Wikipedia, Entziklopedia askea
Zirkunferentzia batean inskribatutako pentagono erregularra: C = zirkunferentzia zirkunskribatuaren zentroa V = poligonoaren erpin bat L = poligonoaren alde bat d = poligonoaren diagonal bat r = zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioa a = poligonoaren apotema
Geometrian , poligono bat erregularra da, aldeberdina (alde guztiak luzera berekoak dira) eta angeluberdina (angelu guztiak neurri berekoak dira) bada.
Poligono erregularrak bi motatakoak izan daitezke: ganbilak eta ahurrak (izar itxurakoak azken horiek, izar-poligono izenekoak).
Hiru eta lau aldeko poligono erregularrak triangelu aldeberdina eta karratua dira, hurrenez hurren; alde gehiagoko poligono erregularrak izendatzeko, erregular terminoa gehitzen da (pentagono erregularra, hexagono erregularra...).
Aldea (L ): poligonoa osatzen duten zuzenkietako bakoitza
Erpina (V ): poligono baten bi aldek elkar ebakitzen duten puntua
Zentroa (C ): erpinetatik distantziakidea den puntua
Erradioa (r ): poligonoaren zentroa eta erpin bat lotzen dituen zuzenkia
Apotema (a ): aldearekiko elkarzuta den eta poligonoaren zentroraino doan zuzenkia
Diagonala (d ): ondoz ondokoak ez diren bi erpin lotzen dituen zuzenkia
Perimetroa (P ): alde guztien luzeren batura
Aurreko bi propietateetatik, eta kontuan hartuta aldeak berdinak direla, ondoriozta daiteke poligono erregular guztiek zirkunferentzia inskribatu bat daukatela, alde guztien erdiguneak barnetik ukitzen dituena. Hortaz, poligono erregularrak poligono ukitzaileak dira.
Poligono erregularretan, angelu zentralak eta kanpo-angeluak berdinak dira.
α = angelu zentrala, β = barne-angelua, γ = kanpo-angelua
Poligono erregular baten angelu zentralak (
α
{\displaystyle \alpha \,}
) kongruenteak dira, eta haien neurria honela kalkula daiteke, poligonoaren alde kopuruaren (n ) arabera:
α
=
360
∘
n
{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}
(gradu hirurogeitarretan )
α
=
2
π
n
{\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;}
(radianetan )
Poligono erregular baten barne-angelua (
β
{\displaystyle \beta \,}
) honela kalkula daiteke:
β
=
180
∘
⋅
(
n
−
2
)
n
{\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}
(gradu hirurogeitarretan)
β
=
π
⋅
(
n
−
2
)
n
{\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;}
(radianetan)
Poligono erregular baten barne-angeluen batura (
∑
β
{\displaystyle \sum \beta \;}
), beraz:
∑
β
=
180
∘
⋅
(
n
−
2
)
{\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;}
(gradu hirurogeitarretan)
∑
β
=
π
⋅
(
n
−
2
)
{\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;}
(radianetan)
Poligono erregular baten kanpo-angelua (
γ
{\displaystyle \gamma \;}
) honela kalkula daiteke:
γ
=
360
∘
n
{\displaystyle \gamma ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;}
(gradu hirurogeitarretan)
γ
=
2
π
n
{\displaystyle \gamma ={\frac {2\pi }{n}}\;}
(radianetan)
Poligono erregular baten kanpo-angeluen batura (
∑
γ
{\displaystyle \sum \gamma \,}
), beraz:
∑
γ
=
360
∘
{\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;}
(gradu hirurogeitarretan)
∑
γ
=
2
π
{\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;}
(radianetan)
Oharra : Poligono erregularrak zenbat eta alde gehiago izan, orduan eta zirkunferentzia baten antz handiagoa izango du.
Poligono erregular baten azalera kalkulatzeko, ezagunak ditugun elementuen arabera, hainbat formula daude:
A
=
P
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}
Froga
Poligonoaren aldea L triangeluaren oinarria da, eta a apotema triangeluaren garaiera; beraz, triangeluaren azalera,
A
h
{\displaystyle A_{h}}
, hau da:
A
h
=
L
⋅
a
2
{\displaystyle A_{h}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}
n aldeko poligonoak n triangelu ditu, eta guztizko azalera hau da:
A
=
L
⋅
a
2
⋅
n
=
L
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}
L aldearen luzera bider n (alde kopurua) perimetroa denez gero, formula hau dugu:
A
=
P
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}\;}
A
=
a
2
⋅
n
⋅
tan
(
π
n
)
{\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }
Froga
A
=
L
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\ }
eta
δ
=
π
n
{\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }
kontuan hartuta, angelu zentralaren erdia baita (radianetan).
L
=
2
⋅
a
⋅
tan
(
π
n
)
{\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
Aldea azalerarako formulan ordezkatuta:
A
=
(
2
⋅
a
⋅
tan
(
π
n
)
)
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right))\cdot n\cdot a}{2}}\ }
A
=
a
2
⋅
n
⋅
tan
(
π
n
)
{\displaystyle A=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\ }
A
=
n
r
2
sin
(
2
π
n
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}
Froga
Trigonometriako formulak erabiliz, hau ondoriozta daiteke:
L
=
2
r
sin
(
δ
)
{\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}
a
=
r
cos
(
δ
)
{\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}
non angelu zentrala hau den:
α
=
2
δ
=
2
π
n
{\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}
Poligonoaren azalera hau denez:
A
=
L
⋅
n
⋅
a
2
{\displaystyle A={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}
eta lehen kalkulatutako aldea eta apotemaren balioak ordezkatuz, hau dugu:
A
=
2
r
sin
(
δ
)
⋅
n
⋅
r
cos
(
δ
)
2
{\displaystyle A={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}
A
=
n
r
2
⋅
2
sin
(
δ
)
cos
(
δ
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}
Trigonometrian, ezaguna da berdintza hau:
2
sin
(
δ
)
cos
(
δ
)
=
sin
(
2
δ
)
{\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}
A
=
n
r
2
sin
(
α
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}
A
=
n
r
2
sin
(
2
π
n
)
2
{\displaystyle A={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}
A
=
n
⋅
L
2
4
⋅
tan
(
π
2
(
n
−
2
)
n
)
{\displaystyle A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}
Froga
Poligonoaren azalera hau denez:
A
=
n
⋅
L
⋅
a
2
{\displaystyle A=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}\;}
Erabil dezagun
φ
{\displaystyle \varphi }
sinboloa "L " aldearen eta "r " erradioaren arteko angelua izendatzeko:
φ
=
π
−
α
2
=
π
−
2
π
n
2
=
π
2
(
n
−
2
)
n
{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}{\frac {(n-2)}{n}}\;}
Definizioz, tangentearen balioa hau da (apotemaren eta aldearen arabera):
tan
φ
=
a
L
2
=
2
a
L
{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}
Apotema askatuz gero, hau dugu:
a
=
L
⋅
tan
φ
2
{\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}
Adierazpen hori azaleraren formulara eramanda:
A
=
n
⋅
L
⋅
a
2
a
=
L
⋅
tan
φ
2
φ
=
π
2
(
n
−
2
)
n
}
⟶
A
=
n
⋅
L
2
4
⋅
tan
(
π
2
(
n
−
2
)
n
)
{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad A=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}
Pentagono erregular bat eraikitzen
Oharra: alde kopuru oso handia duen poligonoaren kasuan, barne-angeluek lauak izatera joko dute, aldea nulua izatera eta azalera π zenbakiaren baliorantz[ 1] .
Alde, angelu eta erpin kopurua
Poligonoa
Irudia
Barne-angelua
Aldea[ 1]
Azalera[ 1]
Animazioa: eraikitze grafikoaerregela eta konpasa erabiliz
3
Triangelu aldeberdina
60°
√3≅1,732
3/4·√3≅1,299
Eraikitze zehatza
4
Karratua
90°
√2≅1,414
2
Eraikitze zehatza
5
Pentagonoa
108°
≅1,176
≅2,378
Eraikitze zehatza
6
Hexagonoa
120°
1
3/2·√3≅2598
Eraikitze zehatza
7
Heptagonoa
≅128,57°
≅0,868
≅2,736
Gutxi gorabeherako eraikitzea
8
Oktogonoa
135°
≅0,765
2·√2≅2,828
Eraikitze zehatza
9
Eneagonoa
140°
≅0,684
≅2,893
Gutxi gorabeherako eraikitzea
10
Dekagonoa
144°
≅0,618
≅2,939
Eraikitze zehatza
11
Endekagonoa
≅147,27°
≅0,563
≅2,974
Gutxi gorabeherako eraikitzea
12
Dodekagonoa
150°
≅0,518
3
Eraikitze zehatza
13
Tridekagonoa
≅152,31°
≅0,479
≅3,021
Gutxi gorabeherako eraikitzea
14
Tetradekagonoa
≅154,29°
≅0,445
≅3,037
Gutxi gorabeherako eraikitzea
15
Pentadekagonoa
156°
≅0,416
≅3,051
Eraikitze zehatza
16
Hexadekagonoa
157,5°
≅0,390
≅3,061
Eraikitze zehatza
17
Heptadekagonoa
≅158,82°
≅0,367
≅3,071
Eraikitze zehatza 34-gonoa , 51-gonoa 85-gonoa , 255-gonoa
18
Oktodekagonoa
160°
≅0,347
≅3,078
Gutxi gorabeherako eraikitzea
19
Eneadekagonoa
≅161,05°
≅0,329
≅3,085
Gutxi gorabeherako eraikitzea
20
Ikosagonoa
162°
≅0,313
≅3,090
Eraikitze zehatza
257
257-gonoa
≅178,6°
≅0,024
≅3,141
Eraikitze zehatza
65.537
65.537-gonoa
≅179,9945°
≅0,000096
≅3,1416
Eraikitze partziala
↑ a b c Zirkunferentzia zirkunskribatuaren erradioak 1 balio duenean.