Angelu (geometria)

Angelu motak ulertzeko bideoa..

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Geometria euklidearrean, angelu batek bi lerro zuzen puntu batean ebakidurarekin lotutako hainbat kontzeptu adieraz ditzake. Formalki, angelua bi zuzenerdi osatutako plano batean dagoen irudia da, angeluaren ertzak deiturikoak eta mutur komun bat partekatzen dutena, angeluaren erpina deitua. Oro har, angeluak bi lerro zuzen, zuzenerdi edo zuzenkiak elkartzen direnean ere sortzen dira, hala nola triangeluen eta beste poligono batzuen erpinetan. Angelua planoaren aldeek mugatutako eskualdetzat har daiteke. Angeluak bi planoren ebakiduratik edo bi kurben ebakiduratik ere sor daitezke, eta, kasu horretan, kurba bakoitzaren zuzenerdi tangenteak ebakidura puntuan definitzen dute angelua.

Angelu baten neurria zirkunferentzia-arkuaren anplitudea da, erpinean zentratua eta alboetatik mugatua. Bere neurria arkuaren luzeraren eta erradioaren arteko arrazoiaren multiplo bat da. Bere unitate naturala radiana da, baina gradu sexagesimala edo gradu ehundarra ere erabil daiteke.

Azalera lauetan (trigonometria laua) edo kurbetan (trigonometria esferikoa) definituta egon daitezke. Angelu diedroa bi planoerdien arteko eremua da, jatorri komuna zuzena duena. Angelu solidoa puntu jakin batetik ikusitako objektua hartzen duena da, bere itxurazko tamaina neurtuz.

Angelua angelu edo biraketa baten neurketa izendatzeko ere erabiltzen da. Neurri hori arku zirkular baten luzeraren eta bere erradioaren arteko erlazioa da. Angelu geometrikoaren kasuan, arkua erpinean zentratuta dago, eta alboek mugatzen dute. Biraketa baten kasuan, arkua biraketaren erdian zentratuta dago, eta beste edozein puntuk mugatzen du, eta bere irudia, errotazioak.

Angelu terminoa irudi geometriko mota horien tamaina, magnitudea edo kantitatea izendatzeko ere erabiltzen da, eta testuinguru horretan, angelua zenbaki eta neurri-unitate bat da. Angelu-neurria edo angeluaren neurria, batzuetan, neurria eta irudia bera bereizteko erabiltzen da. Angeluen neurketa, intrintsekoki, zirkuluekin eta errotazioarekin lotuta dago. Angelu arrunt batentzat, askotan, erpinean zentratutako eta aldeen artean dagoen zirkulu-arkua erabiliz bistaratzen edo definitzen da hori.

Etimologia

Angelu hitza latinezko angulus (euskaraz izkina) hitzetik dator. Grezierazko ankylοs (euskaraz, oker, bihurri) hitzetik eta indoeuroparrezko ank- errotik (euskaraz, okertu, bihurritu) ere eratortzen da.

Adierazpena

x angelua $\angle {ACB}$ ere adieraz daiteke.

Irudi geometrikoetan, angeluak irudiko hiru punturen bitartez adierazten dira. Adibidez, bitez A, B eta C puntuak; erpina A puntuan duen angelua, zuzenerdiak AB eta AC bidez definiturik, bi era hauetara adieraz daiteke:

${\widehat {BAC}}\ \ \ \ \ \angle {BAC}$

Angeluaren neurria honela adierazten da:

$\measuredangle {ABC}$

Adierazpen matematikoetan ordea, ohizkoa da angeluak letra grekoen bitartez adieraztea: α, β, γ, θ, ... Letra latindarrak (a,b,c, ...) ere erabiltzen dira.

Angeluen neurketa

45° = 0.7854 rad
Angeluentzako gradu eta radianen neurketa.

Angelu baten zabalera neurtzeko, zuzenerdi batetik bestera biratutako zirkunferentzia-arkutik, zentroa angeluko erpinean izanik, abiatu behar da.

Ondoren, s arkuaren luzera r erradioaz zatitzen da. Emaitza angeluaren neurria izango da radian (rad, labur) izeneko unitatetan. Angelu baterako arkua marrazteko erradioa aldatzen bada, arkuaren luzera ere proportzioan aldatuko da, eta, beraz, angeluaren neurria konstantea izango da.

Angelua radianetan ez baizik eta beste unitate-sistema batean neurtu nahi bada, $s/r\,$ zatidura $k\,$ berariazko konstante batez biderkatu beharko da.

• 
  θ angeluaren neurria s arkuaren luzeraren eta r erradioaren luzeraren arteko arrazoiak ematen du.
• 
  Radian bateko angelua: erradioak eta arkuak luzera berdina dute.
• 
  Neurri ezberdinetako angeluak, radianetan.

Sistema hirurogeitarra

Sistema hirurogeitar edo sexagesimalean, zirkunferentzia oso bat inguratzen duen angelua 360 gradu sexagesimaleko neurria du (360° idazten da). Horrela, angeluko arkuak zirkunferentzia osoa hartzen duenean angeluaren neurria 2π radianekoa denez, hiruko erregela sinple batez frogatzen da, sistema hirurogeitarrera aldatzeko $s/r\,$ erlazioari biderkatu beharreko konstantea $k={\frac {2\pi }{360}}$ dela.

Horrela, adibidez $3\pi /2\,$ radianeko angeluaren neurria, sistema hirurogeitarrean, $(\pi /2)\times (360/2\pi )=90\,$ gradukoa da .

Sistema ehundarra

Sistema ehundarrean, angelu zuzenaren neurria 100 gradu ehundarrekoa (100^g idazten da) da (sistema sexagesimalean 90° da). Zirkulu osoko angelua 400 gradu (400^g) du. Radianak gradu ehundarretara bihurtzeko biderkatu beharreko konstantea $k={\frac {2\pi }{400}}$.

Beste sistemak

• Puntua itsasketan erabiltzen da, eta zirkulu osoaren 1/32 hartzen du. Angelu zuzen batek, beraz, 8 puntu ditu.
• Ordu-angelua astronomian erabiltzen da, eta zirkulu osoaren 1/24 hartzen du. Beraz, 1 ordu = 360/12=15° = π/12 rad.

Eskuzko neurketak

180°ko zabalera duen angelu-garraiagailua, sistema hirurogeitarrean.

Eskuz, angelu-garraiagailua erabiliz neurtzen dira angeluak. Zirkulu edo zirkulu-erdi graduatu batez osaturik, angelu-garraiagailuaren jatorria angeluaren zuzenerdi baten gainean kokatuz, garraiagailuak beste zuzenerdian adierazten duen balioa izango da angeluaren neurria.

Begizko hurbilketak

Urrutiko objektuek osatzen duten angeluen neurria besoa luzatuz hurbildu daiteke:

• Hatz txikiaren zabalera betetzen duen objektu baten angelua 1,5° da gutxi gorabehera.
• Hatz txikia eta ondoko bi hatzak batera jarriz, hiru hatzak betetzen dituen zabalera duen angeluaren neurria 5° da gutxi gorabehera.
• Eskua ixten bada, erpurua barrura sartuz, ukabila betetzen duen angeluaren neurria 10° da gutxi gorabehera.
• Hatz erakuslea eta hatz txikia luzatzen badira, tartekoak bilduz, bien arteko angelua 20° da gutxi gorabehera.

Gainera, eguzkiak eta ilargiak zeruan hartzen duten eremuak osatzen duen angelua 0.5° da gutxi gorabehera.

Angelu motak

Neurriari buruz

• 90 gradu hirurogeitarreko (π/2 rad edo 100 gradu ehundar) angeluari, angelu zuzen deritzo. Angelu horren bi aldeak perpendikularrak dira elkarren artean.
• Angelu zuzena baino neurri txikiagoa duten angeluei, angelu zorrotz deritze, hau da angelua 0º-90º artean dago.
• 180 gradu hirurogeitarreko (π rad edo 200 gradu ehundar) angeluari, angelu lau edo angelu lerrokide deritzo.
• Angelu zuzenetik angelu laurako bitarteko neurria duten angeluei (90°-180°), angelu kamuts deritze.
• Angelu osoa zirkulu osoa hartzen duten angelua da (360°, 2π rad edo 400 gradu ehundar).
• Angelu nulua 0° edo 0 rad neurria duena da.
• Bi zuzenerdik bi angelu sortzen dute: angelu ganbila (edo sarkorra) eta angelu ahurra (edo irtenkorra). Angelu ganbila 180°-tik beherakoa da. Angelu ahurra 180°-tik gorakoa da.

• 
  Angelu zuzena
• 
  Angelu zorrotza
• 
  Angelu laua
• 
  Angelu kamutsa
• 
  Angelu osoa
• 
  Angelu ganbila edo sarkorra
• 
  Angelu ahurra edo irtenkorra

Erlazionaturiko angeluak

Bi angelu artean duten erlazioari buruz, zenbait angelu mota ezartzen da:

• Ondoz-ondoko angeluak alde komun bat dutenak dira beste biek zuzen bat osatzen ez badute.
• Angelu osagarriak dira haien neurrien batura 90° edo $\pi$/2 radian dutenak. Angelu baten angelu osagarria da biak batera angelu zuzen osatzeko behar den hura.
• Angelu betegarriak dira horien neurrien batura 180° edo $\pi$ radian dutenak. Angelu baten angelu betegarria da biak batera angelu lau bat osatzeko behar den hura.
• Angelu konjugatuak dira neurrien batura 360° edo 2$\pi$ radian dutenak.
• Angelu kongruenteak (edo isometrikoak) dira zabalera bera dutenak, hau da, neurri bera dutenak.
• Erpinez aurkako angeluak dira angelu bateko zuzenerdiak besteko zuzenerdien luzapenak. Erpinez aurkako angeluak kongruenteak dira.

• 
  A et B ondoz ondoko angeluak dira.
• 
  a eta b angelu osagarriak dira.
• 
  α eta β angelu betegarriak dira.
• 
  α eta β angelu konjugatuak dira.
• 
  Paralelogramo bateko aurkako angeluak kongruenteak dira.
• 
  α y β erpinez aurkako angeluak dira, eta beraz, kongruenteak ere bai.

Angelu positiboak eta negatiboak

Angelu positibo eta angelu negatibo bat trigonometrian erabiltzen den zirkunferentzia goniometriko batean.

Geometrian, angelu guztiak positiboak dira: beren neurria zuzenerdien arteko arkuaren luzera absolutua da. Trigonometrian, ordea, angeluko arkua biratzeko norabidea kontuan hartzen da. Arkua erlojuko orratzen aurkako zentzuan biratzen bada, angeluaren neurria positiboa da.

Bi dimentsioko koordenatu-sistema kartesiar batean, angelu bat bere bi aldeetatik definitu ohi da, erpina jatorrian duela. Hasierako aldea x ardatz positiboan dago; beste aldeak, berriz, hasierako aldearen neurriak zehazten ditu, radianetan, gradutan edo biratan. Ardatzerako eta positiborako errotazioak adierazten dituzten angelu positiboekin, eta ardatzerako errotazioak eta negatiboak adierazten dituzten angelu negatiboekin. Koordenatu kartesiarrak, posizio estandarraren bidez adierazita daudenean, x ardatzak eskuinerantz eta y ardatzak gorantz definitua, errotazio positiboak erlojuaren aurkako noranzkoan dira, eta errotazio negatiboak, berriz, erlojuaren noranzkoan.

Testuinguru askotan, -θ-ren angelua, hain zuzen, «bira oso bat ken θ» angeluaren baliokide da. Adibidez, -45º gisa adierazitako orientazioa benetan da 360º, -45º edo 315º gisa adierazitako orientazioaren baliokidea. Nahiz eta azken posizioa berdina izan, -45º-ko errotazio fisikoa (mugimendua) eta 315º-ko errotazioa ez dira gauza bera (adibidez, hautsez betetako pisu batean erratz bat eusten ari den pertsona bat biratzean, lurrean erratza pasatutako lekuan arrasto desberdinak ikusiko lirateke).

Hiru dimentsioko geometrian, «erlojuaren orratzen noranzkoan» eta «erlojuaren orratzen kontrako noranzkoan» ez dute esanahi erabatekorik; beraz, angelu positiboen eta negatiboen norabidea erreferentziaren baten arabera definitu behar da, angeluaren erpinetik pasatzen den bektorea izan ohi dena, eta angeluaren izpiak dauden planoarekiko perpendikularra da.

Angelu konposatuak

Elkarren ondoan dauden bi angeluk angelu konposatua osatzen dute

Angeluen batuketa edo kenketaren bidez lortutakoak dira. Irudian, elkarren ondoan dauden bi sektore zirkular irudikatzen dira, bakoitza bere angeluarekin, α eta β izendunak, hurrenez hurren; bi sektoreen baturak elkartzen ditugun sektoreen angeluen konposizioa izango du angelutzat, kasu honetan, α + β.

Angelu konposatuen arrazoi trigonometrikoak erlazionatuta daude angelu osagaien arrazoi trigonometrikoekin, angelu konposatuen arrazoi trigonometrikoen formulen bidez.

Angeluak poligono batean

Poligono batean, barne angelua ondoz ondoko aldeek barnerantz osaturikoa da. Kanpo angelua, berriz, alde batek eta beste baten kanporako luzapenak osaturikoa da. Poligonoko erpin bateko barne angelua eta kanpo angelua betegarriak dira. Aurkako angeluak alde edo zuzenerdi komunik ez duten haiek dira.

Triangelu batek hiru barne angelu ditu: α, β eta γ. Triangelu batean ez dago aurkako angelurik.

β, β', δ eta δ' poligonoko kanpo angeluak dira. α eta β zein α eta β' angelu betegarriak dira gainera. α eta γ aurkako angeluak dira.

Angeluak zirkunferentzia batean

Angelu zentrala (berdez), angelu inskribatua (urdinez), angelu erdi-inskribatua (gorriz) eta kanpo angelua (marroiz).

Zirkunferentzia batean, zenbait angelu mota era daiteke:

• Angelu zentrala erpina zirkunferentziaren zentroan duena da. Angelu zentralaren zabalera angeluak hartzen duen zirkunferentzia arkuaren zabaleraren berdina da.
• Angelu inskribatua erpina zirkunferentziako puntu batean izan eta bere zuzenerdiek zirkunferentziako beste bi puntu ebakitzen dituena da. Angelu inskribatuaren zabalera angeluak hartzen duen zirkunferentzia arkuaren zabaleraren erdia da.
• Angelu erdi-inskribatua erpina zirkunferentziako puntu batean izan, zuzenerdi batek zirkunferentziako puntu bat ebaki eta bestea erpinean bertan zirkunferentziaren tangentea den angelua da. Angelu inskribatuaren zabalera angeluak hartzen duen zirkunferentzia arkuaren zabaleraren erdia da.

Barruko angeluen neurria dagozkien angelu zentralenen arabera.
Irudi honen barrukoa euskaraz ikusten ez baduzu zure ordenagailuan euskara hizkuntza lehenetsia ez izateagatik izan daiteke.

• Barne angelua erpina zirkunferentziak osatzen duen zirkuluaren barnean duenean deritzo. Barne angeluaren zabalera angeluak berak osatzen duen arkuaren zabaleraren eta erpinez aurkako angeluak osatzen duen arkuaren zabaleraren baturaren erdia da.
• Kanpo angelua erpina zirkunferentziatik kanpo duena da. Bere zabalera zirkunferentzian osatzen dituen bi arkuen zabaleren kendura da.

Angeluaren trisekzioa

Angeluaren trisekzioa problema klasiko bat da angelu jakin bat hiru zati berdinetan zatitzean datzana erregela eta konpasa bakarrik erabiliz. Oro har, ezinezkoa da baldintza horiekin ebaztea.

Hiru dimentsioko angeluak

• Angelu diedroa zuzen komun batetik abiatzen diren bi planoerdiek mugatzen duten eremuaren bi zatietako bakoitza da.
• Angelu solidoa gainazal koniko batek mugatutako espazio-eremua da.

Hiru dimentsioko angelu-koordenatuak

Eulerren angeluak hiru koordenatu angeluar dira, eta ardatz ortogonalen erreferentzia-sistema baten —mugikorra izan ohi dena— eta ardatz finko baten arteko orientazioa adierazten dute.

Angeluak bektore-eremu batean

Emanik bektore-eremu bat eta haren gorputza zenbaki errealen multzoa, non $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ bektoreen arteko biderkadura eskalar bat dagoen, $x$ eta $y$ bi bektore ez-nuluk osatutako angelua definitzen da adierazpen honen bidez:
$\angle (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}},$
Aurreko zatidura 0 bada, bi bektoreak ortogonalak edo perpendikularrak direla esaten da. Aurreko zatidura $(-1,1)$ tartean dago Cauchy-Schwarz-en desberdintzaren ondorioz, eta horrek arku sinua beti aplika daitekeela bermatzen du. Eskuarki, arku sinuaren adarra hartzen da, halako moldez non bi bektorek eratzen duten angelua beti $[0,\pi ]$ tartean dagoen (geometrikoki, bi bektore osatzen dituzten angeluetatik txikiena aukeratzen da). Bi bektoreren angeluak betetzen dituen propietate nagusiak hauek dira:

• Bektoreetako bat eskalar positibo batez biderkatzen badugu, angelua ez da aldatzen.
• Bektoreetako bat eskalar negatibo batez biderkatzen badugu, angelua osagarria izatera pasako da.
• Kosinuaren teorema betetzen da, hau da, $x$ eta $y$ ez-nulu emanda,
  $\|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\|x\|\cdot \|y\|\cdot \cos \angle (x,y)$.

Txandakako angeluak

Txandakako angeluak planoko bi zuzen beste zuzen batek ebakitzen dituenean sortzen dira. Txandakako angeluak bi motakoak dira: txandakako barne angeluak eta txandakako kanpo angeluak.

Txandakako barne angeluak: zuzenak paraleloak direnean, α eta β angeluak kongruenteak dira.

Txandakako kanpo angeluak: zuzenak paraleloak direnean, α eta β angeluak kongruenteak dira.

Beste angelu batzuk

• Angelu esferikoa esfera baten azaleran bi zirkulu maximok osatzen duten angelua da.
• Angelu diedroa ertz komun bat duten bi planoerdik osatzen duten bi angeluetatik txikiena da. Ikus Angelu diedro.
• Eulerren angeluak eremuan puntu baten koordenatuak erreferentzia sistema batetik bestera aldatzeko behar diren angeluak dira.

• 
  Triangelu esferiko batean hiru angelu esferiko daude.
• 
  Angelu diedro zuzen bat.
• 
  Bi sistema ortogonal ezberdin. Koordenatuak batetik bestera aldatzeko Eulerren angeluak erabiltzen dira: α, β y γ.

Erabilera

Arlo anitzetara aplikatzen dira angeluak. Astronomia, itsasketa, optika, aerodinamika, balistika dira arlo horietako batzuk.

Astronomia

Astronomian, angeluak argizagiak zeruan zehatz kokatzeko erabiltzen dira, koordenatu sistema ezberdinetan. Adibidez, azimuta ostertzean argizagiaren proiekzioak iparretik osatzen duen angelua da. Paralaxia behatzaile batek bere kokapena aldatzean argizagiaren kokapena zeruan erakusten duen angelu aldaketa da.

Itsasketa

Itsasketan, haize-angelua haizeak belaontziaren norabidearekin osatzen duen angelua da. Norabide-angelua ipar-hego norabidearekin ontziak daraman norabideak osatzen duen angelua da.

Optika

Optikan, eremu-angelua begiak sistema optiko batean hartzen dituen objektuek hartzen duten angelua da. Errefrakzio-, islatze- eta intzidentzia-angeluak izpiek osatzen dituzten angeluak dira.

Historia eta etimologia

Angelu hitza latinezko angulus hitzetik dator, «izkina» esan nahi duena. Antzeko hitzen artean, grezierazko ἀγκύλος (ankylos) «okerra, kurbatua» eta ingelesezko ankle «orkatila» daude. Biak aitzinindoeuroperako *ank- erroarekin lotuta daude, «tolestu» edo «makurtu» esan nahi duena.

Euklidesek angelu lau bat honela definitzen du: plano batean elkar ebakitzen duten eta elkarrekiko zuzenak ez diren bi lerroren elkarrekiko inklinazioa. Proklo metafisikari neoplatonikoaren arabera, angelu batek kalitate, kantitate edo erlazio bat izan behar du. Lehenengo kontzeptua, angelua kalitate gisa, Eudemo Rodaskoak erabili zuen, zeinak angelua lerro zuzen baten desbideratze gisa hartzen baitzuen; bigarrena, angelua kantitate gisa, Karpo Antiokiakoak gurutzatzen diren lerroen arteko tarte edo eremu gisa hartzen zuen; Euklidesek hirugarrena hartu zuen: angelua erlazio gisa.

Angelu bertikalaren teorema

Erpinetik kontrajarritako angeluen berdintasunari, angelu bertikalaren teorema deritzo. Eudemo Rodaskoak frogapena Tales Miletokoari egotzi zion. Proposizioak erakusten zuen bi angelu bertikalak bi angelu ondoz ondokoen osagarriak direnez, angelu bertikalak neurri berekoak direla. Ohar historiko baten arabera, Talesek Egipto bisitatu zuenean, egiptoarrek bi lerro gurutzatzen zituztenean, angelu bertikalak neurtzen zituztela berdinak zirela ziurtatzeko. Talesek ondorioztatu zuen angelu bertikal guztiak berdinak direla frogatu zitekeela zenbait nozio orokor onartuz gero, hala nola:

• Angelu zuzen guztiak berdinak dira.
• Berdinketei gehitutako berdinketak berdinak dira.
• Berdinen artean kendutako berdinketak berdinak dira.

Ondoz ondoko Bi angeluk lerro zuzen bat osatzen dutenean, osagarriak dira. Beraz, A angeluaren neurria x dela suposatzen badugu, C angeluaren neurria 180° − x izango litzateke. Era berean, D angeluaren neurria 180° − x izango litzateke. Bai C angeluak bai D angeluak 180° − x neurriak dituzte eta kongruenteak dira. B angelua C eta D angeluekiko osagarria denez, angelu neurri horietako edozein erabil daiteke B angeluaren neurria zehazteko. C angeluaren edo D angeluaren neurria erabiliz, B angeluaren neurria 180° − (180° − x) = 180° − 180° + x = x dela aurkitzen dugu. Beraz, bai A angeluak, bai B angeluak x neurriak dituzte eta neurri bera da.

Angeluak geografian eta astronomian

Geografian, Lurreko edozein punturen kokapena koordenatu geografikoen sistema bat erabiliz identifika daiteke. Sistema horrek edozein kokapenen latitudea eta longitudea zehazten ditu Lurraren erdigunean dauden angeluen arabera eta ekuatorea eta (normalean) Greenwich-eko meridianoa erreferentzia gisa erabiliz.

Astronomian, zeru-esferako puntu jakin bat (hau da, objektu astronomiko baten itxurazko posizioa) hainbat koordenatu astronomiko sistema erabiliz identifika daiteke, non erreferentziak sistema jakin baten arabera aldatzen diren. Astronomoek bi izarren arteko angelu-distantzia neurtzen dute Lurraren erdigunetik igarotzen diren bi lerro imajinatuz bakoitzak izar bat ebakitzen duela. Lerro horien arteko angelua eta bi izarren arteko angelu-distantzia neur daitezke.

Geografian zein astronomian, behaketa-norabidea angelu bertikal baten bidez zehaztu daiteke, hala nola altitudea/goratzea horizontearekiko, baita iparraldearekiko azimuta ere.

Astronomoek objektuen itxurazko tamaina ere diametro angeluar gisa neurtzen dute. Adibidez, ilbeteak 0,5° inguruko diametro angeluarra du Lurretik ikusita. Esan liteke: «Ilargiaren diametroak erdi graduko angelu bat azpi-kokatzen du». Angelu txikien formulak angelu-neurketa hori distantzia/tamaina erlazio bihur dezake.

Beste hurbilketa astronomiko batzuk hauek dira:

• Lurretik ikusita, Eguzkiaren eta Ilargiaren gutxi gorabeherako diametroa 0,5° da.
• Besoa luzatuta, hatz txikiaren gutxi gorabeherako zabalera 1° da.
• Besoaren luzeran, ukabil itxi batek duen gutxi gorabeherako zabalera 10° da.
• Besoaren luzeran, eskutokiaren zabalera 20° da, gutxi gorabehera.

Neurketa horiek subjektu bakoitzaren araberakoak dira, eta aurrekoa gutxi gorabeherako arau gisa hartu behar da.

Astronomian, igoera zuzena eta deklinazioa, normalean, angelu-unitateetan neurtzen dira, denboran adierazita eta 24 orduko egun batean oinarrituta.

Unitatea	Sinboloa	Graduak	Radianak	Birak	Besteak
Ordua	h	15°	$\pi$⁄12 rad	1⁄24 bira
Minutua	m	0°15′	$\pi$⁄720 rad	1⁄1440 bira	1⁄60 ordu
Segundoa	s	0°0′15″	$\pi$⁄43.200 rad	1⁄86.400 bira	1⁄60 minutu

Definizioa eta sailkatzeko modu eta motak

Funtsean, bi modu daude planoan angelu bat definitzeko:

1. Forma geometrikoa: «Angelu» deritzo erpin izeneko puntu komun batean elkartzen diren edozein motatako bi lerroren arteko zabalerari. Hizkera arruntean, angelua jatorri bera duten bi lerrok osatzen duten irudia da. Bi kurben arteko angelua haien lerro zuzen ukitzaileek ebakitze-puntuan eratzen duten angelua da.
2. Forma trigonometrikoa: Mutur baten inguruan segmentu zuzen bat deskribatzen duen errotazio- edo biraketa-zabaltasuna da. Segmentu hori hasierako posizio batetik amaierako posizio baterainoko erpin gisa hartzen da. Biraketa noranzkoa ezkerbirakaria bada (erlojuaren orratzen kontrakoa), angelua positibotzat hartzen da. Errotazio- norabidea eskuinbirakaria bada (erlojuaren orratzen aldera), angelua negatibotzat hartzen da.

Ariketak

• Angeluak
• Angelu unitateak ulertzeko bideoa.
• Pitagorasen teorema ulertzeko bideoa.
• Pitagorasen teorema azalpena ariketaren bidez.
• Pitagorasen teorema ariketa azalpenaren bidez.
• Triangelu zuzenak ebazteko ariketa.
• 'Angeluen zatiketak ariketa.
• Zirkunferentziaren bidez, angelu guztien sinu eta kosinoa lortzeko ariketa.
• Triangelu zehiarra ulertzeko bideoa.
• Triangelu zehiarra ebazteko beste modu bat.
• Ohiko angeluen sinua, kosinoa eta tangentea kalkulatzea.
• Angeluen batuketak eta kenketak.
• Angeluen' biderketa.
• Oinarrizko erlazio trigonometrikoak.
• Angelu zorrotz baten arrazoi trigonometrikoak.

Bibliography

• Aboughantous, Charles H.. (2010). A High School First Course in Euclidean Plane Geometry. Universal Publishers ISBN 978-1-59942-822-2..
• Brinsmade, J. B.. (1936ko abendua). «Plane and Solid Angles. Their Pedagogic Value When Introduced Explicitly» American Journal of Physics 4 (4): 175–179.  doi:10.1119/1.1999110. Bibcode: 1936AmJPh...4..175B..
• Brownstein, K. R.. (1997ko uztaila). «Angles—Let's treat them squarely» American Journal of Physics 65 (7): 605–614.  doi:10.1119/1.18616. Bibcode: 1997AmJPh..65..605B..
• Eder, W E. (1982ko urtarrila). «A Viewpoint on the Quantity "Plane Angle"» Metrologia 18 (1): 1–12.  doi:10.1088/0026-1394/18/1/002. Bibcode: 1982Metro..18....1E..
• Foster, Marcus P. (2010-12-01). «The next 50 years of the SI: a review of the opportunities for the e-Science age» Metrologia 47 (6): R41–R51.  doi:10.1088/0026-1394/47/6/R01..
• Godfrey, Charles; Siddons, A. W.. (1919). Elementary geometry: practical and theoretical. (3. ed.. argitaraldia) Cambridge University Press.
• Henderson, David W.; Taimina, Daina. (2005). Experiencing Geometry / Euclidean and Non-Euclidean with History. (3. ed.. argitaraldia) Pearson Prentice Hall, 104 or. ISBN 978-0-13-143748-7..
• Heiberg, Johan Ludvig. (1908). Heath, T. L. ed. Euclid. 1 Cambridge: Cambridge University Press..
• Jacobs, Harold R.. (1974). Geometry. W. H. Freeman, 97, 255 or. ISBN 978-0-7167-0456-0..
• Leonard, B P. (2021-10-01). «Proposal for the dimensionally consistent treatment of angle and solid angle by the International System of Units (SI)» Metrologia 58 (5): 052001.  doi:10.1088/1681-7575/abe0fc. Bibcode: 2021Metro..58e2001L..
• Lévy-Leblond, Jean-Marc. (1998ko iraila). «Dimensional angles and universal constants» American Journal of Physics 66 (9): 814–815.  doi:10.1119/1.18964. Bibcode: 1998AmJPh..66..814L..
• Mills, Ian. (2016-06-01). «On the units radian and cycle for the quantity plane angle» Metrologia 53 (3): 991–997.  doi:10.1088/0026-1394/53/3/991. Bibcode: 2016Metro..53..991M..
• Mohr, Peter J; Phillips, William D. (2015-02-01). «Dimensionless units in the SI» Metrologia 52 (1): 40–47.  doi:10.1088/0026-1394/52/1/40. Bibcode: 2015Metro..52...40M..
• Mohr, Peter J; Shirley, Eric L; Phillips, William D; Trott, Michael. (2022-06-23). «On the dimension of angles and their units» Metrologia 59 (5): 053001.  doi:10.1088/1681-7575/ac7bc2. Bibcode: 2022Metro..59e3001M..
• Moser, James M.. (1971). Modern Elementary Geometry. Prentice-Hall.
• Quincey, Paul. (2016-04-01). «The range of options for handling plane angle and solid angle within a system of units» Metrologia 53 (2): 840–845.  doi:10.1088/0026-1394/53/2/840. Bibcode: 2016Metro..53..840Q..
• Quincey, Paul. (2021-10-01). «Angles in the SI: a detailed proposal for solving the problem» Metrologia 58 (5): 053002.  doi:10.1088/1681-7575/ac023f. Bibcode: 2021Metro..58e3002Q..
• Romain, Jacques E.. (1962ko uztaila). «Angle as a fourth fundamental quantity» Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B 66B (3): 97.  doi:10.6028/jres.066B.012..
• Sidorov, L. A.. (2001). Angle. Angle&oldid=13323.
• Slocum, Jonathan. (2007). Preliminary Indo-European lexicon — Pokorny PIE data. University of Texas research department: linguistics research center jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 2010-06-27) (kontsulta data: 2010-02-02).
• Shute, William G.; Shirk, William W.; Porter, George F.. (1960). Plane and Solid Geometry. American Book Company, 25–27 or..
• Torrens, A B. (1986-01-01). «On Angles and Angular Quantities» Metrologia 22 (1): 1–7.  doi:10.1088/0026-1394/22/1/002. Bibcode: 1986Metro..22....1T..
• Wong, Tak-wah; Wong, Ming-sim. (2009). New Century Mathematics. 1B (1. argitaraldia) Hong Kong: Oxford University Press, 161–163 or. ISBN 978-0-19-800177-5..

Angle. 2, 14 or..

• ESPASA entziklopedia: Ángulo. 5. bolumena, 589-596 orrialdeak.

Kanpo estekak

• Datuak: Q11352
• Multimedia: Angles (geometry) / Q11352