Lankide:Anazj/Integral anizkoitz

Integrala bi kurben arteko azalera gisa.

Matematikan (zehazki, aldagai anitzeko kalkuluan), integral anizkoitza aldagai erreal anitzeko funtzioen integrala da. Bi aldagaiko f(x, y) funtzioaren integralari $\mathbb {R} ^{2}$ zenbaki errealen planoko eskualde batean integral bikoitz deritzo, eta hiru aldagaiko f(x, y, z) funtzioaren integralari $\mathbb {R} ^{3}$ zenbaki errealaren hiru dimentsioko espazioko eskualde batean integral hirukoitz. Aldagai bakarreko integral anizkoitzerako, ikus "Integrazio errepikaturako cauchy-ren formula".

Sarrera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aldagai bateko funtzio positibo baten integralak funtzioaren grafikoaren eta $x$ ardatzaren arteko eskualdearen azalera adierazten du. Modu berean, bi aldagaiko funtzio positibo baten integral bikoitzak, funtzioak definitutako gainazalaren eta funtzioaren definizio-eremua duen planoaren arteko eskualdearen bolumena adierazten du hiru dimentsioko plano kartesiarrean, non $z = f (x, y)$ den. Funtzioak aldagai gehiago baditu, integral anizkoitzak dimentsio anitzeko funtzioaren hiperbolumena adierazten du.

n aldagaiko $f (x 1, x 2, ..., x n)$ funtzioaren integral anizkoitza D eremuan adierazteko, integralaren ikurra hainbat aldiz jartzen da bata bestearen atzetik. Ordena bati jarraituz kalkulatzen dira integralak, ezkerreko integrala kalkulatzen azkena izango delarik. Ondoren, integratuko den funtzioa idazten da eta amaieran diferentzialaren ikurrak, ordena egokian idatzita (eskuineko diferentzialari dagokion integrala kalkulatzen azkena izango da). Integrazio-eremua integrazio-ikur bakoitzean modu sinbolikoan adieraz daiteke, edo bestela modu laburtuan, eskuinean dagoen integral-ikurrean soilik:

\int \cdots \int _{\mathbf {D} }\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Jatorrizko funtzioaren kontzeptua aldagai erreal bakarreko funtzioetarako bakarrik definitzen denez, integral mugagabearen ohiko definizioa ez da zuzenean orokortzen integral anizkoitzera.

Definizio matematikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bedi horrela definitutako n-dimentsioko $T$ eremu hiperlaukizuzen erdiirekia, n>1 izanik:

T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subseteq \mathbb {R} ^{n}.

[aj, bj) tarte bakoitzaren $I j$ partizio bat kalkula daiteke, hau da, haien artean disjuntuak diren eta guztien artean tarte osoa osatzen duten $i j α$ azpitarteen familia finitu bat, non azpitarteak ezkerreko muturrean itxiak eta eskuinekoan irekiak diren.

Hortaz, azpilaukizuzenen C familia finitua,

C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}

$T$ -ren partizio bat da; $C k$ azpilaukizuzenak ez dira teilakatzen (disjuntuak dira) eta guztien bildura $T$ da.

Izan bedi $T$ -n definitutako $f : T \to R$ funtzioa. Har dezagun $T$ -ren C partizio bat, $m$ azpilaukizuzen $C m$ -en familia:

T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}

$(n + 1)$ -dimentsioko bolumenaren kalkulua hurbil daiteke, behetik n-dimentsioko $T$ hiperlaukizuzenaren bidez bornatuta dagoelako, eta goitik f funtzioaren n-dimentsioko grafikoaren bidez^[1], Riemann-en batura honen bidez:

\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

non $C k$ -ko puntu bat den $P k$ , eta $C k$ -ren neurria $m(C k)$ den (ingelesetik , measure), hau da, tarteen luzeren biderkadura, $C k$ izanik biderkadura kartesiarra.

$C k$ azpilaukizuzenaren diametroa biderkadura kartesiarra $C k$ duten tarteen luzerarik handiena da. $T$ -ren partizio baten diametroa $T$ partizioko azpilaukizuzenen diametrorik handiena da. Intuizioz, C partizioaren dia $m$ etroa txikiagoa den heinean, azpilaukizuzenen m kopurua handitu egiten da, eta azpilaukizuzenen $m(C k)$ neurria txikitu egiten da. $f$ funtzioa Riemann-en bidez integragarria dela esaten da, baldin

S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})

limitea existitzen bada, limitea diametroa gehienez $δ$ duten $T$ -ren partizio posible guztietarako egiten delarik.^[2]

$f$ funtzioa Riemann-en bidez integragarria bada, $T$ -ren gaineko f-ren Riemann-en integrala $S$ dela esaten da, eta horrela idazten da:

\int \cdots \int _{T}\,f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\!\cdots dx_{n}

Askotan, notazio hori laburtu egiten da, horrela:

\int _{T}\!f(\mathbf {x} )\,d^{n}\mathbf {x} .

non $(x 1, \dots, x n)$ n-kotea $x$ den n-dimentsioko bolumen-diferentziala $d n x$ den.

Hemendik aurrera, n dimentsioko Riemann-en integralari integral anizkoitza deituko zaio^[3].

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aldagai bakarreko funtzioen integraletan betetzen diren propietate asko integral anizkoitzetan ere betetzen dira (linealtasuna, trukakortasuna, monotonia-legea, etab.). Integral anizkoitzen propietate garrantzitsu bat honakoa da: integralaren balioa integrakizunen ordenaren independentea da, baldintza batzuk betetzen badira. Propietate horri Fubini-ren teorema deitzen zaio.

Kasu partikularrak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

$T\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ denean,

l=\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy

$f$ funtzioaren integral bikoitza da $T$ -n, eta $T\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ bada, orduan

l=\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

f-ren integral hirukoitza da $T$ -n.

Integral bikoitza bi integral-ikurren bidez adierazten da eta integral hirukoitza hiru integral-ikurren bidez. Notaziorako akordio hori egokia gertatzen da integral anizkoitz bat integral iteratu gisa kalkulatzen denean, artikulu honetan aurrerago azaltzen den bezala.

Integrazio-metodoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Integral anizkoitzak ebazteko, gehienetan, integral iteratu batean laburtzen da, hau da, aldagai bakarreko hainbat integraletan, haietako bakoitza zuzenean ebazteko modukoa delarik. Funtzio jarraituetan, hori Fubini-ren teoremaren bidez justifikatzen da. Batzuetan, zuzenean lor daiteke integral anizkoitzaren emaitza, inolako kalkulurik egin gabe.

Hauek dira integraziorako metodo sinple batzuk:^[4]^[5]

Funtzio konstanteak integratzea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Integratu behar dena $c$ funtzio konstantea denean, integrala $c$ -ren eta integrazio-eremuaren neurriaren biderkadura da. Baldin $c = 1$ bada eta integrazio-eremua $R 2$ -ren azpieskualde bat bada, integralak eskualdearen azalera ematen du, eta integrazio-eremua $R 3$ -ren azpieskualdea bada, integralak eskualdearen bolumena ematen du.

Adibidea. Izan bitez f(x, y) = 2 funtzioa eta integrazio-eremu hau:
$D=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\right\}$

Hortaz,

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 2\ dx\,dy=2\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=2\cdot \operatorname {azalera} (D)=2\cdot (2\cdot 3)=12,$

definizioz:

$\int _{3}^{6}\int _{2}^{4}\ 1\ dx\,dy=\operatorname {azalera} (D).$

Aldagai-aldaketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Askotan, integrazio-mugak ez dira trukatzen errazak izaten. Aldagai-aldaketa egitean, integrala eskualde "erosoago" batean idazten da eta horrela, formula sinpleago baten bidez adieraztea lortzen da. Horretarako, funtzioa koordenatu berrietara egokitu behar da.

1a adibidea. Izan bedi $f(x, y) = (x − 1)2 +\sqrt{y}$ funtzioa eta izan bitez $u = x - 1$ eta $v = y$ , hau da, $x = u + 1$ eta $y = v$ . Aldagai-aldaketa eginez, honako funtzioa lortzen da: $f2(u, v) = (u)2 + \sqrt{v}$

Integrazio-domeinurako antzera egiten da, transformatuak izan diren jatorrizko aldagaiek mugatzen dutelako (adibidean, $x$ eta $y$ ).
$dx$ eta dy diferentzialak matrize jacobtarraren determinantearen balio absolutuaren bidez transformatzen dira. Bertan transformazioen deribatu partzialak daude aldagai berriarekiko (kontuan hartu, adibide gisa, transformazio diferentziala koordenatu polarretan).

Hiru aldagai-aldaketa "mota" nagusi daude (bat $R 2$ -n, bi $R 3$ -n); hala ere, aldaketa orokorragoak egin daitezke printzipio bera erabiliz.

Koordenatu polarrak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

$R 2$ -n, integrazio-eremuak simetria zirkularra badu eta funtzioak ezaugarri berezi batzuk baditu, koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko aldaketa egin daiteke (ikus adibidea irudian); horrek esan nahi du, koordenatu kartesiarretako P(x, y) puntuak koordenatu polarretan dagokien puntu bihurtuko direla. Transformazio horrek integrazio-eremuaren forma aldatzeko eta eragiketak sinplifikatzeko aukera ematen du.

Koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko funtsezko erlazioa honako hau da:

f(x,y)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ).

2a adibidea. Izan bedi $f (x, y) = x + y$ funtzioa. Koordenatu kartesiarrak polar bihurtzeko transformazioa aplikatuz, funtzioa horrela geratzen da:
$f(x,y)=f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )=\rho \cos \varphi +\rho \sin \varphi =\rho (\cos \varphi +\sin \varphi ).$

2b adibidea. Izan bedi $f (x, y) = x 2 + y 2$ funtzioa. Kasu honetan, horrela geratzen da:
$f(x,y)=\rho ^{2}\left(\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi \right)=\rho ^{2}$
Pitagoras-en identitate trigonometriko erabiliz, eragiketak eragiketa horiek asko sinplifikatzen dira.

Integrazio-eremuaren aldaketa egiteko, erradioaren koroaren luzera eta deskribatutako angeluaren anplitudea definitzen dira, $x$ eta $y$ aldagaietatik abiatuz, $ρ$ eta $φ$ definitzeko.

2c adibidea. Izan bedi honako integrazio-eremua (2ko erradioa duen zirkunferentzia):

$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 4\right\}$

Estaltzen duen angelua zirkunferentziaren angelua denez, 0 tik 2 $\pi$ -ra doa $φ$ eta koroaren erradioa, 0tik 2ra.

2d adibidea. Izan bedi honako integrazio-eremua:
$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ y\geq 0\right\}$
hau da, koroa zirkularra $y$ planoerdi positiboan (ikus irudia adibidean). $φ$ -ren bidez planoaren angelua deskribatzen da eta $ρ$ 2tik 3ra doa. Hortaz, integrazio-eremua eraldatu ondoren, honako laukizuzena bihurtzen da:
$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq \pi \}.$
Transformazioaren determinante jacobtarra honakoa da:
${\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-\rho \sin \varphi \\\sin \varphi &\rho \cos \varphi \end{vmatrix}}=\rho$
Determinante hori lortzeko, zera egin da: $x = ρ cos(φ)$ eta $y = ρ sin(φ)$ -ren $ρ$ -rekiko deribatu partzialak lehen zutabean kokatu dira eta bigarrengoan $φ$ -rekiko deribatu partzialak. Horrela, eraldaketarekin $dx$ eta $dy$ diferentzialak $ρ, dρ$ eta $dφ$ bihurtu dira.
Funtzioa eraldatu eta domeinua ebaluatu ondoren, aldagaiak koordenatu polarretan aldatzeko formula defini daiteke:
$\iint _{D}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi )\rho \,d\rho \,d\varphi .$
0 tik 2 $\pi$ -ra doa $φ$ , eta luzeraren neurri bat den $ρ$ positiboa izango da.

2e adibidea. Izan bedi $f (x, y) = x$ funtzioa eta 2d adibideko integrazio-eremua. $D$ -ren aurreko analisitik, tarteak ezagutzen ditugu: $ρ$ (2-tik 3-ra) eta $φ$ (0-tik $\pi$ -ra). Aldaketa funtzioan horrela egingo dugu:
$f(x,y)=x\longrightarrow f(\rho ,\varphi )=\rho \cos \varphi .$
Integrazioa aplikatuz, horrela geratzen da:
$\iint _{D}x\,dx\,dy=\iint _{T}\rho \cos \varphi \rho \,d\rho \,d\varphi .$
Tarteak ezagunak izanik, horrela geratzen da:

$\int _{0}^{\pi }\int _{2}^{3}\rho ^{2}\cos \varphi \,d\rho \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\cos \varphi \ d\varphi \left[{\frac {\rho ^{3}}{3}}\right]_{2}^{3}={\Big [}\sin \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }\ \left(9-{\frac {8}{3}}\right)=0.$

Koordenatu zilindrikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

$R 3$ -n, oinarri zirkularra duten integrazio-eremuetan integrala kalkulatzeko koordenatu zilindrikoetara aldatzen da; funtzioaren transformazioa erlazio honen bidez egiten da:

f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)

Eremuaren eraldaketa grafikoki gauzatzen da, oinarriaren forma baino ez baita aldatzen, eta altuerak, berriz, hasierako eskualdearen formari jarraitzen dio.

3a adibidea. Izan bedi honako eskualdea:
$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ x^{2}+y^{2}\geq 4,\ 0\leq z\leq 5\right\}$
(hau da, irudiko koroa oinarri duen eta 5eko altuera duen "hodi" bat); transformazioa aplikatzen bada, eskualde hau lortzen da:

$T=\{2\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq z\leq 5\}$

Transformazioarekin $z$ osagaia ez denez aldatzen, $dx$ , $dy$ eta $dz$ diferentzialak koordenatu polarretarako transformazioan bezala aldatzen dira; beraz, ρ, dφ eta dz bihurtzen dira.
Azkenik, koordenatu zilindrikoetarako formula aplika daiteke:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.$
Metodo hau egokia da integrazio-eremua zilindrikoa edo konikoa kasuan.

3b adibidea. Izan bedi $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z$ funtzioa eta integrazio-eremua honako zilindroa:
$D=\left\{x^{2}+y^{2}\leq 9,\ \ -5\leq z\leq 5\right\}$
D eremua koordenatu zilindrikoetara bihurtuta, horrela geratzen da:

$T=\{0\leq \rho \leq 3,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -5\leq z\leq 5\}.$

Funtzioa horrela geratzen da:

$f(\rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z)=\rho ^{2}+z$

Hortaz, integrala horrela geratzen da:

$\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\left(\rho ^{2}+z\right)\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz;$

Formula garatuz,

$\int _{-5}^{5}dz\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3}\left(\rho ^{3}+\rho z\right)\,d\rho =2\pi \int _{-5}^{5}\left[{\frac {\rho ^{4}}{4}}+{\frac {\rho ^{2}z}{2}}\right]_{0}^{3}\,dz=2\pi \int _{-5}^{5}\left({\frac {81}{4}}+{\frac {9}{2}}z\right)\,dz=\cdots =405\pi .$

Koordenatu esferikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

$R 3$ -n, zenbait integrazio-eremuk simetria esferikoa dute; beraz, integrazio-eremuko puntuen koordenatuak bi angeluren eta distantzia baten bidez adieraz daitezke. Beraz, koordenatu esferikoetara pasatzea egokia gertatzen da; funtzioa erlazio honen bidez aldatzen da:

f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \varphi ,\rho \sin \theta \sin \varphi ,\rho \cos \varphi )

$z$ ardatzeko puntuek ez dute karakterizazio zehatzik koordenatu esferikoetan; beraz, 0 eta 2π artean alda daiteke $θ$ .

Aldaketa honetarako integrazio-eremurik egokiena esfera da.

4a adibidea. Izan bedi

$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 16\right\}$

(zentroa jatorrian duen 4 erradioko esfera); aldaketa egin ondoren, honako eskualdea lortzen da:

T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.

Eraldaketa horren determinante jacobtarra honakoa da:

{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \varphi &-\rho \sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\rho \cos \theta \sin \varphi &\rho \sin \theta \cos \varphi \\\cos \varphi &0&-\rho \sin \varphi \end{vmatrix}}=\rho ^{2}\sin \varphi

Beraz, $dx$ , $dy$ eta $dz$ diferentzialak horrela geratzen dira: $ρ 2 sin(φ) dρ$ , $dθ$ eta $dφ$ .

Integralaorrela geratzen da:

$\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .$

Integrazio-eremua esferikoa denean eta funtzioa erraz sinplifikatzen denean trigonometriaren lehen oinarrizko erlazioa $R 3$ -ra hedatzen denean (ikus 4b adibidea) metodo hau erabiltzea komeni da; beste kasu batzuetan, koordenatu zilindrikoak erabiltzea egokiagoa izan daiteke (ikus 4c adibidea).

\iiint _{T}f(a,b,c)\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi .

Formulan agertu diren $ρ 2$ eta $sin φ$ jacobtarretatik datoz.

Hurrengo adibideetan $φ$ eta $θ$ aldagaiek jokatzen duten papera alderantzikatu dira.

4b adibidea. Izan bedi 4a adibideko D eremua eta demagun $f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2$ funtzioaren integrala kalkulatu behar dela. Eraldaketa oso erraza da:

f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )=\rho ^{2},

D eskualdea eraldatuz lortutako $T$ -ren tarteak ezagutzen ditugu:

T=\{0\leq \rho \leq 4,\ 0\leq \varphi \leq \pi ,\ 0\leq \theta \leq 2\pi \}.

Beraz, integrazio-formula aplikatzen dugu:

\iiint _{D}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{T}\rho ^{2}\,\rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi ,

eta, garatuz, honakoa lortzen da:

\iiint _{T}\rho ^{4}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{4}\rho ^{4}d\rho \int _{0}^{2\pi }d\theta =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}\,d\varphi =2\pi \left[{\frac {\rho ^{5}}{5}}\right]_{0}^{4}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4096\pi }{5}}.

4c adibidea. Izan bedi D eremua (erdigunea jatorrian duen 3a erradioko pilota,
$D=\left\{x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 9a^{2}\right\}$

eta izan bedi integratu beharreko $f (x, y, z) = x 2 + y 2$ funtzioa.
Integrazio-eremua ikusita, koordenatu esferikoetara pasatzea egokia dela dirudi; T eskualde berria mugatzen duten aldagaien tarteak hauek dira:

$T=\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ 0\leq \theta \leq \pi \}.$

Hala ere, aldaketa eginda, funtzioa horrela geratzen da:

$f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\longrightarrow \rho ^{2}\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi =\rho ^{2}\sin ^{2}\theta .$

Integral hau lortzen da:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\sin ^{2}\theta \rho ^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi$

Integral iteratua eginez kalkulatzen da. $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =\underbrace {\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho } _{I}\,\underbrace {\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta } _{II}\,\underbrace {\int _{0}^{2\pi }d\varphi } _{III}$
, $I=\left.\int _{0}^{3a}\rho ^{4}d\rho ={\frac {\rho ^{5}}{5}}\right\vert _{0}^{3a}={\frac {243}{5}}a^{5}$
, $II=\int _{0}^{\pi }\sin ^{3}\theta \,d\theta =-\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\theta \,d(\cos \theta )=\int _{0}^{\pi }(\cos ^{2}\theta -1)\,d(\cos \theta )=\left.{\frac {\cos ^{3}\theta }{3}}\right|_{0}^{\pi }-\left.\cos \theta \right|_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}$
. $III=\int _{0}^{2\pi }d\varphi =2\pi$
Zati guztiak bilduz, horrela geratzen da:. $\iiint _{T}\rho ^{4}\sin ^{3}\theta \,d\rho \,d\theta \,d\varphi =I\cdot II\cdot III={\frac {243}{5}}a^{5}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot 2\pi ={\frac {648}{5}}\pi a^{5}$
Beste modu batera egin daiteke, koordenatu zilindrikoetara pasatuz. Hauek dira T-ren tarte berriak:

$T=\left\{0\leq \rho \leq 3a,\ 0\leq \varphi \leq 2\pi ,\ -{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\leq z\leq {\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\right\};$

$z$ -ren tartea lortzeko, pilota bi hemisferiotan zatitu da, D-ko inekuazioa ebatziz (eta ondoren, $x 2 + y 2$ zuzenean eraldatuz $ρ 2$ lortzeko). Funtzio berria $ρ 2$ besterik ez da. Integrala horrela geratzen da:

$\iiint _{T}\rho ^{2}\rho \,d\rho \,d\varphi \,dz.$

Zera lortzen da:

${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{3a}\rho ^{3}d\rho \int _{-{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}}^{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,dz&=2\pi \int _{0}^{3a}2\rho ^{3}{\sqrt {9a^{2}-\rho ^{2}}}\,d\rho \\&=-2\pi \int _{9a^{2}}^{0}(9a^{2}-t){\sqrt {t}}\,dt&&t=9a^{2}-\rho ^{2}\\&=2\pi \int _{0}^{9a^{2}}\left(9a^{2}{\sqrt {t}}-t{\sqrt {t}}\right)\,dt\\&=2\pi \left(\int _{0}^{9a^{2}}9a^{2}{\sqrt {t}}\,dt-\int _{0}^{9a^{2}}t{\sqrt {t}}\,dt\right)\\&=2\pi \left[9a^{2}{\frac {2}{3}}t^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{5}}t^{\frac {5}{2}}\right]_{0}^{9a^{2}}\\&=2\cdot 27\pi a^{5}\left(6-{\frac {18}{5}}\right)\\&={\frac {648\pi }{5}}a^{5}.\end{aligned}}$
Integral hirukoitza koordenatu zilindrikoetara pasata, ebazten oso erraza den aldagai bakarreko integral bat lortu da.

Adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Integral bikoitza laukizuzen batean[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Demafun aldagai anitzeko $f$ funtzioaren integrala kalkulatu nahi dugula A eskualde batean:

A=\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ 11\leq x\leq 14\ ;\ 7\leq y\leq 10\right\}{\mbox{ and }}f(x,y)=x^{2}+4y\,

Honako integrala kalkulatuko dugu.

\int _{7}^{10}\int _{11}^{14}(x^{2}+4y)\,dx\,dy

Lehenik, barneko integrala egiten da, x-rekiko integratuz eta $y$ konstante moduan hartuz, ez baita integrazio-aldagaia. Integral horren emaitza soilik y-ren mendekoa den funtzio bat da.

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\left(x^{2}+4y\right)\,dx&=\left[{\frac {1}{3}}x^{3}+4yx\right]_{x=11}^{x=14}\\&={\frac {1}{3}}(14)^{3}+4y(14)-{\frac {1}{3}}(11)^{3}-4y(11)\\&=471+12y\end{aligned}}

Emaitza hori, ondoren, $y$ -rekiko integratzen da.

{\begin{aligned}\int _{7}^{10}(471+12y)\ dy&={\Big [}471y+6y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\\&=471(10)+6(10)^{2}-471(7)-6(7)^{2}\\&=1719\end{aligned}}

Funtzioaren balio absolutuaren integral bikoitza finitua den kasuetan, integrazio-ordena trukagarria da, hau da, lehenengo x-rekiko integratzeak edo lehenengo y-rekiko egiteak emaitza bera sortzen du (Fubiniren teorema). Adibidez, aurreko kalkulua alderantzizko ordenean eginez gero emaitza bera lortzen da:

{\begin{aligned}\int _{11}^{14}\int _{7}^{10}\,\left(x^{2}+4y\right)\,dy\,dx&=\int _{11}^{14}{\Big [}x^{2}y+2y^{2}{\Big ]}_{y=7}^{y=10}\,dx\\&=\int _{11}^{14}\,(3x^{2}+102)\,dx\\&={\Big [}x^{3}+102x{\Big ]}_{x=11}^{x=14}\\&=1719.\end{aligned}}

Integral bikoitza eremu normal batean[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adibidea: integral bikoitza D eremu normalean

Izan bedi honako eremua (ikus grafikoa):

D=\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\ :\ x\geq 0,y\leq 1,y\geq x^{2}\}

Kalkula dezagun honako integrala:

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy.

D integrazio-eremua normala da x eta y ardatzekiko. Integrala kalkulatzeko, D eremua zehazten duten funtzioak eta funtzio horiek definitzen dituzten tarteak aurkitu behar dira. Kasu honetan, bi funtzioak honakoak dira:

\alpha (x)=x^{2}{\text{ eta }}\beta (x)=1

Tarteak kalkulatzeko, funtzioen eta x = 0 ardatzaren arteko ebaki-puntuak kalkulatu behar dira. Tartea [a, b] = [0, 1] da (x ardatzarekiko normaltasuna aukeratu da, hobeto ulertzeko).

Integrala horrela geratzen da:

\iint _{D}(x+y)\,dx\,dy=\int _{0}^{1}dx\int _{x^{2}}^{1}(x+y)\,dy=\int _{0}^{1}dx\ \left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}

(hasteko, bigarren integrala kalkulatzen da, x konstante moduan hartuz). Gainerako eragiketak egiteko, integraziorako oinarrizko teknikak aplikatzen dira:

\int _{0}^{1}\left[xy+{\frac {y^{2}}{2}}\right]_{x^{2}}^{1}\,dx=\int _{0}^{1}\left(x+{\frac {1}{2}}-x^{3}-{\frac {x^{4}}{2}}\right)dx=\cdots ={\frac {13}{20}}.

Normaltasuna y ardatzarekiko aukeratuz gero, integrala horrela geratzen da:

\int _{0}^{1}dy\int _{0}^{\sqrt {y}}(x+y)\,dx.

eta balio bera lortzen da.

Bolumenaren kalkulua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Aipatutako metodoak erabiliz, hainbat solido arrunten bolumenak kalkula daitezke.

Zilindroa: R erradioko oinarri zirkularra duen h altuerako zilindro baten bolumena kalkulatzeko, $h$ funtzio konstantea integra daiteke integrazio-eremu moduan oinarri zirkularra hartuz koordenatu polarrak erabiliz.

\mathrm {Bolumena} =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \,\int _{0}^{R}h\rho \,d\rho =2\pi h\left[{\frac {\rho ^{2}}{2}}\right]_{0}^{R}=\pi R^{2}h

Hori bat dator prisma baten bolumena kalkulatzeko formularekin:

\mathrm {Bolumena} ={\text{oinarriaren azalera}}\times {\text{altuera}}.

Esfera: R erradioa duen esfera baten bolumena kalkulatzeko, 1 funtzio konstantearen integrala kalkula daiteke integrazio-eremu moduan esfera hartuz eta koordenatu esferikoak erabiliz.

{\begin{aligned}{\text{Bolumena}}&=\iiint _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\\&=\iiint _{D}1\,dV\\&=\iiint _{S}\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\theta \,d\varphi \\&=\int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi \,d\varphi \int _{0}^{R}\rho ^{2}\,d\rho \\&=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \varphi {\frac {R^{3}}{3}}\,d\varphi \\&={\frac {2}{3}}\pi R^{3}{\Big [}-\cos \varphi {\Big ]}_{0}^{\pi }={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}

Tetraedroa (piramide triangeluarra edo 3-simplex-a): goi-erpina jatorrian eta albo-ertzak x, y eta z ardatzetan ℓ luzerakoak dituen tetraedroaren bolumena kalkula daiteke, 1 funtzio konstantea integratuz eta integrazio-eremu moduan tetraedroa hartuz.

{\begin{aligned}{\text{Bolumena}}&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}\,dy\int _{0}^{\ell -x-y}\,dz\\&=\int _{0}^{\ell }dx\int _{0}^{\ell -x}(\ell -x-y)\,dy\\&=\int _{0}^{\ell }\left(l^{2}-2\ell x+x^{2}-{\frac {(\ell -x)^{2}}{2}}\right)\,dx\\&=\ell ^{3}-\ell \ell ^{2}+{\frac {\ell ^{3}}{3}}-\left[{\frac {\ell ^{2}x}{2}}-{\frac {\ell x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}\right]_{0}^{\ell }\\&={\frac {\ell ^{3}}{3}}-{\frac {\ell ^{3}}{6}}={\frac {\ell ^{3}}{6}}\end{aligned}}

Hori bat dator piramide baten bolumena kalkulatzeko formularekin:

\mathrm {Bolumena} ={\frac {1}{3}}\times {\text{oinarriaren azalera}}\times {\text{altuera}}={\frac {1}{3}}\times {\frac {\ell ^{2}}{2}}\times \ell ={\frac {\ell ^{3}}{6}}.

Integral anizkoitz inpropioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Integrazio-eremua bornegabea denean Domeinuaren mugatik hurbil mugatuta edo mugatuta ez dauden domeinu edo funtzioen kasuan, integral bikoitz desegokia edo integral hirukoitz desegokia sartu behar dugu.