Hidrostatika

Hidrostatika fluidoen mekanikako adar bat da, oreka-egoeran dauden fluidoen portaera aztertzen duena; fluidoen estatika ere esaten zaio. Hidrostatikaren printzipio edo lege nagusiak Pascalen printzipioa eta Arkimedesen printzipioa dira.

Bestalde, hidraulika da fluidoek —bereziki likidoek— higitzean duten portaera dinamikoa aztertzen dituen fisikaren adarra. Hortaz, hidrostatika hidraulikaren atal bat dela esan dezakegu, hain zuzen ere, edukiontzi batean geldi dauden fluidoen ezaugarri fisikoak aztertzen dituena.

Hidrostatikaren historia laburra

Simon Stevin (1548-1620), hidrostatikari buruzko lehen tratatuaren egilea.

Hidrostatikaren printzipio batzuk ezagunak izan ziren modu enpiriko-intuitiboan greziar eta erromatarren garai zaharretan, hala nola zisternak, akueduktoak eta iturriak eraikitzeko teknikak. Ikuspegi teorikotik ere ulerturik zegoen Arkimedesen printzipioa, flotazioaren arazoak argituz. Eta Vitruvio ingeniari erromatarrak ohartarazi zuen berunezko hodiak eztanda egin zezaketela presio hidrostatikoaren eraginez.

Blaise Pascal (1623-1662)

Errenazimenduaren bukaera aldean, Simon Stevin-ek (1548-1620) hidrostatikaren lehen tratatua argitaratu zuen  1586an Herbehereetako Leiden-en De Beghinselen des Waterwichts izenburupean, nederlanderaz idatzia. Hogei urte pasa ondoren, 1605-1608 bitartean Willebrord Snell-ek latinera itzultzean, «waterwichts» hitza «hydrostatice» modura itzuli zuen. Hortik aurrera, zientzialariek «hidrostatika» hitza erabiltzen hasi ziren, zein bere hizkuntzaren moldaketa ortografiko-fonetikoekin.

Azkenik, XVII. mendearen erdialdean, 1647an, Blaise Pascal (1623-1662) matematikari eta filosofo frantsesak fluidoen bidez transmititzen den presioaren eta formaren kontzeptua formulatu zuen. Bera izan zen presio hidrostatikoaren kontzeptua finkatu zuena 1648an, geroago 1651an Traite du vide izeneko lanean zehaztu zuena, eta bera hil ondoren De l'équilibre des liqueurs eta De la pesanteur de la masse d'air izeneko tratatuetan argitaraturikoa.

Pascalek hidrostatikaren arloan eginiko ikerketa esperimentalen garrantzia dela eta, nazioarteko SI sistemako presio-unitateari «pascal» izena eman zitzaion beraren ohorez. Unitate horri ${\text{Pa}}$ sinboloa dagokio sistema horretan, eta balio hau du oinarrizko unitateetan: ${\text{1 Pa}}={\text{1 N m}}^{-2}={\text{1 kg m}}^{-1}{\text{s}}^{-2}.$

Fluidoen ezaugarriak

Oro har, fluido deritzogu materiaren ingurune jarraitu berezi bati, zeinaren osagaien artean erakarpen-indar ahula dagoen. Izan ere, fluidoen izaera definitzen duen propietate nagusia formaz aldatzeko gaitasuna da, eta behin forma aldatu ondoren aldez aurreko forma berreskuratzeko barne-indar berezirik ez sortzea. Horretan desberdintzen dira fluidoak solido defomagarrietatik. Materiaren egoera kontuan izanik, hiru motatako fluidoak daude: likidoak, gasak eta plasma.[1]

Fluidoen ezaugarri nagusiak hauexek dira:

• Kohesioa. Izaera bereko molekulen arteko erakarpena. Material baten barneko molekulak elkarri atxikitzea dakarren fenomenoa da, tentsio batek material hori hausteari edo hedatzeari kontra egiten diona.
• Gainazal-tentsioa. Likidoen propietatea da, haren gainazalari mintz elastiko baten gisako portaera ematen diona. Likidoaren indar intermolekularren ondorioa da. Kuantitatiboki, likidoaren gainazala azalera-unitate batez handiagotzeko behar den energia da.
• Itsaspena (itsagarritasuna edo adherentzia ere esaten zaio). Material desberdineko bi gainazalek elkarri atxiki eta laban ez egiteko agertzen duten propietatea (adibidez, ibilgailuaren gurpilen eta zoruaren artekoa). Fluidoen kasuan biskositate kontzeptuaren bidez adierazten da itsaspena. Izan ere, biskositatea da fluidoaren molekulen artean sortzen den barne-marruskadura, elkarren ondoko fluido-geruzen arteko higidura erlatibo bat sortzeari erresistentzia egiten diona.
• Kapilaritatea. Solidoa eta likidoa elkar ukituz sortzen den fenomeno-multzoa; bereziki, hodi kapilarretan dauden likidoetan sortzen dena.

Hidrostatikaren funtsezko ekuazioa

Hidrostatikaren funtsezko ekuazioa adieraziko da jarraian, horretarako banaka azalduz zenbait oinarrizko kontzeptu: lehenik, presio kontzeptuaren definizioa gogoratuz; gero, fluidoaren barneko presioa zehaztuz; eta, azkenik, grabitatearen eraginpean dagoen fluidoaren presioa puntutik puntura nola aldatzen den aztertuz.

Presioaren definizio orokorra

${\text{d}}S$ gainazal diferentzialeko $P$ puntuan ${\text{d}}F_{\text{n}}$ indarrak eginiko presioaren definizioaren eskema.

Dakigunez, presio kontzeptua indar batek objektu baten gainazal batean perpendikularki eragitean sorturiko egoera adierazteko definitzen da, «presioa azalera-unitateko egiten den indar perpendikularra» dela esanez. Hori erraz ulertzen da solido baten kanpoko gainazal batean eragitean, alboko irudian grafikoki erakusten den bezala. Hau da, definizioz, ${\text{d}}S$ azalera duen gainazal diferentzialean ${\text{d}}F_{\text{n}}$ indar perpendikularra egitean, gainazalaren gaineko presioa

$$p={\frac {{\text{d}}F_{\text{n}}}{{\text{d}}S}}$$

izango da; norabide perpendikularrean egina, noski. Beraz, "presio" esatean, gainazal bat eta horrekiko norabide perpendikularra kontsideratzen dira, inplizituki.

Orekan, puntu bateko presioak balio bera du norabide guztietan.

Orekan dagoen fluidoaren barneko presioa

Baina zer gertatzen da Lurreko grabitatearen eremuan oreka-egoeran dagoen fluido baten barneko puntuetan?

Hasteko, fluidoa orekan eta geldi egonik, fluidoaren puntu batean edozein norabidetako presioa berbera dela kontsidera dezakegu, zeren norabideren batean presio desberdina balego, fluidoaren partikula hori higitu egingo bailitzateke eta ez bailegoke pausagunean, geldi. Alegia, puntu bakoitzari presio bat dagokio, balio berbera duena norabide guztietan ezkerraldeko irudi eskematikoan ikus daitekeen bezala.

Puntu bakarreko egoera kontsideratu ondoran, bi puntu desberdinetako presioarekin zer gertatzen den kontsideratuko da jarraian. Balio bera izango ote du presioak fluidoaren puntu guztietan?

Altuera bereko puntuetan presio berbera

Altuera diferentzialeko prismaren albo-aurpegietan eragiten ari diren presio-indarren orekaren eskema.

Lurreko grabitatearen eremuan oreka-egoeran dagoen fluidoaren barneko puntuen presioarekin jarraituz, oraingoan puntutik puntura dauden aldaketak aztertuko dira, bi norabidetan. Lehenik norabide horizontalean, altuera bereko bi puntu harturik, alboko irudiko $A$ eta $B$ puntuen arteko fluido-elementu prismatiko horizontal diferentzialean bi aldeetako presio-indarren arteko oreka aztertuko dugu. Hain zuzen, norabide horizontaleko bi gainazaletan jasaten diren presioen kausaz, hauxe da bi gainazaletan eragiten ari diren bi indarrei dagokien ekuazioa:

$$p_{A}{\text{d}}S-p_{B}{\text{d}}S=0.$$

Hortik ondorioztatzen denez,

$$p_{A}=p_{B}.$$

Emaitza hori erraz orokortu daiteke lerro horizontal bereko fluidoko puntu guztietara, ondorio argia atereaz: orekan dagoen fluidoko altuera bereko puntu guztietan presio berbera dago.

Orekan, likidoaren gainazala altuera berean dago ontzi komunikatu guztietan.

Ontzi komunikatuak likidoz betetzean adierazten duen animazioa.

Ontzi komunikatuak

Ontzi komunikatuak izenaz ezagutzen da behealdetik bat eginda dauden zenbait ontziz osatutako sistema. Bertan dagoen likidoaren gainazalek altuera bera dute ontzi guztietan, edozein izanik ere ontzien forma eta sekzioa.[2]Likidoa geldi dagoela, oreka-egoeran, aurreko atalean adierazi den bezala, altuera bereko puntuetan presio berbera dagoenez, eta airearekiko kontaktuan dauden ontzi guztietako gainazalek presio atmosferiko berbera, $p_{0}$, jasaten dutenez, ontzi guztietako likidoaren gainazalek altuera bererean egon behar dute.

Bestalde, alboko animaziozko irudian, bi ontzi komunikatu likido berberaz betetzean gertatzen den prozesua erakusten da. Ikus daitekeenez, betetzean edo hustean, etengabe gertatzen ari da oreka-mailara iristeko higidura.

Altuera diferentzialeko prisman norabide bertikalean eragiten ari diren indarren eskema.

Altuera desberdineko puntuetako presioen arteko erlazioa

Bigarren pausoan, norabide bertikaleko presio-aldaketa aztertuko dugu. Horretarako, oinarrian $S$ azalera eta ${\text{d}}y$ altuera diferentzialeko prisman norabide bertikalean eragiten ari diren diren indarren arteko oreka-ekuazioa aztertuko dugu. Eskuinaldeko irudi eskematikoan adierazita dauden hiru indar hauek eduki behar ditugu kontuan: beheko eta goiko aurpegietako presio-indarrak —$pS$ gorantz eta $(p+{\text{d}}p)S$ beherantz, hurrenez hurren— eta fluidoaren elementuaren pisua, beherantz. Fluidoaren dentsitatea $\rho$ dela eta prisma diferentzialaren bolumena ${\text{d}}V=S{\text{d}}y$ dela kontuan hartuta, prismaren pisua $\rho gS{\text{d}}y$ izango da. Hiru indar horien erresultantea nulua izango da orekan, hots:

$$pS-(p+{\text{d}}p)S-\rho gS{\text{d}}y=0.$$

$${\text{d}}p=-\rho g{\text{d}}y.$$

Ekuazio hau da, hain zuzen ere, hidrostatikaren funtseko ekuazioa, fluidoaren presioaren eboluzioa adierazten duena norabide bertikalean. Bertan ageri denez, fluidoaren barneko presioaren aldakuntza prismaren pisuarekin lotuta dago: zenbat eta fluidoa beherantz sakonago egon, prismak pisu handiagoa izango du gainean; hortaz, zenbat eta beherago, presioa handiagoa izango da (hortik zeinu negatiboa).

Ekuazio hori bertikal bereko $A$ eta $B$ puntuen artean integratuz,

$$\int _{A}^{B}{\text{d}}p=p_{B}-p_{A}=-\int _{A}^{B}\rho g{\text{d}}y.$$

Integral hori egiteko, fluidoa nolakoa den jakin behar da: fluidoa konprimagarria bada, dentsitatea presioaren funtzioa izango da —hau da, $\rho =f(p)$—, eta orduan kontuan hartu behar da menpekotasun hori; hain zuxen, horixe da airearen eta gasen kasua. Baina fluido konprimaezinen kasuan asko erraztuko da kalkulua.

Uretan beherantz murgiltzean, presioa linealki handiagotzen da sakonerarekin: $p_{A}=p_{0}+\rho _{\text{ura}}gh.$

Fluido konprimaezinak

Fluido konprimaezina den kasuan, dentsitatea konstantea da — $\rho ={\text{kte}}$—, eta erraz integra daiteke aurreko ekuazioa:

$$p_{B}-p_{A}=-\rho g\int _{A}^{B}{\text{d}}y=-\rho gh.$$

$$p_{A}=p_{B}+\rho gh.$$

Eman dezagun fluidoa ura dela, zeina konprimaezintzat har daitekeen, hurbilketa oso ona eginez. Gauzak horrela, $B$ puntua uraren gainazalekoa bada, bertan airearen presio atmosferikoa —$p_{0}$— izango da. Hortaz, uraren barneko puntuetako presioa honakoa izango da:

$$p_{A}=p_{0}+\rho _{\text{ura}}gh.$$

Alegia, uraren barneko $A$ puntuko presioa bere gainean dituen aire-zutabearen eta ur-zutabearen pisuei dagokiena

Pascalen esperimentuaren irudi apokrifoa.

da.

Hortaz, urpekarien kasua aipa daiteke adibide gisa. Gauza jakina denez, presio atmosferiko normalaren balioa ${\text{1 atm}}$ da itsas mailan. Bestalde, kalkulu errazak eginez ikus daitekeenez, gutxi gorabehera, ${\text{10 m}}$ inguruko ur-zutabe baten ondoriozko presioa ${\text{1 atm}}$-ren baliokidea da. Horrek esan nahi du, ezen, itsasoan beherantz ${\text{10 m}}$ egitean, urpekariek ${\text{1 atm}}$-ko gainpresioa jasango dutela gorputzean, hau da, ${\text{2 atm}}$-ko presioa; eta horrela, ${\text{10 m}}$ sakonago murgiltzen diren bakoitzean.

Pascalen printzipioa

Hidrostatikaren printzipio funtsezko hau Blaise Pascal (1623–1662) matematikari frantziarrak 1647-48 inguruan aurkitutako lege bat da, honelaxe laburbil daitekeena:

«Oreka-egoeran dagoen eta horma deformaezinak dituen ontzi itxi bat erabat betetzen duen fluido konprimaezin bati egindako presioa intentsitate berberarekin transmititzen da fluidoaren puntu guztietara.»

Printzipio honetan oinarriturik, Pascalek esperimentu bitxia prestatu zuen bere garaiko jendearen aurrean erakusteko. Lehenik, ardo-upel bat urez erabat bete ondoren, gaineko estalkian zulo txiki bat egin zuen, handik hodi oso fin eta oso luze bat sartu zuen, eta hodiaren eta kupelaren arteko juntura hermetikoki zigilatu zuen, urik ez irteteko moduan. Gero, eskailera oso garai batera igo zen eskuan urez beteriko pitxer bat zuela, eta hodiaren goialdetik ura gehitzen hasi zen poliki-poliki hodia gero eta goragoraino betez, harik eta, behealdeko uraren presio gero eta handiagoaren ondorioz, upelaren oholen arteko junturak zabaltzen hasi ziren arte.

Gaur egun printzipio honek hainbat aplikazio praktiko ditu industrian, hala nola prentsa hidraulikoa eta katu hidraulikoa izeneko mekanismoetan.

Prentsa hidraulikoa

Bramah-ren prentsa hidraulikoaren eskema eta argazkia.

Joseph Bramah (1748-1814) izeneko ingeniari britainiarrak asmatu zuen prentsa hidraulikoa XVIII. mendearen bukaera aldean. Egia esanda, Pascalek jadanik asmatuta zeukan mekanismoa kupelen esperimentuan, baina makina konkretuan aplikatzeko modua oztopaturik egon zen hainbat urtez, erabilitako likidoaren ihesak ezin saihesturik, hain zuzen ere, akoplamendu edo juntura estankoak egitearen zaitasunagatik. Estankotasun-juntura egokia lortu zuen lehena Bramah izan zen, 1795ean larruz enbotaturiko disko metaliko bat patentatzean.

Prentsa hidraulikoa bi ontzi komunikatuz osaturiko mekanismoa da. Bi ontzi horiek hodi bertikalak dira, diametro oso desberdinetakoak, eta likido konprimaezinaren gainean pistoi bana dutenak. Pistoiak eta hodiak oso ondo doituta daude, likidoa hermitikoki itxita egoteko moduan.

Prentsa hidraulikoaren eskema.

Pascalen printzipioaren aplikazio zuzena egiten da prentsa hidraulikoan. Hain zuzen, printzipio horren arabera, likidoari kanpotik eginiko presioa —$A_{1}$ pistoi txikian $F_{1}$ indarrez eginiko ${\textstyle p={\frac {F_{1}}{A_{1}}}}$ presioa—, intentsitate berberaz transmitituko da pistoi handiaren azpiko likidora, eta hortik pistoi handira. Baina pistoi handiaren azalera $A_{2}$ denez, bertako $p$ presioa honelaxe adierazi ahalko da: ${\textstyle p={\frac {F_{2}}{A_{2}}}}$. Hortik, erlazio hau lortuko dugu:

$${\frac {F_{1}}{A_{1}}}={\frac {F_{2}}{A_{2}}}\rightarrow F_{2}={\frac {A_{2}}{A_{1}}}F_{1}.$$

Formula hori da mekanismoaren funtzionamenduaren funtsa. Izan ere, prentsa hidraulikoetan bi gainazal horien azaleren arteko erlazioa oso handia izaten da —alegia, ${\textstyle {\frac {A_{2}}{A_{1}}}\gg 1}$ izateko moduan fabrikatzen da prentsa— eta ondorioz, pistoi handian indar oso handia egiten da, pisu handiak jasotzeko baliatzen dena: $F_{2}{\gg }F_{1}$. Bestela esanda, prentsa hidraulikoak "biderkatu" egiten du pistoi txikian eginiko indarraren intentsitatea.

Arkimedesen printzipioa

Fluido batean murgildutako solidoaren prisma zilindriko diferentzial bertikalean eragiten ari diren indarrak.

Aurreko ataletan fluidoaren barneko presioak norabide horizontalean eta bertikalean nola aldatzen diren aztertu ondoren, atal honetan fluidoaren presioak bertan barneraturiko solidoen flotazioan daukan eragina aztertuko da. Horretarako, solidoaren gainazala iragaztezina dela kontsideratuko dugu, alegia, solidoak ez duela fluidoa xurgatzen.

Lehenik, fluidoan erabat murgildurik dagoen solido bat aztertuko dugu. Alboko irudiko grafikoan eskematikoki marraztuta dagoen solidoaren prisma zilindriko diferentzial eta bertikal bat kontsideratuko dugu (oinarrien azalera ${\text{d}}S$ da). Prisma horretan $y$ norabidean eragiten ari diren indarrak honako hauek dira:

• Prismaren goiko gainazalean dagoen $p_{1}$ presioaren eraginez, fluidoak $p_{1}{\text{d}}S$ indarra egiten du, beherantz.
• Prismaren pisua $\rho _{\text{s}}gh{\text{d}}S$ da, solidoaren dentsitatea $\rho _{\text{s}}$ dela jorik; indar hau ere beherantz, noski.
• Eta prismaren beheko gainazalean dagoen $p_{2}$ presioaren eraginez, fluidoak $p_{2}{\text{d}}S$ indarra egiten du, gorantz.

Hiru indar horien erresultanteak balio hau du:

$${\text{d}}F=p_{2}{\text{d}}S-p_{1}{\text{d}}S-\rho _{\text{s}}gh{\text{d}}S=(p_{2}-p_{1}){\text{d}}S-\rho _{\text{s}}gh{\text{d}}S.$$

Baina, aurreko atal batean frogatu denez,

$$p_{2}-p_{1}=\rho _{\text{f}}gh$$

da, $\rho _{\text{f}}$ fluidoaren dentsitatea izanik. Hortaz,

$${\text{d}}F=\rho _{\text{f}}gh{\text{d}}S-\rho _{\text{s}}gh{\text{d}}S=(\rho _{\text{f}}-\rho _{\text{s}})gh{\text{d}}S.$$

Eta prisma diferentzialeko emaitza hori solido osorako integratuz, solidoak fluidoaren barnean jasaten duen indar erresultante netoa lortuko dugu:

$$\int {\text{d}}F=(\rho _{\text{f}}-\rho _{\text{s}})g\int h{\text{d}}S,$$

$$F=(\rho _{\text{f}}-\rho _{\text{s}})Vg.$$

Ikus daitekeenez, indar horretan bi osagai kontsidera ditzakegu:

• Batetik, fluidoaren presioaren eraginez sortzen den goranzko indarra: $F_{\text{f}}=\rho _{\text{f}}Vg.$
• Bestetik, solidoaren pisua, beheranzkoa, noski: $F_{\text{s}}=-\rho _{\text{s}}Vg=-m_{\text{s}}g.$ Zeinu negatiboa ere jarri da, beheranzkoa dela adierazteko.

Hain zuzen ere, lehenengo indar hori da Arkimedesen printzipioaren muina. Honelaxe dio printzipio horrek:

«Fluido baten barnean dagoen solidoak goranzko indar edo bultzada bat jasaten du, zeinaren balioa solidoak desplazaturiko fluidoaren pisuaren berdina den.»

Bi ohar hauek egitea komeni da Arkimedesen bultzadari buruz:

• Batetik bultzada hori solidoa partzialki edo osorik murgiltzean agertuko da, beti ere fluidoaren gainazala baino beherago dagoen parteari baitagokio.
• Behin solidoa fluidoaren barnean osorik murgildurik dagoela, berdin dio zein sakoneran dagoen: Arkimedesen bultzadak balio berbera du sakonera guztietan.

Solidoen flotazioa likidoetan

Solidoaren eta fluidoaren dentsitateen araberako hondorapena eta flotazioa.

Arkimedesen printzipioa kontuan harturik, erraz uler daiteke nola gertatzen den solidoen flotazioa likidoen barnean, zeinaren kasu berezia den urpean murgildutako objektuen flotazioa eta hondorapena.

Aurreko atalean esan bezala, edozein formatako objektu bat osorik edo partzialki fluidoan murgiltzean, objektu horrek fluidoak eginiko goranzko indar neto bat jasango du —Arkimedesen bultzada-indarra—, objektuaren pisuaren aurka arituko dena. Kontua da bietako zein nagusituko den. Hiru kasu desberdin kontsidera daitezke, alboko irudian eskematikoki adierazita daudenak:

• Lehenengo kasuan (A irudia), solidoaren dentsitatea, $\rho _{\text{s}}$, fluidoarena, $\rho _{\text{f}}$, baino handiago da, hots, $\rho _{\text{s}}>\rho _{\text{f}}$. Kontuan izanik $F_{\text{f}}=\rho _{\text{f}}Vg$ eta $m_{\text{s}}=\rho _{\text{s}}Vg$ direla, $m_{\text{s}}g>F_{\text{f}}$ da. Hortaz, objektuaren pisua bultzada-indarra baino handiagoa da, eta objektua beherantz higituko da hondora iritsi arte.
• Bigarren kasuan (B.1. irudia), objektuaren dentsitatea fluidoarena baino txikiagoa da, $\rho _{\text{s}}<\rho _{\text{f}}$, eta ondorioz, bultzada-indarra pisua baino handiagoa izango da: $F_{\text{f}}>m_{\text{s}}g.$ Beraz, solidoa gorantz abiatuko da. Noiz arte? Likidoaren gainazalera iritsi eta bertan oreka lortu arte.
• Azkenean (B.2. irudia), objektua flotatzen geratzen da fluidoaren gainazalean, orekan. Orduan, bultzada-indarrak eta pisuak balio berbera dute: $F_{\text{f}}=m_{\text{s}}g.$ Horrek esan nahi duenez, solidoaren parte bat baino ez dago fluidoan murgilduta. Hain zuzen ere, fluidoaren barnean geratzen den partea desplazaturiko fluidoari dagokio. Parte horren bolumena $V_{\text{d}}$ sinboloaz adieraziz gero, indarren berdintza hau gertatuko da flotatzen ari den kasuan:
  $$\rho _{\text{f}}V_{\text{d}}g=\rho _{\text{s}}Vg.$$
  Eta solidoa flotatzen geratuko da, orekan.

Bibliografia

• Juan Luis González-Santander & Gloria Castellano Estornell, Fundamentos de Mecánica de Fluidos. Editorial Club Universitario. ISBN 978-84-15941-79-8.
• Etxebarria Bilbao, J.R. (arg.) Fisika orokorra (2. argitalpena), UEU, (2003) ISBN 9788484380450. Noiz kontsultatua: 2018-12-07
• M., Fishbane, Paul (2008) Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak) Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN 9788490820308 PMC932800438.
• Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). Física. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-2
• Oliver Olivella, Xavier; Agelet de Saracíbar Bosch, Carlos (2002). Mecánica de medios continuos para ingenieros. Barcelona: Universitat Politècnica de Catalunya. p. 346.{{ISBN|84-8301-412-2}}.

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Calvert, J.B. (2003), Hydrostatics Denverreko Unibertsitatea, mysite.du.edu

• Datuak: Q177807
• Multimedia: Fluid statics / Q177807