Espazio bektorial baten dimentsioa

Espazio bektorial baten dimentsioa (espazio bektorial baten Hamel dimentsioa ere deitua, Hilbert espazioen kasuan Hilbert dimentsiotik bereizteko) espazio bektorialaren [Hamel] oinarri bat osatzen duten bektore kopurua da.

Sarrera

Espazio bektoriala emanda,$V$espazio bektorial baten $S$ bektore multzoak har daitezke eta propietate hauetakoren bat duten aztertu dezakezu:

1. Independentzia lineala $S\subseteq V$ bektore multzo bat linealki independentea dela esaten da , baldin eta edozein bektore kopuru finitutarako hau betetzen bada:

${\begin{matrix}\dim _{\mathbb {C} }P&=&1\\\dim _{\mathbb {R} }P&=&2\end{matrix}}$

Kontuan izan $n$ dimentsio finituko espazio bektorial batean, linealki independenteak diren bektoreen kopuru maximoa $n$ da.

1. Multzo sortzailea, $L$ azpiespazio lineal bat emanda $S$ multzo bat $L$-ren multzo sortzailea dela esaten da, hau betetzen bada:

$\lambda _{1}v_{1}+\lambda _{2}v_{2}+\dots +\lambda _{n}v_{n}=0\Rightarrow \lambda _{1}=\lambda _{2}=\lambda _{n}=\dots =0,\quad v_{i}\in S,\lambda _{i}\in \mathbf {K}$

Kontuan izan m elementuen multzo finitu batek gehienez m dimentsioko L azpiespazio bat sor dezakeela.

Linealki independentea (1) eta espazio bektorialaren sortzailea den multzoa (2) oinarri bektoriala dela esaten da. Steinitz trukearen teorema-k aukera ematen digu espazio bektorial baten oinarri guztiak elementu kopuru bera duten multzoak direla (hau da, kardinal bera duten multzoak). Eta edozein oinarritako elementuen kopuru arrunta espazio bektorialaren dimentsioa da, hain zuzen ere.

Kontuan izan datu garrantzitsu bat, eskalarren gorputza aldatzen bada, $\mathbb {R}$-tik $\mathbb {C}$-ra, orduan $M$ puntu bera $z_{M}=x+y{\text{i}}$ zenbaki konplexuak zehaztuko du, hau da, parametro bakar baten bidez.

$P$ Plano errealaren dimentsioa 1 da $\mathbb {C}$-n eta bi $\mathbb {R}$-n:

$x\in L\Leftrightarrow \exists \mu _{1}\dots \mu _{n}:x=\mu _{1}v_{1}+\dots \mu _{n}v_{n},\quad v_{i}\in S,\mu _{i}\in \mathbf {K}$

Plano erreal bat, beraz, lerro konplexu bat da. Plano konplexua apelazioa koordenatuen idazkera konplexua ( $x+y{\text{i}}$, $(x,y)$-ren ordez) duen plano erreal bat izendatzeko okerra da, baina oso ohikoa.

Bizigiro-espazioa hiru dimentsiokoa da eta, beraz, hiru erreal behar ditu $(x,y,z)$ puntu bat definitzeko. Ezin da $\mathbb {C}$-ko espazio gisa hartu.

Erlatibitatearen teorian, laugarren aldagai bat gehitzen da: denbora eta puntu bat $(x,y,z,t)$ lau dimentsioko espazio horren gertaera bati dagokio (koordenatuek non eta noiz gertatu den esaten digute).

Egungo teoria batzuetan, fisikariek hamaika dimentsioko espazio-eredu batean lan egiten dute, baina zenbaki osoen multzoan, eta ez errealetan. $\mathbb {Z}$ zenbaki osoen multzoa ez denez gorputza eraztun bat baizik, espazioa ez da bektoriala (modulu bat dela esaten da). Hala ere, dimentsioaren definizioak balio du halako espazioetan. Adibide honetan, dimentsio gehienak euren inguruan kiribiltzen dira, sugeak isatsa hozka egiten duen bezala. Bere kurbadura izugarria da, bere erradioa mikroskopikoa baita, nukleo batena baino txikiagoa. Espazio bektorialek ez dute kurbadurarik.

Definizio formala

Formalkiago espazio bektorial baten dimentsioa espazio horren oinarri bektorial baten kardinal gisa definitzen da. Hautapenaren axiomaren arabera, espazio bakoitzak oinarri bat du ($\{0\}$espazioa ere bai, hutsa oinarri bat baita), eta Steinitz-en trukearen teoremak erakusten duenez, oinarri bektorial finitu guztiek kardinal bera dutela eta hori kardinal infinituetara heda daitekeela Löwigen teorema bidez, orduan dimentsio kontzeptua ondo definituta dago. Aipatzekoa da dimentsio finituko nahiz dimentsio infinituko espazio bektorialak daudela (aldagai baten polinomioen espazio bektorialak, adibidez, $\aleph _{0}$ dimentsioa du).

Espazio baten dimentsioa ere bat dator honako bi kardinal hauekin:

• Espazio horretako bektore linealki independenteen gehienezko kopurua.
• Espazio osorako multzo sortzaile bat osatzen duten bektore kopuru minimoa.

Azpiespazio baten dimentsioa

Definizioa berdina izaten jarraitzen du azpiespazio baten kasuan, baina badago kalkulatzeko metodo jakin bat azpiespazioa sistema bektorial batek sortutako espazio gisa definitzen denean. Ikus dezagun adibide batean. $\mathbb {R} ^{3}$ espazioan, izan bektore hauek:

$u={\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}},v={\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}},w={\begin{pmatrix}-3\\5\\4\end{pmatrix}}{\mbox{ y }}n={\begin{pmatrix}4\\5\\-7\end{pmatrix}}$

Lau bektore ezin dira independenteak izan $\mathbb {R} ^{3}$-n, beraz, mendekotasun erlazioak egon behar dira:

$x{\begin{pmatrix}1\\3\\-2\end{pmatrix}}+y{\begin{pmatrix}-2\\1\\3\end{pmatrix}}+z{\begin{pmatrix}-3\\5\\4\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}4\\5\\-7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

matrize moduan idatz daitekeena:

${\begin{pmatrix}1&-2&-3&4\\3&1&5&5\\-2&3&4&-7\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Deitu dezagun $A$ aurreko matrizeari, eta $c$ zutabe betoreari. Erlazio horrek $c$ bektorea $A$-ren nukleokoa dela esan nahi du, ${\text{Ker}}(A)$ adierazten dena ( Kern alemanetik, nukleoa). Sortutako espazioa hauen multzoa da

$xu+yv+zw+tn$ ,

hau da, $Ax$-ena: $A$-ren irudia da.

Intuitiboa da nukleoa zenbat eta handiagoa izan, orduan eta txikiagoa da irudia, dimentsioei dagokienez. Zehazki, bere irudiaren dimentsioari A-ren heina deitzen badiogu: ${\text{rg}}(A)={\text{dim}}({\text{Im}}~A)$, erlazio hau dugu (heina-deuseztasunaren teorema deritzona):

${\text{rg}}(A)+{\text{dim}}({\text{Ker}}~A)={\text{dim}}(E)$ ( $E$ : $A$.ren sarrerako espazioa, hemen $E=\mathbb {R} ^{4}$).

Bila dezagun ${\text{dim}}({\text{Ker}}~A)$ :

$\left\{{\begin{matrix}(I)&x-2y-3z+4t=0\\(II)&3x+y+5z+5t=0\\(III)&-2x+3y+4z-7t=0\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}(I)&x-2y-3z+4t=0\\(IV)=(II)-3(I)&7y+14z-7t=0\\(V)=(III)+2(I)&-y-2z+t=0\end{matrix}}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}(I)&x-2y-3z+4t=0\\(IV)/7&y+2z-t=0\\-(V)&y+2z-t=0\end{matrix}}\right.$

Bi ekuazio ez proportzionalak geratzen dira, beraz independenteak, eta bakoitzak 1 kentzen dio dimentsioari, hasieran 4 balio duena. Beraz ${\text{dim}}({\text{Ker}}~A)=2$ .

Hala ere, beste era batera esan daiteke: Bi ekuazioek $z$ eta $t$-ren funtzioan $y$ adierazteko aukera ematen digute, eta gero $x$, beraz, bi aldagai libre besterik ez dira geratzen, eta dimentsioa 2 da.

Formula aplikatuz: ${\text{rg}}(A)=4-2=2$ . Azpiespazioa plano bat da.

Grassmann Dimentsioen Formula

Artikulu nagusia: «Grassmann-en formula»

$U_{1}$ eta $U_{2}$ Dimentsio finituko espazio bektorial baten bi azpiespazio badira, honako hau betetzen du:

${\mbox{dim}}(U_{1}+U_{2})={\mbox{dim}}\ U_{1}+{\mbox{dim}}\ U_{2}-{\mbox{dim}}(U_{1}\cap U_{2})$

Adibideak

• Euklidear espazio bakoitzak dimentsio finitua dauka $\mathbb {R}$-n.
• $\mathbb {C}$ Zenbaki konplexuen multzoa 1 dimentsiokoa da $\mathbb {C}$-n, hau da, $\mathrm {dim} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1$ Hala ere, $\mathbb {R}$-n 2 dimentsiokoa da, $\scriptstyle \mathrm {dim} _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ .
• $\mathbb {H}$ Hamiltonen kuaternioien multzoak, $\mathrm {dim} _{\mathbb {R} }(\mathbb {H} )=4$ eta $\mathrm {dim} _{\mathbb {C} }(\mathbb {H} )=2$ betetzen du.
• $\mathbb {K}$ gorputz bat emanda, ondoko multzoak:

$\mathbb {K} ^{n}=\underbrace {\mathbb {K} \times \dots \times \mathbb {K} } _{n}$

$\mathrm {dim} _{\mathbb {K} }\left(\mathbb {K} ^{n}\right)=n$ betetzen du.

• Gorputzaren egiturarekin osatutako $\mathbb {K}$ multzo guztia 1 dimentsioko espazio bektoriala da bere baitan. $\mathbb {K} _{1}$Azpigorputza hartzen bada orduan jatorrizko gorputza azpigorputzaren gaineko espazio bektoriala da. $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} _{1}$-ren aljebra--hedapena bada orduan jatorrizko gorputzaren dimentsioa azpigorputzaren gainean finitua da.
• ${\mathcal {M}}_{n\times n}(\mathbb {K} )$ Matrizeen multzoa $n^{2}$dimentsioko espazio bektoriala da.
• $\mathbb {K} [X]$ polinomioen espazio bektoriala dimentsio infinitua du $\mathbb {K}$-n, zehazki, $\mathrm {dim} _{\mathbb {K} }(\mathbb {K} [X])=\aleph _{0}$ .
• $\mathbb {R}$ zenbaki errealen multzoak 1 dimentsioa du eskalarren gorputzatzat hartzen denean, baina zenbaki errealen azpigorputz zenbagarri bat kontuan hartzen bada, adibidez, $\mathbb {Q}$ zenbaki arrazionalak orduan dimentsioa infinitua da (ez zenbagarria), zehazki, $\mathrm {dim} _{\mathbb {Q} }(\mathbb {R} )=\aleph _{1}$ .

• Gannon, Terry. (2006). Moonshine beyond the Monster: The Bridge Connecting Algebra, Modular Forms and Physics. ISBN 0-521-83531-3..

Kanpo estekak

• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang MIT OpenCourseWare-n

• Datuak: Q929302
• Multimedia: Dimensions / Q929302