Bellen zenbaki

Konbinatorian, Bellen zenbakiek multzo finituen partiketa kopurua adierazten dituzte. Bellen zenbakiak $B_{n}$ sinboloz adierazten dira, non $n$ zero edo handiagoa den zenbaki oso bat den. $B_{0}=B_{1}=1$ -etik hasita, honako hauek dira Bellen lehenengo zenbakiak:

$1,1,2,5,15,52,203,877,4140,21147,115975,...$

Honako hau, matematikoki "zaila dena", intuitiboki hobeto uler daiteke adibide bat emanez:

Pertsonen eta autoen arazoa.

Pentsatu $n$ pertsona ($n$ edozein zenbakia izanik) daudela eta, autoz bidaia bat egin behar dutela; argi dago, inor kanpoan utzi gabe. Galdera da: zenbat modutan egin dezakete bidaia hori? Galdera horrentzako erantzuna Bellen zenbakiek emango dute:

• $B_{0}=1$: Pertsonarik ez badago, aukera bakarra dago taldekatzeko: talderik ez egitea.
• $B_{1}=1$: Pertsona batekin, aukera bakarra dago ere: pertsona hori auto batean sartu.
• $B_{2}=2$: Bi pertsonekin, bi aukera daude: bakoitza bere autoan joatea, edo biak elkarrekin joatea auto batean.
• $B_{3}=5$: Hiru pertsonekin ($P_{1},~P_{2}$ eta $P_{3}$), aldiz, bost aukera daude:
  • Guztiak auto berdinean joatea.
  • Bi pertsona auto berean, eta geratzen dena beste auto batean. Guztira 3 aukera: $\{P_{1},P_{2}\}$ eta $\{P_{3}\}$, $\{P_{1},P_{3}\}$ eta $\{P_{2}\}$ edo $\{P_{2},P_{3}\}$ eta $\{P_{1}\}$,
  • Bakoitza bere autoan joatea.

Eric Temple Bell matematikariak haien inguruan 1930ko hamarkadan idatzi ostean haren izena jaso zuten, nahiz eta sustraiak Erdi Aroko Japonian dituzten.

Matematikoki, Bellen $n$-garren zenbakiak, $B_{n}$-k, $n$ elementu dituen $\Omega$ multzo bat azpimultzo disjuntuetan zatitzeko modu desberdinen kopurua adierazten du, edo baliokideki, $\Omega$ multzo horren gaineko baliokidetasun-erlazio kopurua. Matematikaren arlotik kanpo, $B_{n}$-k ematen du, adibidez, zenbat errima eskema ezberdin dauden $n$ lerroko poementzat.

Badute beste interpretazio bat ere, probabilitate-banaketen momentu gisa. $B_{n}$ ${\bar {x}}$=1 balioko Poissonen banaketaren  $n$-garren momentua da, hain zuzen ere.

Historia

Bellen zenbakiek Eric Temple Bellen omenez hartu zuten izena, Bellek idatzi baitzuen hauei buruz 1938an, Bellen polinomioak deituko zirenak aztertzen zituen 1934ko artikulu batean oinarrituta.  

Bellek asko lagundu zuen matematikaren garapenean. Adibidez, The Development of Mathematics liburua argitaratu zuen 1945ean, non ideia matematiko batzuen bilakaerari buruzko bertsio zabala eta interesgarria eskaintzen zuen.

Bellek ez zuen esan 1938ko bere idatzian zenbaki horiek aurkitu zituenik. 1938ko artikuluan soilik idatzi zuen zenbaki horiek "maiz ikertuak" eta "askotan berraurkituak" izan zirela. Horrez gain, zenbaki horiek matematikan duten garrantzia azpimarratu zuen.

Bellek zenbaki hauei "zenbaki esponentzialak" deitu zien; "Bellen zenbakiak" izena eta $B_{n}$ notazioa Becker eta Riordan-ek proposatu zuten 1948an.

Badirudi zenbaki hauen partiketei buruzko lehen zerrenda zehatza Erdi Aroko Japonian eskaini zela, (Genjiren ipuina liburu ospetsuak inspiratuta).

Genji-ko izeneko areto-joko bat asmatu zen, non gonbidatuek bost intsentsu-pakete jaso zituzten usaintzeko. Gero, gonbidatuei eskatu zitzaien asmatzeko zeintzuk ziren berdinak eta zeintzuk desberdinak euren artean.

Bost pakete horiekin, 52 irtenbide posible zeuden, Bellen $B_{5}$ zenbakiaren bidez kalkulatuta.

Irtenbide posible hauek 52 diagrama ezberdinen bidez erregistratu ziren, eta kapituluen izenburuen gainetik inprimatu ziren The Tale of Genji-ren(Genjiren ipuinaren) edizio batzuetan.

Bestalde, esan beharra dago XX.mende hasierako Srinivasa Ramanujan indiar matematikariak, bere bigarren koadernoan, ikertu zituela bai Bellen polinomioak bai eta Bellen zenbakiak ere.

Interpretazio geometrikoa

Multzo baten partiketa.

Orokorrean, $B_{n}\ n$ tamainako multzo baten partiketa kopurua adierazten du. $V\subseteq W$ multzoaren partiketa bat izango da baldin eta $V$ multzo hutsa ez bada; eta gainera, $S$-ren azpimultzo disjuntuez sortuta badago, non bere bildura $S$ bera den.

Adibideak.

$B_{0}=1$ da, zeren multzo hutsaren azpimultzo bakarra multzo hutsa bera da, hau da, $A\subseteq \emptyset \Longleftrightarrow A=\emptyset$.

$B_{3}=5$ da, hiru elementuez osatutako multzoa, $\{a,b,c\}$, 5 modu ezberdinetan banatu daitekeelako. Hain zuzen ere:

$\{\{a\},\{b\},\{c\}\}$

$\{\{a\},\{b,c\}\}$

$\{\{b\},\{a,c\}\}$

$\{\{c\},\{a,b\}\}$

$\{\{a,b,c\}\}$

Ikus daitekenez, aurreko multzoan erabilitako notazioarekin jarraituz; ez da kontuan hartu behar elementuen ordena, ezta partiketen ordena ere. Horren ondorioz, partiketa hauek guztiak berdinak dira:

$\{\{b\},\{a,c\}\}$

$\{\{b\},\{c,a\}\}$

$\{\{a,c\},\{b\}\}$

$\{\{c,a\},\{b\}\}$

Partiketen edota elementuen ordena kontuan hartuko balitz, orduan, partiketa kopurua Bellen zenbaki ordenatuak emango lukete.

Faktorizazioak.

$N$ zenbaki osoa, $n$ zenbaki lehen desberdinen biderketa bezala adierazi daitekenean, orduan, $B_{n}$ da $N$-ren partiketa biderkatu kopurua. Aurreko esanahi geometrikoaren antzera, bi faktoriazio berdinak izango dira baldin eta bere faktoreak berdinak badira ordena desberdin batekin.

Adibideak.

$N=30$ hartuz, $N=2\times 3\times 5$ izanik; orduan, $B_{3}=5$ da, zeren

$30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5$.

Permutazioak.

Bellen zenbakiak Gardnerren gehigarria-n aipatutako karta-sortaren problema batean agertzen dira. $n$ kartako karta-sorta bat kontuan hartzen bada, goiko karta behin eta berriz kendu eta karta-sortako edozein lekutan birtxertatuz, posizio berdinean uztearen aukera kontuan hartuz eta eragiketa hori zehatz-mehatz $n$ aldiz errepikatuz; orduan, $n^{n}$ karta-sorta egin daitezke. Horietatik, sortak jatorrizko ordena dutenak $B_{n}$ dira. Beste modu batean esanda, aurreko prozesua egiteko eta karta-sorta ordenatu bat izateko probabilitatea ${\dfrac {B_{n}}{n^{n}}}$ da.

Triangeluaren bidezko eskema

Bellen zenbakiak erraz kalkula daitezke Bellen triangelua sortuz. Aitkenen matrize edo Peirceren triangelu izenak ere jaso ohi ditu, Alexander Aitken eta Charles Sanders Peirceren ohorean.

Triangelua honako pausu hauek jarraituz eraikitzen da:

1. Hasi lehen lerroa. Honek elementu bakarra izango du: $x_{0,1}=1$
2. Lerro berri bat hasi. Lerro berri honen lehen elementua aurreko lerroko azken elementuaren berdina izango da,$x_{i,1}=x_{i-1,i}$
3. Lehen zutabean ez dauden elementuak kalkulatzeko nahikoa da ezkerretara dagoen elementua eta azken honek goian duen elementua batzearekin, $x_{i,j}=x_{i,j-1}+x_{i-1,j-1}$
4. Hirugarren pausua errepikatu lerro berriak aurreko lerroak baino elementu bat gehiago duen arte.
5. Lerro bakoitzeko lehen elementua lerro zenbaki horri dagokion Bell-en zenbakia da,$x_{i,1}=B_{i}$

Hona hemen triangeluaren lehen bost lerroak, pausuak jarraituz eraikia:

$x_{0,1}=1$

$x_{1,1}=1$ $x_{1,2}=2$

$x_{2,1}=2$ $x_{2,2}=3$ $x_{2,3}=5$

$x_{3,1}=5$ $x_{3,2}=7$ $x_{3,3}=10$ $x_{3,4}=15$

$x_{4,1}=15$ $x_{4,2}=20$ $x_{4,3}=27$ $x_{4,4}=37$ $x_{4,5}=52$

Ikus daitekeen bezala, $x_{0,1}=B_{0}$, $x_{1,2}=B_{1}$, $x_{2,3}=B_{2}$, $x_{3,4}=B_{3}$ eta $x_{4,5}=B_{4}$ betetzen da.

Propietateak

Batukari formulak

Bellen zenbakiek koefiziente binomialak dituen errekurtsibitate formula bat betetzen dute:

$B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k},\ \forall n\in \mathbb {N} \cup \{0\}.$

Errekurtsibitate erlazio hori hurrengo moduan azaldu daiteke: demagun $n+1$ elementu dituen $\Omega$multzo baten partiketa bat dugula. Baldin eta partiketa horretatik lehen elementua duen multzoa kenduz, $k$ elementu dituen partiketa txikiago bat bat lortzen da, $0\leq k\leq n$ izanik. Horrela, ${\binom {n}{k}}$ aukera ditugu geratzen diren lehenengo $k$ elementuetarako, eta, definizioz, $B_{k}$ aukera.

Bellen $n$-garren zenbakia bigarren motako Stirling zenbakien baturarekin erlazionatzen da:

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\lbrace {n \atop k}\right\rbrace ,\ \forall n\in \mathbb {N} .$

Bigarren motako Stirling zenbakiak $\left\lbrace \textstyle {n \atop k}\right\rbrace$ zera adierazten du: $n$ kardinaleko multzo baten partiketa kopurua adierazten du, zehazki $k$ azpimultzo ez-huts erabilita. Hortaz, aurreko berdintzan, ezkerreko partiketa bakoitza eskuineko gai baten (eta bakar baten) zenbatzen da.

2008an Michael Z. Spiveyk aurreko bi identitateak konbinatzen dituen formula bat eman zuen:

$B_{n+m}=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{m}\left\lbrace {m \atop j}\right\rbrace {\binom {n}{k}}j^{n-k}B_{k}.$

Transformatu binomiala $\{B_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ segidari aplikatuz,

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{n-k}B_{k+1},$

eta azken hori hurrengo moduan orokor daiteke:

$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{k}}B_{j+k}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}(-1)^{k-i}B_{n+i+1}.$

Lehen motako Stirling zenbakiak Bellen zenbakiak erlazionatzen dituen formula bat hurrengoa da:

$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right](-1)^{k-i}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-ak)^{n-j}B_{j+i}.$

$k=1$ hartuz, hurrengo moduan sinplifikatzen da:

$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}b^{n-j}B_{j}=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}a^{j}(b-a)^{n-j}B_{j+1}.$

Aldiz, $a=1$ eta $b=k$ hartuz,

$\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}k^{n-j}=\sum _{i=0}^{k}\left[{k \atop i}\right]B_{n+i}(-1)^{k-i}.$

Azken hori trasformatu binomiala lehen motako Stirlingen zenbakiek osatutako segidari aplikatuta bezala ikus daiteke.

Funtzio sortzailea

Bellen zenbakien funtzio sortzaile esponentziala

$B(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}$

da. Aurreko berdintzan, batugaiak zenbakien segida orokor baten funtzio sortzailea lortzeko formula da. Aldiz, berdintzaren eskuinaldeko gaina Bellen zenbakien funtzio sortzailea kalkulatzerakoan lortzen den adierazpen esplizitua da.

Bellen zenbakien funtzio sortzaile esponentziala ondoriozatzeko era alternatibo bat dago. Bellen zenbakien errekurtsibitate formulatik abiatuta, froga daiteke funtzio sortzaile esponentzialak

$B'(x)=e^{x}B(x)$

ekuazio diferentziala betetzen duela. Beraz, ekuazio hori ebatziz funtzioaren adierazpena lor daiteke.

Probabilitate banaketa

Bellen zenbakiek Probabilitate gaiarekin lortura dute, bereziki, Poissonen banaketarekin. Izan ere, Dobińskiren formula betetzen dute, hau da,

$B_{n}={\dfrac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {k^{n}}{k!}},\ \forall n\in \mathbb {N} .$

Formula hau funtzio sortzailea garatuz lor daiteke, funtzio esponentzialaren Taylorren seriea garatuz eta koefizienteak berdinduz. Horrela, Bellen $n$ garren zenbakia itxarotako balioa 1eko Poissonen banaketaren ngarren momentu gisa interpreta daiteke.

Aritmetika modularra

Bellen zenbakiek Toucharden kongruentzia betetzen dute: $p$ zenbaki lehena bada, orduan

$B_{p+n}\equiv B_{n+1}+B_{n}\mod p$

edo, orokortuago

$B_{p^{m}+n}\equiv mB_{+1}+B_{n}\mod p.$

Kongruentzia hori dela eta, Bellen zenbakiak periodikoak dira modulu $p$.

Bellen zenbaki lehenak

1978an Martin Gardnerrek Bellen zenbaki eta aldi berean zenbaki lehenak diren kopurua infinitua den ala ez planteatu zuen. Mota horretako zenbakiak Bellen zenbaki lehenak direla esaten da. Lehenengo seiak hurrengoak dira:

2, 5, 877, 27644437, 35742549198872617291353508656626642567, 359334085968622831041960188598043661065388726959079837,

Bellen $B_{2}$, $B_{3}$, $B_{7}$, $B_{13}$, $B_{42}$ eta $B_{55}$ zenbakiak izanik, hurrenez hurren. Bellen hurrengo zenbaki lehena (eta ezagutzen den Bellen zenbaki lehenik handiena) $B_{2841}$ da, gutxi gorabehera $9,30740105\times 10^{6538}$.

Ikus, gainera

• Toucharden polinomioak
• Catalanen zenbaki
• Stirling zenbaki
• Lehen motako Stirling zenbaki