Artikulu hau "Kalitatezko 1.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da

Pi (zenbakia)

Wikipedia, Entziklopedia askea
Jump to navigation Jump to search

Zirkulu baten zirkunferentziaren luzera diametroa π aldiz da.

zenbakia (pi ahoskatua) konstante matematiko bat da. Originalki zirkulu baten zirkunferentzia eta bere diametroaren arteko harreman gisa adierazten zen, baina gaur egun hainbat definizio pareko ditu, eta formula anitzetan agertzen da matematika eta fisikako esparru guztietan. Gutxi gora behera 3,14159 balio du. greziar letra erabili izan da XVIII. mendearen ondotik.

Zenbaki irrazional bat izanda, ezin da adierazi zatiki baten moduan. ren errepresentazio dezimala ez da inoiz amaitzen eta ez du errepikatzen den patroirik. Hala ere, bezalako zatikiak eta beste zenbaki arrazional batzuk erabili izan dira zenbakira hurbildu ahal izateko. Ematen duenez, dezimaletako zenbakiak ausaz daude banatuak. Uste da zenbakiaren digituen sekuentziak ausazko banaketa estatistiko mota bat dela, baina gaur egun ez da honen inguruko froga zehatzik lortu. zenbaki transzendental bat da; hau da, ez da koefiziente arrazionalak dituen zero-ez-den polinomio baten erroan dagoen zenbaki bat. ren transzendentzia honek esan nahi du ezinezkoa dela antzinarotik hedatu izan den zirkuluaren koadratura ebaztea erregela eta konpasa erabilita.

Antzinaroko zibilizazioek arrazoi praktikoak direla eta ren balio nahiko zehatzak behar zituzten. Antzinako Egiptoko eta Babiloniako matematikan jada egin ziren kalkulu nahiko zehatzak. K. a. 250.urtearen inguruan Arkimedes greziar matematikariak algoritmo bat sortu zuen kalkulatu ahal izateko. Txinako matematikariek zazpi digituko gerturapena eskuratu zuten, metodo geometrikoak bakarrik erabilita, eta bost digituko gerturapena Indiako matematikariek V. mendean. Serie infinitutan oinarritutako ren lehen formula historiko zehatza milurteko bat beranduago aurkitu zen, Indiako matematikariek Madhava–Leibniz seriea aurkitu zutenean[1][2]. XX. eta XXI. mendean matematikariek eta informatikariek gerturapen berriak asmatu zituzten, eta ordenagailuen boterearen handitzearekin, ren errepresentazio dezimala hainbat bilioi digituraino zabaldu zen[3]. Aplikazio zientifiko ia guztiek ez dute behar ren ehun digitu baino gehiago behar eta askok askoz gutxiago, beraz gaur egungo dezimalen bilaketa honen helburu nagusia algoritmo hobeak aurkitzea da, eta errekor berriak hausteko nahia[4][5]. Kalkulu estentsibo horiek superordenadoreak eta algoritmoen biderketen prezisio altua frogatzeko erabiltzen dira.

bereziki zirkuluei lotuta definitzen delako, trigonometria eta geometriako formula askotan agertzen da, bereziki zirkulu, elipse eta esferekin lotuta daudenak. Analisi matematiko modernoan, zenbaki errealen sistemaren ezaugarri espektralak erabiltzen definitzen da, periodo baten autobalio gisa, geometriari erreferentziarik egin gabe. Horregatik, matematikako eta zientzietako hainbat eremutan agertzen da, geometria eta zirkuluekin harremanik izan gabe ere; zenbakien teorian eta estatistikan eta fisikako eremu ia guztietan agertzen da . Nonahikotasun honek konstante matematiko ezagunetako bat izatea dakar, komunitate zientifikoaren barruan zein kanpoan. Zenbakiari dedikatutako liburu asko argitaratu dira, Pi Eguna ospatzen da eta ren digitu berriak kalkulatzen direnean albiste izan ohi da. ren balioa memorizatzeko lehiaketak egiten dira, eta gaur egun errekorra 70.000 digitutan ezarria dago[6].

π duten formulak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Geometrian:

Probabilitatean:

  • Ausaz aukeratutako bi zenbaki oso euren artean lehenak izan daitezeneko probabilitatea 6/π² da
  • 1 baino txikiagoak diren bi zenbaki positibo hartuta, 1 zenbakiarekin batera hiruko kamuts bateko aldeak izan daitezeneko probabilitatea (π-2)/4 da.
  • Buffonen orratza: ausaz, airera, orratz bat botatzen badugu, L luzerakoa dena eta gainazal batean erortzen badira non D distantziara dauden lerro paraleloak marraztuta dauden, orratzak lerro bat mozteko probabilitatea Lπ/2D da.

Analisi matematikoan:

(Leibnizen Formula)
(Wallisen produktua)
(Euler)
(Eulerren identitatea, "Munduko Formularik Garrantzitsuena" moduen ezaguna)
(Stirlingen Formula)


(Euler)
Ramanujan


Gainera πk frakzio jarrai gisa hainbat formula ditu. konturatu zenbaki bakoitiak direla zatitzen agertzen direnak, eta zenbaki osoen karratuak beraien zatitzaile bezala:

(http://functions.wolfram.com/Constants/Pi/10/ helbidean beste 12 errepresentazio ezberdin daude)

π hurbilketak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

πren irrazionaltasuna dela eta kalkuluak gerturatzen ahalik eta zehatzenekin egin behar da, baina beti hurbilketekin. Normalki 3,14 edo 22/7 baloreak hartzen dira, benetako baloretik % 0,05 baino ez dira urruntzen. Fisikan eta ingeniaritzan 3,1416 erabili ohi da (edo 3,14159) zirkunferentzia batean zehaztasuna lortzeko.

π: 355/113 zatikia ere askotan erabiltzen da eta lehenengo zazpi zenbakietan bat egiten du.

πrantz egin diren hurbilketa historiko batzuk:

Urtea Matematikaria edo dokumentua Hurbilketa Errorea

(zatiak milioika)

~1650 adC Ahmesen papiroa (Egipto) ~ 3,1605 6016 ppm
~1600 adC Susako taula (Babilonia) 3 1/8 = 3,125 5282 ppm
~950 adC Biblian (Erregeak I, 7,23) 3 45070 ppm
~500 adC Bandhayana (India) 3,09 16422 ppm
~250 adC Arkimedes 3 10/71 eta 3 1/7 artean

211875/67441 ~ 3,14163

402 ppm

13,45 ppm

~200 Ptolomeo 377/120 = 3,141666... 23,56 ppm
260 Liu Hui (Txina) 3,1416 2,34 ppm
263 Wang Fau 157/50 = 3,14 507 ppm
~300 Chung Huing (Txina) 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
~500 Tsu Chung-Chi (Txina) 3,1415926 eta 3,1415929 artean

355/113 ~ 3,1415929 erabiliz

<0,078 ppm

0,085 ppm

~500 Aryabhatta 3,1416 2,34 ppm
~600 Brahmagupta 101/2 ~ 3,1623 6584 ppm
1220 Fibonacci 3,141818 72,73 ppm
Urtea Aurkitzailea Erabilitako ordenagailua Zifra dezimalen kopurua
1949 G.W. Reitwiesner eta beste batzuk ENIAC 2.037
1955   MORC 3.089
1959 Guilloud IBM 704 16.167
1967   CDC 6600 500.000
1973 Guillord eta Bouyer CDC 7600 1.001.250
1981 Miyoshi eta Kanada FACOM M-200 2.000.036
1982 Guilloud   2.000.050
1986 Bailey CRAY-2 29.360.111
1986 Kanada eta Tamura HITAC S-810/20 67.108.839
1987 Kanada, Tamura, Kobo eta beste batzuk NEC SX-2 134.217.700
1988 Kanada eta Tamura Hitachi S-820 201.326.000
1989 Chudnovsky Anaiak CRAY-2 eta IBM-3090/VF 480.000.000
1989 Chudnovsky Anaiak IBM 3090 1.011.196.691
1991 Chudnovsky Anaiak   2.260.000.000
1994 Chudnovsky Anaiak   4.044.000.000
1995 Kanada eta Takahashi [1] HITAC S-3800/480 6.442.450.000
1997 Kanada eta Takahashi [2] Hitachi SR2201 51.539.600.000
1999 Kanada eta Takahashi [3] Hitachi SR8000 68.719.470.000
1999 Kanada eta Takahashi [4] Hitachi SR8000 206.158.430.000
2002 Kanada eta beste batzuk [5] Hitachi SR8000/MP 1.240.000.000.000

Ordenagailuekin, gaur egun, ofizialki piaren 206.000 milioi hamartar daude kalkulatuta. Ofizialki kalkulatu ez direnak bilioi batetik gora dira.[7]

π geometrikoki hurbilduz[aldatu | aldatu iturburu kodea]

πren balorea modu geometriko batean kalkulatzea erraza da. Berez Greziarrak πren balioa kalkulatzen saiatu ziren erregela eta konpasa erabiliz, arrakastarik gabe. Greziarren arazoak, zirkuluaren koadratura edo berdina dena edozein zirkuluren azalera berdina duen karratu bat lortzeak πren balio zehatza jakitea dakar..

π erregela eta konpas batekin kalkulatzea ezinezkoa zela behin demostratuta, hainbat metodo sortu ziren nahiko zehatz kalkulatu ahal izateko. Bi soluzio horietako hoberenak Kochanskik (erregela eta konpasarekin) eta Marcheronik (konpasa baino ez) asmatu zituzten..

Kochanskiren metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kochanskiren metodoa

Frogapena (R = 1)

Lehenengo formulan aldatuz:

Mascheroniren metodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Mascheroniren metodoa

Frogapena (R = 1)

ABEB' Kuadrillateroaren Ptolomeoren teorema dela eta:


Bitxikeriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Martxoaren 14an Pi eguna ospatzen dute askok, data begiratuz 3-14 baita, hau da 3,14 = Pi.[7]

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1.   1938-, Andrews, George E., (1999), Special functions, Cambridge University Press, ISBN 0521789885, PMC 852896189, https://www.worldcat.org/oclc/852896189 .
  2. Gupta, R.C. "On the Remainder Term in the Madhava-Leibniz's series." Canita Bhdrati 14: 68-71, 1992.
  3.   «22.4 trillion digits of pi», www.pi2e.ch, http://www.pi2e.ch/. Noiz kontsultatua: 2018-03-06 .
  4.   1964-, Arndt, Jörg, (2001), Pi-unleashed, Springer, ISBN 9783540665724, PMC 45394279, https://www.worldcat.org/oclc/45394279 .
  5. (Ingelesez)  Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997-12-01), «The quest for PI», The Mathematical Intelligencer (1): 50–56, doi:10.1007/BF03024340, ISSN 0343-6993, https://link.springer.com/article/10.1007/BF03024340. Noiz kontsultatua: 2018-03-06 .
  6. (Ingelesez)  «Most Pi places memorised», Guinness World Records, http://www.guinnessworldrecords.com/world-records/most-pi-places-memorised. Noiz kontsultatua: 2018-03-06 .
  7. a b   «'Pi', une batez», Berria, 2015-03-14, http://www.berria.eus/hara/3660/pi_une_batez.htm .

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Wikimedia Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Pi (zenbakia) Aldatu lotura Wikidatan