Lankide:Naiaro/Proba orria

Matematikan, Laplaceren transformazioa, Pierre-Simon Laplace (1749-1827) aurkitzaile frantsesagatik izendatua, aldagai errealeko funtzio bat (normalean $t$, denbora eremuan) $s$ aldagai konplexuko funtzio batera bihurtzen duen transformazio integrala da (maiztasun eremuan, $s$-eremu notazioz ezagutua). Transformazioak hainbat erabilera ditu zientzia eta ingeniaritzako esparruetan, ekuazio diferentzialak ebazteko tresna baita. Partikularki, ekuazio diferentzial arruntak ekuazio aljebraiko bihurtzen ditu eta konboluzioa, biderketa.$f$ funtzio egokietarako, Laplaceren transformazioa hurrengo integrala da:

$${\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$$

Historia

Pierre-Simon Laplace astronomo eta matematikariarengatik izendatua izan zen Laplaceren transformazioa, hark probabilitate teoriarako antzeko transformazio bat erabili baitzuen. Laplacek funtzio sortzaileen erabilerari buruz luze idatzi zuen Essai philosophique sur les probabilités (1814) liburuan, zeinen ondorioa Laplaceren transformazioaren forma integrala izan zen.

Gaur egun z-transformazio deitzen denaren antzekoa zen Laplaceren funtzio sortzaileen erabilera, baina Laplacek ez zien kasu handirik egin aldagai jarraituei, Niels Henrik Abelek ikertu zuena. Teoria hori geroago garatu zuten Mathias Lerch, Oliver Heaviside, eta Thomas Bromwichek XIX. eta XX. mendeetan.

Laplaceren transformazioaren gaur egungo erabilera hedatuena (nagusiki ingeniaritzan) Bigarren Mundu Gerran sortu zen, eta lehenagoko Heavisideren kalkulu operazionala ordezkatu zen. Laplaceren transformazioaren abantailak Gustav Doestchek nabarmenduak zituen, eta badirudi beronek ezarri zuela Laplaceren transformazio izena.

1744tik aurrera, Leonhard Eulerrek era honetako integralak ikertu zituen:

$$z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ eta }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx,$$

ekuazio diferentzialen ebazpen gisa lortu nahian; baina gai hori asko garatu gabe utzi zuen. Eulerren mireslea zen Joseph Louis Lagrange, bere probabilitatearen dentsitate-funtzioei buruzko lanean, ondorengo erako adierazpenak ikertzen aritu zen:

$$\int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,$$

Zenbait historialariren ustez, aurreko adierazpen horiek Laplaceren transformazioaren teoriaren barruan kokatu beharko lirateke.

Era honetako integralek Laplaceren arreta piztu zuten 1782an, eta integralak ekuazioen soluziotzat hartzen hasi zen. Alabaina, 1785an, integral erako soluzioak bilatu beharrean, aurrerako pausu bat eman eta transformazioak erabiltzen hasi zen geroago erabiliko zen eran. Horrela, ondoko era honetako integralak erabili zituen (Mellinen transformazioaren antzeko zirenak):

$$\int x^{s}\varphi (x)\,dx,$$

Integral horiek erabili zituen ekuazio diferentzial oso bat transformatzeko, eta horrela transformazioaren soluzio bat bilatzeko. Orduan, hurrengo urratsa egin duen Laplacek: Laplaceren transformazioa era berean erabiltzen hasi zen eta, zenbait propietate deribatuz, transformazioak izan zezakeen potentzialaz ohartu zen.

Laplacek onartu zuen halaber difusio ekuazioa ebazteko Joseph Fourierrek erabilitako Fourierren serieen metodoa $s$ eremuko esparru mugatu batean bakarrik aplikatu ahal zela; soluzioak periodikoak baitziren. 1809an, Laplacek bere transformazioa erabili zuen mugarik ez zuten soluzioak aurkitzeko.

Propietateak

Laplaceren transformazioak hainbat propietate ditu sistema dinamiko linealak analizatzeko. Abantaila handiena da, $s$-ren bidez deribatua biderketa eta integrazioa zatiketa bihurtzen direla.

Pierre-Simon, marquis de Laplace

Azken propietate honengatik, Laplaceren $s$ aldagaia, aldagai eragile bezala ezagutzen da $L$ eremuan: bai deribatu aldagaia ($s^{-1}$-erako), bai integrazio aldagaia. Transformazioak, ekuazio integralak eta ekuazio diferentzialak ekuazio polinomikoetara eraldatu ahal ditu, ebazteko askoz errazagoak direnak. Behin ekuazioak ebatzita, Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa erabiliz jatorrizko eremura itzuli daiteke.

Izan bitez $f(t)$ eta $g(t)$ funtzioak, eta hauen Laplaceren transformazioak $F(s)$ eta $G(s)$:

$${\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s),\end{aligned}}$$

ondorengo taula aldebakarreko Laplaceren transformazioaren propietateen zerrenda bat da:

Aldebakarreko Laplaceren transformazioaren propietateak
Propietatea	Denbora eremua	s eremua	Iruzkin
Linealtasuna	$af(t)+bg(t)\$	$aF(s)+bG(s)\$	Frogatu daiteke integrazioko oinarrizko arauekin.
Maiztasun-eremu deribatua	$tf(t)\$	$-F'(s)\$	$F$-ren lehenengo deribatua $s$-rekiko.
Maiztasun-eremu integrazio orokorra	$t^{n}f(t)\$	$(-1)^{n}F^{(n)}(s)\$	Modu orokorragoa, $F(s)$ funtzioaren n-garren deribatua.
Deribatua	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0^{+})\$	Izan bedi $f$ funtzio diferentziagarria eta bere deribatua esponentzial erakoa. Hau zatikako integrazioa erabiliz lor daiteke.
Bigarren deribatua	$f''(t)\$	${\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+})\ }$	Izan bedi $f$ birritan diferentziagarria eta bere bigarren deribatua esponentzial erakoa. $f'(t)$-ri Deribatuaren propietatea aplikatuz garatzen da.
Deribatu orokorra	$f^{(n)}(t)\$	$s^{n}F(s)-\sum _{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+})\$	Izan bedi $f$ n aldiz diferentziagarria eta bere n-garren deribatua esponentzial erakoa. Indukzio matematikoz garatzen da.
Maiztasun-eremu integrazioa	${\frac {1}{t}}f(t)\$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \$	Honako hau diferentziazio-maiztasunaren izaera eta baldintzazko konbergentziatik ondoriozta dezakegu.
Denbora-eremu integrazioa	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u*f)(t)$	${1 \over s}F(s)$	$u(t)$ Heaviside maila funtzioa da eta $(u\times f)(t)$ $u(t)$ eta $f(t)$-ren konboluzioa.
Maiztasun desplazamendua	$e^{at}f(t)\$	$F(s-a)\$
Denbora desplazamendua	$f(t-a)u(t-a)\$	$e^{-as}F(s)\$	$a>0\$, u(t) Heaviside maila funtzioa da.
Denbora eskala	$f(at)$	${\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)$	$a>0\$
Biderketa	$f(t)g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	Integrazioa $Re(\sigma )=c$ lerro bertikalean zehar egiten da, $F$ konbergentzia eskualdean erabat kokatuta.
Konboluzioa	$(f*g)(t)=\int _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$
Konboluzio zirkularra	$(f*g)(t)=\int _{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	$T$ periodoa duten funtzio periodikoetan.
Konplexu konjokatua	$f^{*}(t)$	$F^{*}(s^{*})$
Korrelazio gurutzatua	$(f\star g)(t)=\int _{0}^{\infty }f(\tau )^{*}\,g(t+\tau )\,d\tau$	$F^{*}(-s^{*})\cdot G(s)$
Funtzio periodikoa	$f(t)$	${1 \over 1-e^{-Ts}}\int _{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt$	t ≥ 0 guztietarako, $f(t)=f(t+T)$ betetzen duen T periodoko funtzio periodikoa da $f(t)$. Hau denbora desplazamenduaren propietatearen eta serie geometrikoen emaitza da.
Batuketa periodikoa	$\sum _{n=0}^{\infty }f(t-Tn)u(t-Tn)$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)u(t-Tn)$	${\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)$${\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)$