Zenbaki lehen

Wikipedia, Entziklopedia askea
Zenbakiak matematikan
Zenbaki multzoak

Zenbaki arruntak
Zenbaki osoak
Zenbaki arrazionalak
Zenbaki irrazionalak
Zenbaki errealak
Zenbaki konplexuak
Zenbaki aljebraikoak
Zenbaki transzendenteak

Konplexuen hedadurak

Koaternioiak
Oktonioiak
Zenbaki hiperkonplexuak

Bestelakoak

Zenbaki kardinalak
Zenbaki ordinalak
Zenbaki lehenak
π = 3.141592654…
e = 2.718281828…
i unitate irudikaria
infinitua
Φ = 1,6180339887...

Zenbaki-sistemak

Zenbaki-sistema hamartarra
Zenbaki-sistema bitarra
Zenbaki-sistema hamaseitarra
Zenbaki-sistema zortzitarra

Zenbaki lehenak batez (1) eta bere buruaz bakarrik zatigarriak diren zenbakiak dira, eta zenbaki arrunten multzoaren azpimultzo bat osatzen dute. Aurreneko hogei zenbaki lehenak honakoak dira: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 eta 71. Bata ez da lehena, zatitzaile bakarra duelako, eta zeroa ere ez, zeroz zatigarri den zenbakirik ez dagoelako.

Zenbaki lehena izatearen propietateari primalitatea deritzo.

Zenbakien teoria aljebraikoan, zenbaki lehenak zenbaki arrazional lehenak bezala ezagutzen dira, zenbaki gaussiar primoetatik bereizteko. Primalitatea ez dago zenbaki-sistemaren mende, baina bai primalitatea aztertzen den eraztunaren mende. Bi lehengusu arrazionala da, baina gaussiar osoa bezalako faktoreak ditu: 2 = (1+i)* (1-i).

Zenbaki lehenen azterketa zenbakien teoriaren zati garrantzitsu bat da, zenbaki osoen propietateak, funtsean aritmetikoak, tratatzen dituen matematikaren adarra.

Zenbaki lehenak ehun urteko aieru batzuetan agertzen dira, hala nola Riemannen hipotesia eta Goldbachen aierua, Harald Helfgottek bere forma ahulean ebatzia.

Zenbaki lehenen banaketa zenbakien teoriaren ikerketa errepikakorra da: zenbaki bakanak kontuan hartuz gero, zenbaki lehenak modu probabilistikoan banatuta daudela dirudi, baina zenbaki lehenen banaketa "globala" ongi definitutako legeetara egokitzen da.

Aritmetikaren oinarrizko teoremak, edozein zenbaki arrunt positiboren faktorizazioa lehenen bidez egin daitekeela baieztatzen du; halaber, faktorizazio hau bakarra dela.

Zenbaki lehenak mugagabeak dira, hau da, infinituak . Horren froga ad absurdum-en metodorarekin egiten da:

Demagun zenbaki lehen handiena dagoela P. Kontuan har dezagun P!=[P*(P-1)*(P-2)...*2*1]. P!+1 eta P!-1-ei P baino txikiago den zenbaki lehena ezin izango dio zatiketa zehatza egin. Hortaz, P baino lehen handiagoak daude, frogatu nahi genuenez.

Zenbaki arrunt bat lehena ez bada, konposatua izango da, n zenbaki arrunt bat izanik non , motakoa den.

Erabilpenak matematikan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki konplexuen azterketan, "Lehengusu erlatiboen" kontzeptura jotzen da unitatearen erro primitiboak definitzeko.

Gorputz finitu baten definizioan, eraztun baten elementu kopurua, oso lehena izatea eskatzen da. Kasu horretan, zero kenduz gero, elementu bakoitzak alderantzizko biderkatzailea du eta gorputz baten egitura lortzen da.56

N aldeko poligono izartsu baten definizioan, m eta m arteko puntuak hartzeko, m n/2 baino txikiagoa izatea eskatzen da, baita lehen zatia ere (n.57).

Zenbaki arrazional baten ordezkari kanonikoa definitzean, zenbaki osoen bikote ordenatuen baliokidetasun motak erabiliz, nahitaez, definitutako bikote ordenatuak bi lehengusu erlatibo oso tartean sartu behar ditu. A fortiori, gutxienez horietako bat, lehengusu absolutu bat.

Erabilpenak konputazioan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

RSA algoritmoa gako publikoa lortzeko bi zenbaki handi (10100 baino handiagoak), lehenak, biderkatu behar dira. Algoritmo honen segurtasuna konputagailu tradizionalak erabiliz zenbaki handi bat faktorizatzeko modu azkarrik ez ezagutzean datza.

Ezagutzen den zenbaki lehen handiena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

14 urteko saiakeren ondoren, Estatu Batuetako ingeniari batek ezagutzen den zenbaki lehenen handiena aurkitu zuen.

M77232917 bezala soilik ezagutzen dena, zenbakiak 23 milioi digitu baino gehiago ditu (2016ko aurreko errekorra baino ia milioi bat gehiago).

Aurreko aurkikuntzen moduan hau ere Mersenneren zenbaki lehena da: 2 zenbakia 77.232.917rekin berretuz eta bat kenduz lortu zen.

Zenbaki lehen berriak aurkitzeko metodoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki bat lehena den ala ez jakiteko, zenbaki hori baino txikiagoak diren zenbaki guztien arabera ordenatuta banatzen da. Zatiketa zehatzik gertatu gabe, zatitzailea baino zatidura txikiagoa edo berdina lortzen denean, zenbakia lehena dela baiezta dezakegu. Aurkitu diren azken zenbaki lehenak oso handiak dira, hau da, digitu pila dute. Hori dela eta, zaila da hurrengo zenbaki lehen handienak aurkitzea, potentzia konputazional handia behar baita.

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbakiak bitan banatuta bi zenbaki mota ditugu: bakoitiak eta bikoitiak. Bikoitietan zenbaki lehen bakarra dago, 2 .

Orain zenbakiak hirunaka hartuz gero, hiru motatakoak ditugu:

  • 3n erakoak (3,6,9,12, ...)
  • 3n+1 erakoak (4,7,10,13, ...)
  • 3n+2 erakoak (2,5,8,11, ...)

Argi dago lehenengo multzoan zenbaki lehen bakarra dagoela, 3, baina beste bietan ezin da hain argi ikusi. Orduan, orain launako hartuko ditugu:

  • 4n erakoak ( 4,8,16,20,...) 2-ren multiploak
  • 4n+1 erakoak (5,9,17,21, ...)
  • 4n+2 erakoak (6, 10, 18, 22, ..) 2-ren multiploak
  • 4n+3 erakoak (7, 11, 17,21, ...)

Argi dago lehenengo eta hirugarren multzoetan zenbaki lehen bakarra dagoela, 2. Baina beste biekin berriro dago arazo bera, batek bakarrik ditu infinitu zenbaki lehen ala biek?

Gai orokorra a+nd motakoa da ,segida aritmetikoa. Badakigu zenbaki batek a eta d zatitzen baditu beste guztiak ere zatituko dituela eta zatitzaile hori 1 baino handiago baldin bada, segidan ez da zenbaki lehenik egongo edo a izango da bakarra. Hori gertatzen bada ziurtatu dezakegu segidako zenbaki lehenen kopurua infinitua dela? Galdera horren erantzuna Legendre matematikariak hasi zuen eta beranduago Lejeune-Dirichletek frogatu zuen.

Zenbaki lehenen progresio aritmetikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki lehenak segida aritmetikoetan izenburuarekin antza handia duen arren, ez da gauza bera. Zenbaki lehenak segida aritmetiko batean egongo direla argi geratu da, bai, baina segida horretan hurrenez hurren agertzea eskatuko diegu. Hau da, zenbaki lehenen zerrenda bat nahi dugu non bakoitzetik hurrengora dagoen aldea konstantea den. Erraz ikusten da zerrenda finituak soilik espero ditzakegula, hori da hain zuzen ere progresio aritmetiko terminoa erabiltzearen arrazoia.

Adibidez, 3-5-7 edo 7-13-19 hiru gaiko progresio aritmetikoak dira. Kateak luzeagoak egin daitezke? 5-11-17-23-29 erraz aurkitzen da zenbaki lehen txikien artean boskote hori. Eta gehiago? 7-37-67-97-127-157 da seikoterik txikiena.

Oso zaila da progresio "luzeak" aurkitzea. Hamar gaiko zerrenda txikiena, adibidez, hau da: 199-409-619-829-1039-1249-1459-1669-1879-2089.

Honako galdera hauek ekar ditzakegu burura:

  1. k emanda, badago k luzerako zenbaki lehenen progresio aritmetikorik?
  2. baiezkoan, kopuru finituan ala infinituan?

Ez dakigu galderak noizkoak izan daitezkeen, hala ere, XX.mende arte ez da horren idatzirik agertu. 1923an Hardy eta Littlewood ingelesek aieru hau egin zuten: edozein k-tarako progresioak badaudela, eta kopuru infinituan. 1939an van der Corput matematikari holandarrak eman zuen lehen emaitza: k = 3-rako infinitu progresio daude.

Denbora aurrera joan ahala, ez zen aurrerapenik egin eta k=4-rako ere ez zen ezagutzen progresio-kopurua infinitua zen edo ez. Aurrerapen digitalekin, ordenagailuen kalkulu-ahalmena handitzen joan da eta geroz eta k handiagoetarako aurkitu dituzte progresio aritmetiko zehatzak. Dena den, orain arte aurkitu diren progresio aritmetiko luzeenek 27 gaikoak baino besterik ez dira, 2019an 18 zifrako zenbaki lehenekin lortu zuten.

Goldbachen aierua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

1742an Christian Goldbachek eskutitz bat igorri zion Eulerri.

Bertan zenbaki bikoiti guztiak (4-tik aurrera) bi zenbaki lehenen batuera modura idatz daitezkeela frogatzeko eskatu zion, eskuz egiazta daitekeen zerrenda luze batek haren alde egiten zuela eta. Eulerrek ezin izan zuen frogatu, eta gaur egun ere, inor ez da gai izan frogatzeko. Hori dela eta, Goldbachen aierua deitzen zaio.

Horren frogak honako honen froga emango luke: zenbaki bakooti guztiak (7-tik aurrera) hiru zenbaki lehenen batura modura idatz daitezke. Baina hori frogatzeak ez luke aurrekoa frogatuko, horregatik, Goldbachen aieru ahula deitzen zaio.

1937an Vinogradov matematikari errusiarrak hau frogatu zuen: zenbaki batetik gorako bakoiti guztiak hiru zenbaki lehenen batura modura idatz daitezkeela. Ia-ia Goldbachen aieru ahula lortu zueb, baina ezinezkoa zen muga horren azpikoak banan-banan egiaztatzea, ezta ordenagailuz ere. Metodoak hobetuz, 2013an Harald Helfgott peruarrak muga hori nahikoa jaitsi zuen hortik azpikoak egiaztagarriak izateko moduan eta horrela guztiz frogatu zuen Goldbachen aieru ahula.

1966an Jing Run Chen-ek honako hau frogatu zuen bikoitietarako: 2k=p1+p2p3 idatz daiteke, non p1 eta p2 lehenak diren, eta p3=1 edo lehena. Bistan denez, p3-ri lehena izateko aukera kendu behar zaio, baina inor ez da gai izan hori egiteko.

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]