-angelu bakoitzaren neurria 108º-koa edo 3\pi/5 rad-koa da.

DE, EA, eta AB segmentuak berdinak direnez, zirkunferentzia zirkunskribatuan determinatzen dituzten arkuak ere berdinak dira. Hortaz, DCE, ECA eta ACB angeluak berdinak dira. Hiruren batura 108º denez, bakoitzak 36º neurtzen du.

Azalera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pentagono erregular baten aldearen luzera a bada

A = \frac{{a^2 \sqrt {25 + 10\sqrt 5 } }}{4} = \frac{5a^2 \tan(54^\circ)}{4} \approx 1,720477401 a^2
Eraikitze grafikoa

Irudi honetan, ikus daiteke nola eraikitzen den pentagono erregular bat konpasa eta erregela erabiliz.

Regular Pentagon Inscribed in a Circle.gif

Urrezko arrazoiarekin erlazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Elkarren segidan ez dauden bi erpin batzen dituen segmentua eta aldeetako baten arteko arrazoia urrezko arrazoia deritzo. Adibidez:

CE = (\frac{1 + \sqrt5}2)CD

Simetriagatik, CE eta CA segmentuak berdinak dira. ANF eta CMF triangelu antzekoak dira. Beren aldeen antzekotasunetik honako hau ondoriozta dezakegu:

\frac{MC}{AN} = \frac{FC}{AF}

Alde batetik, MC CE-ren erdia dela eta AN AB-ren erdia dela daukagu. Bestetik, FCD triangelua isoszele denez gero, FC = CD da. Ondorioz, AF = AC - FC = CE - CD. Horrexegatik:

\frac{CE}{CD}=\frac{CD}{CE-CD}= \frac{1}{CE/CD - 1}

CE/CD \phiren gatik ordezkatuz:

\phi = \frac{1}{\phi-1}\qquad\,(1)

hau da \phi-1=1/\phi. Ekuazio honek urrezko arrazoia definitzen du.

Urrezko zenbakiak (\phi) bi propietate bitxi betetzen ditu:

  • \phi-ri 1 gehitzen badiogu edo 1/\phi kalkulatzen badugu, balio berbera lortzen dugu:
1 + \phi = 1 / \phi
  • 1 zenbakiarii \phi kenduz gero edo \phi^2 kalkulatuz gero, balio berbera lortzen dugu:
1 – \phi = \phi^2
Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Pentagono (geometria) Aldatu lotura Wikidatan