Poligono erregular

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra:
  • C = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa
  • V = poligonoaren erpin bat
  • L = poligonoaren alde bat
  • d = poligonoaren diagonal bat
  • r = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa
  • a = poligonoaren apotema

Geometrian, poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.

Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).

Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).

Poligono erregularren elementuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Aldea (L): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
  • Erpina (V): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
  • Zentroa (C): erpinetatik distantziakidea den puntua
  • Erradioa (r): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
  • Apotema (a): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
  • Diagonala (d): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
  • Perimetroa (P): alde guztien luzeren batura

Poligono erregularren propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.
  • Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.

Poligono erregularren angeluak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  α = angelu zentrala,
  β = barne-angelua,
  γ = kanpo-angelua

Angelu zentrala[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Poligono erregular baten angelu zentralak ( \alpha \,) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n) arabera:
 \alpha = \frac{360^\circ}{n} \; (gradu hirurogeitarretan)
 \alpha = \frac{2\pi}{n} \; (radianetan)

Barne-angelua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Poligono erregular baten barne-angelua ( \beta \,) honela kalkula daiteke:
 \beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \; (gradu hirurogeitarretan)
 \beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \; (radianetan)
  • Poligono erregular baten barne-angeluen batura ( \sum \beta \; ), beraz:
 \sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \; (gradu hirurogeitarretan)
 \sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \; (radianetan)

Kanpo-angelua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Poligono erregular baten kanpo-angelua ( \gamma \; ) honela kalkula daiteke:
 \gamma = \frac{360^\circ}{n} \; (gradu hirurogeitarretan)
 \gamma = \frac{2 \pi}{n} \; (radianetan)
  • Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura ( \sum \gamma \,), beraz:
 \sum \gamma = 360^\circ \; (gradu hirurogeitarretan)
 \sum \gamma = 2 \pi \; (radianetan)

Poligono erregular batzuk[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Oharra: Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.

Poligono erregularraren azalera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:

Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

 A = \frac {P \cdot a}{2}
Froga
PoliReg 03.svg
  • Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera,  A_h , hau da:
 A_h = \frac{L \cdot a}{2} \;
  • n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da:
 A = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;
  • L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu:
 A = \frac{P \cdot a}{2} \;

Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

A = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \
Froga
PoliReg 04.svg
  • Hau jakinda:
A = \frac {L \cdot n \cdot a} {2}  \
  • eta  \delta = \frac {\pi} {n} \ kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan).
 L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )
  • Aldea azalerarako formulan ordezkatuta:
A = \frac { (2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )  ) \cdot n \cdot a} {2} \
  • Azkenik:
A = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \

Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

 A = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;
Froga
PoliReg 04.svg
  • Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
 L = 2 r \sin({\delta}) \;
 a = r \cos({\delta}) \;
  • non angelu zentrala hau den:
 \alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;
  • Poligonoaren azalera hau denez:
 A = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;
  • eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu:
 A = \frac{2 r \sin({\delta})  \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;
  • Ordenatuta:
 A = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;
  • Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau:
2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;
  • Emaitza hau da:
 A = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;
  • Edo beste era honetan:
 A = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;

Azalera: aldearen arabera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

A =
   n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot
   \tan
   \left (
      \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n}
   \right )
Froga
PoliReg 08.svg
  • Poligonoaren azalera hau denez:
 A = n \cdot \frac{L \cdot a}{2} \;
  • Erabil dezagun  \varphi sinboloa "L" aldearen eta "r" erradioaren arteko angelua izendatzeko:

   \varphi =
   \frac{\pi-\alpha}{2} \ =
   \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ =
   \frac{\pi}{2}\frac{(n-2)}{n} \;
  • Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera):

   \tan \varphi =
   \frac{a}{\frac{L}{2}} =
   \frac{2a}{L}
  • Apotema askatuz gero, hau dugu:

   a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}
  • Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda:

   \left .
      \begin{array}{l}
         A = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2}    \\
                                               \\
         a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2}   \\
                                               \\
         \varphi = \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n}
      \end{array}
   \right \}
   \quad \longrightarrow \quad
   A =
   n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot
   \tan
   \left (
      \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n}
   \right )

Laburpen-taula[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pentagono erregular bat eraikitzen

Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz[1].

Alde, angelu
eta erpin kopurua
Poligonoa Irudia Barne-angelua Aldea[1] Azalera[1] Animazioa:
eraikitze grafikoa
erregela eta konpasa erabiliz
3 Triangelu aldeberdina Regular triangle.svg 60° √3≅1,732 3/4·√3≅1,299 Eraikitze zehatza
4 Karratua Regular quadrilateral.svg 90° √2≅1,414 2 Eraikitze zehatza
5 Pentagonoa Pentagon.svg 108° ≅1,176 ≅2,378 Eraikitze zehatza
6 Hexagonoa Hexagon.svg 120° 1 3/2·√3≅2598 Eraikitze zehatza
7 Heptagonoa Heptagon.svg ≅128,57° ≅0,868 ≅2,736 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
8 Oktogonoa Octagon.svg 135° ≅0,765 2·√2≅2,828 Eraikitze zehatza
9 Eneagonoa Nonagon.svg 140° ≅0,684 ≅2,893 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
10 Dekagonoa Decagon.svg 144° ≅0,618 ≅2,939 Eraikitze zehatza
11 Endekagonoa Hendecagon.svg ≅147,27° ≅0,563 ≅2,974 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
12 Dodekagonoa Dodecagon.svg 150° ≅0,518 3 Eraikitze zehatza
13 Tridekagonoa Triskaidecagon.svg ≅152,31° ≅0,479 ≅3,021 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
14 Tetradekagonoa Regular tetradecagon.svg ≅154,29° ≅0,445 ≅3,037 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
15 Pentadekagonoa Pentadecagon.svg 156° ≅0,416 ≅3,051 Eraikitze zehatza
16 Hexadekagonoa Regular hexadecagon.svg 157,5° ≅0,390 ≅3,061 Eraikitze zehatza
17 Heptadekagonoa Heptadecagon.svg ≅158,82° ≅0,367 ≅3,071 Eraikitze zehatza
34-gonoa, 51-gonoa
85-gonoa, 255-gonoa
18 Oktodekagonoa Regular octadecagon.svg 160° ≅0,347 ≅3,078 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
19 Eneadekagonoa Regular enneadecagon.svg ≅161,05° ≅0,329 ≅3,085 Gutxi gorabeherako
eraikitzea
20 Ikosagonoa Icosagon.svg 162° ≅0,313 ≅3,090 Eraikitze zehatza
257 257-gonoa ≅178,6° ≅0,024 ≅3,141 Eraikitze zehatza
65.537 65.537-gonoa ≅179,9945° ≅0,000096 ≅3,1416 Eraikitze partziala

Erreferentziak eta oharrak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. a b c Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioak 1 balio duenean.