Poligono erregular

Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra:

• C = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa
• V = poligonoaren erpin bat
• L = poligonoaren alde bat
• d = poligonoaren diagonal bat
• r = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa
• a = poligonoaren apotema

Geometrian, poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.

Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).

Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak hiruki aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).

Poligono erregularren elementuak

• Aldea (L): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
• Erpina (V): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
• Zentroa (C): erpinetatik distantziakidea den puntua
• Erradioa (r): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
• Apotema (a): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
• Diagonala (d): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
• Perimetroa (P): alde guztien luzeren batura

Poligono erregularren propietateak

• n aldeko poligono erregularrak n ordenako biraketa-simetria du.

• Erpin guztiak zirkunferentzia berean daude (zirkunferentzia zirkunskribatua); hau da, erpinak ziklokideak dira. Beraz, poligono erregularrak ziklikoak dira.

• Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.

• Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.

Poligono erregularren angeluak

  α = angelu zentrala,
  β = barne-angelua,
  γ = kanpo-angelua

Angelu zentrala

• Poligono erregular baten angelu zentralak ($\alpha \,$) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n) arabera:

$\alpha = \frac{360^\circ}{n} \;$ (gradu hirurogeitarretan)

$\alpha = \frac{2\pi}{n} \;$ (radianetan)

Barne-angelua

• Poligono erregular baten barne-angelua ($\beta \,$) honela kalkula daiteke:

$\beta = 180^\circ \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ (gradu hirurogeitarretan)

$\beta = \pi \cdot \frac{(n-2)}{n} \;$ (radianetan)

• Poligono erregular baten barne-angeluen batura ($\sum \beta \;$), beraz:

$\sum \beta = 180^\circ \cdot {(n-2)} \;$ (gradu hirurogeitarretan)

$\sum \beta = \pi \cdot {(n-2)} \;$ (radianetan)

Kanpo-angelua

• Poligono erregular baten kanpo-angelua ($\gamma \;$) honela kalkula daiteke:

$\gamma = \frac{360^\circ}{n} \;$ (gradu hirurogeitarretan)

$\gamma = \frac{2 \pi}{n} \;$ (radianetan)

• Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura ($\sum \gamma \,$), beraz:

$\sum \gamma = 360^\circ \;$ (gradu hirurogeitarretan)

$\sum \gamma = 2 \pi \;$ (radianetan)

Poligono erregular batzuk

• 

  Hiruki aldeberdina (hiruki erregularra) (3)

• 

  Karratua (lauki erregularra) (4)

• 

  Pentagono erregularra (5)

• 

  Hexagono erregularra (6)

• 

  Heptagono erregularra (7)

• 

  Oktogono erregularra (8)

• 

  Eneagono erregularra (9)

• 

  Dekagono erregularra (10)

• 

  Endekagono erregularra (11)

• 

  Dodekagono erregularra (12)

• 

  Tridekagono erregularra (13)

• 

  Tetradekagono erregularra (14)

Oharra: Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.

Poligono erregularraren azalera

Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:

Azalera: perimetroaren eta apotemaren arabera

$A = \frac {P \cdot a}{2}$

Froga

Poligonoaren aldea L hirukiaren oinarria da, eta a apotema hirukiaren garaiera; beraz, hirukiaren azalera, $A_h$, hau da: $A_h = \frac{L \cdot a}{2} \;$ n aldeko poligonoak n hiruki ditu, eta guztizko azalera hau da: $A = \frac{L \cdot a}{2} \cdot n = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$ L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu: $A = \frac{P \cdot a}{2} \;$

Azalera: alde kopuruaren eta apotemaren arabera

$A = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \$

Froga

Hau jakinda: $A = \frac {L \cdot n \cdot a} {2} \$ eta $\delta = \frac {\pi} {n} \$ kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan). trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke: $L = 2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right )$ Aldea azalerarako formulan ordezkatuta: $A = \frac { (2 \cdot a \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) ) \cdot n \cdot a} {2} \$ Azkenik: $A = a^2 \cdot n \cdot \tan \left ( \frac {\pi} {n} \right ) \$

Azalera: alde kopuruaren eta erradioaren arabera

$A = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Froga

Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke: $L = 2 r \sin({\delta}) \;$ $a = r \cos({\delta}) \;$ non angelu zentrala hau den: $\alpha = 2 \delta = \frac{2\pi}{n} \;$ Poligonoaren azalera hau denez: $A = \frac{L \cdot n \cdot a}{2} \;$ eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu: $A = \frac{2 r \sin({\delta}) \cdot n \cdot r \cos({\delta})}{2} \;$ Ordenatuta: $A = \frac{n r^2 \cdot 2 \sin({\delta}) \cos({\delta})}{2} \;$ Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau: $2 \sin({\delta}) \cos({\delta}) = \sin({2 \delta}) \;$ Emaitza hau da: $A = \frac{n r^2 \sin({\alpha})}{2} \;$ Edo beste era honetan: $A = \frac{n r^2 \sin({\frac{2\pi}{n}})}{2} \;$

Azalera: aldearen arabera

$A = n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot \tan \left ( \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n} \right )$

Froga

Poligonoaren azalera hau denez: $A = n \cdot \frac{L \cdot a}{2} \;$ Erabil dezagun $\varphi$ sinboloa "L" aldearen eta "r" erradioaren arteko angelua izendatzeko: $\varphi = \frac{\pi-\alpha}{2} \ = \frac{\pi-\frac{2\pi}{n}}{2} \ = \frac{\pi}{2}\frac{(n-2)}{n} \;$ Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera): $\tan \varphi = \frac{a}{\frac{L}{2}} = \frac{2a}{L}$ Apotema askatuz gero, hau dugu: $a = \frac{L \cdot \tan \varphi}{2}$ Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda: $\left . \begin{array}{l} A = n \cdot \cfrac{L \cdot a}{2} \\ \\ a = \cfrac{L \cdot \tan \varphi}{2} \\ \\ \varphi = \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n} \end{array} \right \} \quad \longrightarrow \quad A = n \cdot \cfrac{L^2}{4} \cdot \tan \left ( \cfrac{\pi}{2}\cfrac{(n-2)}{n} \right )$

Laburpen-taula

Pentagono erregular bat eraikitzen

Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz.

Alde, angelu eta erpin kopurua	Poligonoa	Irudia	Barne-angelua	Aldea	Azalera	Animazioa: eraikitze grafikoa erregela eta konpasa erabiliz
3	Hiruki aldeberdina		60°	√3≅1,732	3/4·√3≅1,299	Eraikitze zehatza
4	Karratua		90°	√2≅1,414	2	Eraikitze zehatza
5	Pentagonoa		108°	≅1,176	≅2,378	Eraikitze zehatza
6	Hexagonoa		120°	1	3/2·√3≅2598	Eraikitze zehatza
7	Heptagonoa		≅128,57°	≅0,868	≅2,736	Gutxi gorabeherako eraikitzea
8	Oktogonoa		135°	≅0,765	2·√2≅2,828	Eraikitze zehatza
9	Eneagonoa		140°	≅0,684	≅2,893	Gutxi gorabeherako eraikitzea
10	Dekagonoa		144°	≅0,618	≅2,939	Eraikitze zehatza
11	Endekagonoa		≅147,27°	≅0,563	≅2,974	Gutxi gorabeherako eraikitzea
12	Dodekagonoa		150°	≅0,518	3	Eraikitze zehatza
13	Tridekagonoa		≅152,31°	≅0,479	≅3,021	Gutxi gorabeherako eraikitzea
14	Tetradekagonoa		≅154,29°	≅0,445	≅3,037	Gutxi gorabeherako eraikitzea
15	Pentadekagonoa		156°	≅0,416	≅3,051	Eraikitze zehatza
16	Hexadekagonoa		157,5°	≅0,390	≅3,061	Eraikitze zehatza
17	Heptadekagonoa		≅158,82°	≅0,367	≅3,071	Eraikitze zehatza 34-gonoa, 51-gonoa 85-gonoa, 255-gonoa
18	Oktodekagonoa		160°	≅0,347	≅3,078	Gutxi gorabeherako eraikitzea
19	Eneadekagonoa		≅161,05°	≅0,329	≅3,085	Gutxi gorabeherako eraikitzea
20	Ikosagonoa		162°	≅0,313	≅3,090	Eraikitze zehatza
257	257-gonoa		≅178,6°	≅0,024	≅3,141	Eraikitze zehatza
65.537	65.537-gonoa		≅179,9945°	≅0,000096	≅3,1416	Eraikitze partziala