Biderketa

Biderketa trukakorra da: 12 elementu 4 elementuko 3 lerrotan edo 3 elementuko 4 lerrotan bil daitezke, hau da, 3 × 4 = 12 = 4 × 3.

Matematikan, biderketa edo biderkaketa bi zenbakiren arteko eragiketa aritmetiko bat da, × ikurrez adierazi ohi dena. Biderketaren emaitza kalkulatzeko bigarren zenbakia lehenengo zenbakiak adierazten duen adina aldiz batu behar da. Adibidez:

$4\times 3=3+3+3+3=12\,$

Biderketak hartzen dituen zenbakiak biderkagaiak edo faktoreak direla esaten da. Biderketaren emaitzari biderkadura deritzo.

Arimetikan oinarrizko lau eragiketetako bat da, batuketa, kenketa eta zatiketarekin batera, eta azken horren alderantzizko eragiketa da. Horrek esan nahi du biderketa guztietarako zatiketa bat dagoela; adibidez, « 9 bider 3 bider 27» zatiketa baliokidea «27 zati 3 bider 9» edo «27 zati 9 bider 3» da.

Biderketa ikurrak

Biderketa gurutze batez edo puntu batez adieraz daiteke:

$4\times 3=4\cdot 3=12\,$

Ez dira nahastu behar idazteko orduan x letra eta × biderketa ikurra.

Biderkagaiak zenbakiak ez direnean biderkagaiak elkarren ondoan jarriz besterik gabe gomendatzen da biderketa adieraztea:

$4x=4\cdot x=4\times x\,$

$xy=x\cdot y=x\times y\,$

$5.33\times 6.34\,$ ez da, ordea, $5.33\ 6.34\,$ idatzi behar, bi biderkagaiak zenbakiak direlako.

Informatikan, * izartxo ikurra erabili ohi da biderketa adierazteko, baina bestelako ikurrak erabili ezin direnerako bakarrik gomendatzen da.

$x_{1},\ x_{2},\ldots ,x_{n}\,$ zenbaki batzuen biderketa biderkari delako eragilearen bitartez edo besterik gabe puntuak erabiliz:

$\Pi _{i=1}^{i=n}x_{i}=x_{1}\times x_{2}\times \cdots \times x_{n}$

Kalkulua

Biderketa-taula

Biderketarako algoritmoek 0tik 10erako zenbakien arteko biderketak buruz jakitea eskatzen dute gehienetan. Oinarrizko biderketa hauek ikasteko erabiltzen da biderketa-taula:

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

8 × 7 = 56, 5 hatzamar atera (5 hamarreko) eta atera gabeko hatzamarrak bidertuz 2 × 3 = 6 (6 bateko) suertatu delako.

Biderketa-taulako emaitzak buruz jakitea zaila da, batez ere biderkatu beharreko zenbakiak 6-9 tartean badaude. Kasu hauetarako eskuko hatzak erabiliz azkar egin daiteke kalkulua.

Adibidez, 8 × 7 egin behar bada, ezkerreko eskutik 5etik hasita 8 arteko atzamarrak ateratzen dira, 3 guztira. Eskubiko eskutik 5etik hasita, 7 arteko atzamarrak ateratzen dira, 2 guztira. Jarraian, ateratako atzamar kopuruak batu (3+2=5) eta atera gabekoak biderkatu egiten dira (2×3=6) eta bi emaitzak batera jarriz lortzen da biderkadura (8 × 7 = 56).

Kalkulu metodo honen azalpena biderkaketaren propietate banakorra erabiliz egin daiteke. a eta b bi eskuetan ateratako hatzak eta x eta y atera gabeko hatzak badira hurrenez hurren:

(10 - x)(10 - y) = 10(10 - x) - (10 - x) y = 10(10 - x ) - 10y + xy = 10 (10 - x - y) + xy = 10(a + b) + xy.

11-15 bitarteko zenbakiak bidertzeko antzeko metodo bat erabil daiteke. Orduan, ateratako hatzak bakarrik erabiltzen dira emaitza emateko. Ateratako hatz kopuruen baturak 100era gehitu beharreko hamarkada kopurua adierazten du. Ateratako hatz kopuruen biderketak berriz gehitu beharreko unitateen kopurua adierazten du. Horrela 11 × 12 = 132 egiteko, 1 eta 2 hatz ateratzen da hurrenez hurren. 100era gehitu beharreko hamarkada kopurua 1+2=3 da. Gehitu beharrkeo unitateak 1 c2 = 2 dira. Horrela:

11 × 12 = 100 + (1+2) × 10 + 1×2= 132.

Biderketa-metodoak

Bi biderkagaiak bata bestearen azpian jartzen dira, unitateen, hamarrekoen, ... zutabeak parean jarriz. Adibidez, 4103 × 254 egin behar bada,

${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline \end{array}}$

Biderketa-taula erabiliz, azpiko biderkagaiaren azken zifra (4) hartu eta lehenengo biderkagaiaren zifra guztiekin bidertzen da, hamarrekoak hurrengo zutabera eramanez (4 × 3 = 12, hamarreko bat eraman) batugai moduan [(4 × 0) + 1 = 1), 1 eramana izanik, eta horrela lehenengo biderkagaiko zifra guztiekin bukatu arte(4103 × 4 = 16412):

${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\\end{array}}$

Bigarren biderkagaiko hurrengo zifrarekin (59) berdina egiten da, emaitzak aurreko emaitzen azpian jarriz, baina aldi berean emaitzak zutabe bat ezker aldera eramanez (4103 × 5 = 20515)

${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\&2&0&5&1&5&\\\end{array}}$

Eta berdina hurrengo zifrarekin (4103 × 2 = 8206):

${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\&2&0&5&1&5&\\&8&2&0&6&&\\\end{array}}$

Azkenean, hiru lerroen batuketa egiten da, hutsuneak 0 moduan hartuz:

${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\&2&0&5&1&5&\\&8&2&0&6&&\\\hline 1&0&4&2&1&6&2\\\end{array}}$

Eta beraz, 4103 × 254 = 1042162.

Konputazioa

Tximino hezitua - 1918an datatutako lata jostailua, biderketa kalkulatzaile gisa erabiltzen da. Adibidez: ezarri tximinoaren oinak 4 eta 9an, eta lortu -36- produktua bere eskuetan.

Arkatza eta papera erabiliz, zenbakiak biderkatzeko ohiko metodo askok biderketa-taula behar dute zenbaki txikiko (normalean, 0tik 9ra bitarteko edozein bi zenbaki) produktuak buruz ikasitako edo kontsultatutakoak. Hala ere, metodo batek, nekazarien biderketa algoritmoak ez du egiten. Beheko adibidean, biderketa luzea (algoritmo estandarra, eskola-mailako biderketa) ilustratzen da:

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 ( =      23,958,233 ×     0)
     71874699  ( =      23,958,233 ×    30)
   191665864   ( =      23,958,233 ×   800)
+ 119791165    ( =      23,958,233 × 5,000)
———————————————
  139676498390 ( = 139,676,498,390 )

Alemania bezalako herrialde batzuetan, goiko biderketa antzera irudikatzen da, baina jatorrizko produktua horizontalean mantenduz eta kalkulua biderkatzailearen lehen zifratik hasita:

23958233 · 5830

———————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000 
———————————————
   139676498390

Zenbakiak zenbaki hamartar pare bat baino gehiagotara eskuz biderkatzea aspergarria eta akatsak izaten ditu. Logaritmo arruntak halako kalkuluak errazteko asmatu ziren, logaritmoak gehitzea biderketaren baliokide baita. Kalkulu-arauari esker, zenbakiak bizkor biderkatzea ahalbidetu zuen hiru zehaztasun tokitara. XX. mendearen hasieran, kalkulagailu mekanikoek, Marchant adibidez, 10 zifrako zenbakien biderketa automatizatu zuten. Ordenagailu eta kalkulagailu elektroniko modernoek eskuz biderkatzeko beharra asko murriztu dute.

Algoritmo historikoak

Biderkatzeko metodoak antzinako egiptoar, greziar, indiar eta txinatar zibilizazioen idatzietan dokumentatuta daude.

Ishango hezurra, K.a. 18.000 eta 20.000 urte ingurukoa, Erdialdeko Afrikako Goi Paleolito aroan, biderketaren ezagutza iradoki dezake, baina hori espekulatiboa da.

Egiptiarrak

Zenbaki osoak eta zatikiak biderkatzeko egiptoar metodoa, Rhind Matematika Papiroan dokumentatuta dagoena, batuketak eta bikoizketak bitartez egiten ziren. Adibidez, 13 eta 21en produktua aurkitzeko, 21 hiru aldiz bikoiztu behar zen: 2 × 21 = 42, 4 × 21 = 2 × 42 = 84, 8 × 21 = 2 × 84 = 168 lortuz. Produktu osoa bikoizketaren sekuentzian aurkitutako termino egokiak gehituz aurki liteke:

13 × 21 = (1 + 4 + 8) × 21 = (1 × 21) + (4 × 21) + (8 × 21) = 21 + 84 + 168 = 273.

Babilonioarra

Babiloniarrek posizio-zenbaki-sistema sexagesimala erabiltzen zuten, egungo sistema hamartarraren antzekoa. Beraz, babiloniar biderketa hamartar modernoaren biderketa oso antzekoa zen. 60 × 60 produktu ezberdinak gogoratzeko zailtasun erlatiboa zela eta, Babiloniako matematikariek biderketa-taulak erabili zituzten. Taula horiek n zenbaki nagusi jakin baten lehen hogei multiploen zerrendaz osatuta zeuden: n, 2n, ..., 20n eta 10n, 30n, 40n, eta 50n-ren multiploaz jarraituz. Ondoren, edozein produktu sexagesimal kalkulatzeko, demagun 53n, taulatik kalkulatutako 50n eta 3n batu besterik ez da behar.

Txinatarra

Zhoubi Suanjing testu matematikoan, K.a. 300 baino lehenagokoa, eta Arte Matematikoari buruzko Bederatzi Kapituluetan, biderketaren kalkuluak hitzekin idatzi ziren, nahiz eta lehen txinatar matematikariek leku balioen batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa inplikatzen zituen Rod kalkulua erabili. Txinatarrek biderketa-taula hamartar bat erabiltzen zuten jada Erresuma Borrokalarien gerraren garaiaren amaieran.

Metodo modernoak

Hindu-arabiar zenbaki-sisteman oinarritutako biderketa metodo modernoa Brahmaguptak deskribatu zuen lehen aldiz. Brahmaguptak batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa arauak eman zituen. Henry Burchard Finek, orduan Princeton Unibertsitateko matematika irakasleak, honako hau idatzi zuen:

«

Indiarrak sistema hamartar posizioaren beraren ez ezik, sistemarekin oinarrizko kontakizunean parte hartzen duten prozesu gehienen asmatzaileak dira. Batuketak eta kenketak, gaur egun egiten diren bezala, nahiko egiten zuten; biderketa modu askotan egin zuten, gurea haien artean, baina zatiketa astun egin zuten.

»

Leku-balioaren algoritmo aritmetiko hamartar horiek, IX. mendearen hasieran, Al Khwarizmi-k sartu zituen herrialde arabiarretan, eta, mendebaldeko munduan, Fibonaccik, XIII. mendean.

Lauki-sare metodoa

Lauki-sare metodoaren biderketa edo kutxa metodoa Ingalaterrako eta Galesko lehen hezkuntzako eskoletan eta Estatu Batuetako zenbait eremutan erabiltzen da, zifra anitzeko biderketak nola funtzionatzen duen ulertzen laguntzeko. 34 zenbakia 13agatik biderkatzeko adibide bat zenbakiak sare batean jartzea litzateke:

×	30	4
5	150	20
10	300	40
3	90	12

eta gero sarrerak gehitu.

Algoritmo informatikoak

n zifrako bi zenbaki biderkatzeko metodo klasikoak n2 zifrako biderketak behar ditu. Zenbaki handiak bidertzerakoan, konputazio-denbora nabarmen murrizten duten biderkatze algoritmoak diseinatu dira. Fourier-en transformatu diskretuan oinarritutako metodoek konplexutasun konputazionala O(n log n log log n)-ra murrizten dute. 2016an, log n faktorea askoz motelago handitzen den funtzio batekin ordezkatu zen, nahiz eta oraindik konstantea ez den. 2019ko martxoan, David Harvey-k eta Joris van der Hoeven-ek osoko biderkatze-algoritmo bat aurkezten zuen lan bat aurkeztu zuten: $O(n\log n).$. Algoritmoa, Fourier transformatu azkarrean oinarritua ere, asintotikoki optimoa dela uste da. Algoritmoa ia ez da erabilgarria, oso azkarra bihurtzen baita soilik zenbaki oso handiak biderkatzeko ( 2¹⁷²⁹¹²bit baino gehiago izatean baino ez).

Propietateak

Zenbaki arrunt, oso, zatiki eta zenbaki erreal eta konplexuetarako, biderketak ezaugarri jakin batzuk ditu:

Sarrailaren propietatea

Bi zenbaki arrunt edo gehiagoren biderketak beste zenbaki arrunt bat ematen digu, adibidez: 2*11=22

Propietatea konmutatiboa

Berdin dio zein orden erabili, hau da:

$x\cdot y=y\cdot x$

Propietate distributiboa

Zenbaki bat batuketa batekin biderkatzea zenbaki horrek batukari bakoitzarekin egiten dituen biderketa guztien batura da.

$x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$

Elementu neutroa

Identitate biderkatzailea 1 da; zenbaki guztien biderkadura bider 1, norbera da.

$x\cdot 1=0$

0 elementua

Zeroz biderkatutako edozein zenbakik zero produktua ematen du

$x\cdot 0=0$

$0\cdot x=0$

Geometriarekiko lotura

Geometriaren ikuspegitik, 2 balioen arteko biderketak adieraz daitekeen eremu bat sortzen du. Era berean, 3 baliotako biderkadurak bolumen adierazgarria sortzen du.

Ikus, gainera

• Biderkadura.
• Biderkagai.
• Biderkatzeko taula.
• Trukakortasuna.

Kanpo estekak

• Datuak: Q40276
• Multimedia: Multiplication