Trigonometria

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu
θ angeluaren funtzio trigonometriko guztiak geometrikoki 0an zentratutako zirkuluarekin eraiki daitezke

Trigonometria (grezieraz τριγωνο, <trigōno> triangelu + μετρον <metron> neurtu), triangeluez arduratzen den matematika ataletako bat da.

Angeluak neurtzeko unitateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Angeluak neurtzeko unitate bi daude: batetik radianak zati segundo( rad/s) eta bestetik, graduak minutuak eta segundoak( º /' /)

Arrazoi trigonometrikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Trigono b00.svg

ABC triangelu angeluzuzena da. A erpinean dagoen  \alpha \, angeluari dagozkion sinu, kosinu eta tangente arrazoi trigonometrikoak azaltzeko balio du.

  • Sinua (laburtuta sin) aurkako katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

   \operatorname {sin} \, \alpha =
   \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}} =
   \frac{a}{c}
  • Kosinua (laburtuta cos) ondoko katetoaren eta hipotenusaren arteko arrazoia da.

   \cos\alpha =
   \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}} =
   \frac{b}{c}
  • Tangentea (laburtuta tan edo tg) aurkako katetoaren eta ondoko katetoaren arteko arrazoia da.

   \operatorname {tg} \, \alpha =
   \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}} =
   \frac{a}{b}

Balioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

RadiánCircunferencia.svg SexaCircunferencia.svg
Zirkunferentzia radianetan. Zirkunferentzia Gradu hirurogeitarretan.


Radian Gradu hirurogeitar sin cos tan cosec sec cotg
 0  \;  0^o \, \frac{\sqrt{0}}{2}=0 \frac{\sqrt{4}}{2}=1 0 \, \not{\exists}  \,\! 1 \, \not{\exists}  \,\!
 \frac{1}{6}\pi 30^o \, \frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{2\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}
 \frac{1}{4}\pi 45^o \, \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1 \, \sqrt{2} \sqrt{2} 1 \,
 \frac{1}{3} \pi 60^o \, \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2} \sqrt{3} \frac{2\sqrt{3}}{3} 2 \, \frac{\sqrt{3}}{3}
 \frac{1}{2} \pi 90^o \, \frac{\sqrt{4}}{2}=1 \frac{\sqrt{0}}{2}=0 \not{\exists}  \,\! 1 \, \not{\exists}  \,\! 0 \,

Koadranteak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

koadranteetan ere badaude angeluak, eta sinua, kosinua eta tangentea aldatzen dira segun zein koadrantetan den.

Eragiketa trigonometrikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Pitagorasen teorema[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Trigono a00.svg

Triangelu zuzenak honako funtzioa betetzen du:

a^2 + b^2 = c^2 \,

aurreko ekuaziotik hau ateratzen da:

 \operatorname {sin} \alpha  =  \frac {a}{c}
 \cos \alpha  =  \frac {b}{c}
 c = 1 \,

orduan α angelurako, Pitagorasen teorema betetzen da:

\operatorname {sin}^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \,

Bi angeluen batuketa eta kenketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\operatorname {sin}(\alpha + \beta) = \operatorname {sin} \alpha \cos \beta + \cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,


\sin (\alpha - \beta) = \operatorname {sin} \alpha \cos \beta - \cos \alpha \operatorname {sin} \beta \,


\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,


\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \operatorname {sin} \alpha \operatorname {sin} \beta \,


\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}


\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta}

Bi angeluen sinu eta kosinuen batuketa eta kenketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\operatorname {sin} \alpha + \operatorname {sin} \beta = 2\ \operatorname {sin} \left( \frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha - \beta}{2} \right)


\operatorname {sin} \alpha - \operatorname {sin} \beta = 2\ \operatorname {sin} \left( \frac{\alpha - \beta}{2}\right)\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)


\cos \alpha + \cos \beta = 2\cos \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right)\cos  \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)


\cos \alpha - \cos \beta = -2\ \operatorname {sin} \left(\frac{\alpha + \beta}{2} \right) \operatorname {sin} \left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)

Bi angeluen sinu eta kosinuen biderketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) }{ 2}
\sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta) }{ 2}
\sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) }{ 2}
\cos(\alpha) \sin(\beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) }{ 2}

Angelu bikoitza[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\operatorname {sin} 2\alpha = 2 \operatorname {sin}\alpha \cdot \cos \alpha \,\!


\cos 2\alpha = \cos^2  \alpha - \operatorname {sin}^2 \alpha \,\!


\cos 2\alpha = 1 - 2 \operatorname {sin}^2 \alpha \,\!


\cos 2\alpha = -1 + 2 \cos^2 \alpha \,\!


\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}

Angeluerdia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

\operatorname {sin}\left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}} \,\!


\cos \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}} \,\!


\tan \left(\frac{\alpha}{2} \right) = \sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}


Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Trigonometria Aldatu lotura Wikidatan
Matematika Artikulu hau matematikari buruzko zirriborroa da. Wikipedia lagun dezakezu edukia osatuz.