Artikulu hau "Kalitatezko 1.000 artikulu 12-16 urteko ikasleentzat" proiektuaren parte da

Higidura paraboliko

Wikipedia, Entziklopedia askea
Jump to navigation Jump to search

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoa.

Zinematikan, higidura parabolikoa deritzo gorputz puntual batek ibilbide parabolikoa osatzean daukan higidurari. Airera jaurtitzen diren proiektilen higidurari dagokio eta horregatik tiro parabolikoa ere esaten zaio. Bi norabide perpendikularretan gertatzen diren bi higiduren konposizioaz sortzen dela kontsidera daiteke: higidura zuzen uniformea norabide batean eta higidura zuzen eta uniformeki azeleratua bestean. Izatez, higidura parabolikoa eredu teoriko bat da, airearen marruskadurarik gabe gorputzek izango luketen higidura deskribatzeko.

Iturrietako ur-txorrotaden ibilbide parabolikoak.

Airera jaurtitako objektuek duten higiduraren hurbilketa teorikoa dela esan dezakegu. Proiektil edo pilota batek airean duen ibilbidea aztertzean, parabolaren antzeko forma duela ohartzen gara, eta horrela litzateke airearen marruskadurarik ez balego. Higidura plano bertikal batean gertatzen dela suposa dezakegu, eta ibilbidea plano horretako norabide horizontalean eta norabide bertikalean deskonposatu ohi dugu: norabide horizontalean higidura zuzen eta uniformea izango du, eta norabide bertikalean, higidura zuzen baina azeleratua izango du, hain zuzen ere, grabitatearen azelerazioz. Bestalde, lurrazaletik hurbil gertatzen diren objektuen higidurari “tiro parabolikoa” edo “proiektilen ibilbide balistikoa” deritzo askotan. Higidura mota hau interes handikoa izan da garai batean arlo militarrean, kanoiek jaurtitako proiektilen ibilbideak kalkulatzeko.

Dena den, zehatzago hitz eginez, atmosferaz kanpoko espazioan Lurraren eremu grabitatorioetan higitzen diren gorputzek mugimendu eliptikoak egiten dituzte; esate baterako, horrelakoa da Lurraren inguruan biraka dabiltzan satelite artifizialek egiten dutena. Hala ere, lurrazaletik hurbil gertatzen diren higidurak aztertzean (pilota batek edo proiektil batek dituztenak), zenbait hurbilketa egin daitezke eredu teorikoan, eta orduan higidura parabolikoa dutela kontsidera daiteke.

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoaren ezaugarriak Lurrean[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Higidura parabolikoa bi mugimenduren konposizio gisa kontsidera daiteke: batetik higidura horizontal zuzen uniformea eta bestetik higidura bertikal zuzen uniformeki azeleratua, azken honen azelerazioa grabitatearena izanik. Higidura parabolikoa plano batean gertatzen denez, bertan erreferentzia-sistema kartesiarra erabili ohi da, eta higidura hau analitikoki aztertzean, higidura horizontal uniformea abzisen ardatzean deskribatzen da eta higidura bertikal azeleratua ordenatuen ardatzean.

Marruskadurarik gabeko eta eremu grabitatorio uniformedun egoeretan, ezaugarri bereizgarri hauek ditu higidura parabolikoak:

  • Erortzen uzten den objektu batek eta horizontalki altuera berdinetik jaurtitzen den beste objektu batek denbora berdinak behar dituzte lurrazalera heltzeko.
  • Higidura masaren balioarekiko independentea da. Hasierako baldintza berdinak dituzten edozein masatako gorputzek higidura berdinak dituzte.
  • Bertikalki jaurtitzen den objektu batek eta puntu (edo altuera) beretik horizontalki hasita higidura parabolikoaz erortzen den beste objektu batek, biek ala biek, denbora berdinak behar dituzte ibilbidea osatzeko plano horizontal berera iristeko.
  • Lurretik hasi eta altuera maximora heltzeko behar den denbora eta handik lurrera itzultzeko behar den denbora berdinak dira.

Higidura parabolikoaren ekuazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Marruskadurarik gabeko higidura parabolikoaren hasierako baldintzak eta abiaduraren eta azelerazioaren osagaiak zenbait puntutan

Kontuan izanik Lurraren grabitatearen eraginpeko higidura parabolikoa plano bertikal batean gertatzen dela, higidura hori analitikoki aztertzeko erreferentziarako plano bertikal kartesiarra erabiliko dugu: ardatz horizontala eta ardatz bertikala aukeratuz. Alboko irudian ageri denez, norabide horizontaleko bektore unitarioa izango da (irudian eskuineranzko noranzkoaz), eta norabide bertikalekoa, (goranzko norankoaz).

Azelerazio konstantea, grabitatearena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Azelerazioak osagai bakarra izango du, grabitatearena hain zuzen, eta konstantea da ibilbide osoan. Balio hau du:

Osagai hau norabide bertikalari dagokio eta beheranzkoa da; hortik zeinu negatiboa. Azelerazioa konstantea izateak erraztu egingo du higiduraren analisia, abiaduraren balioa integrazioz lortzeko. Baina horretarako, lehenik eta behin higiduraren hasierako baldintzak zein diren finkatu beharko dugu.

Hasierako baldintzak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kalkuluak sinplifikateko, partikularen abiapuntua koordenatu-sistema kartesiarraren jatorri-puntua izan dela kontsideratuko dugu. Hortaz:

Eta objektuaren hasierako abiadura honako hau izango da:
non hasierako abiaduraren modulua den, eta hasierako abiaduraren eta ardatz horizontalaren arteko angelua. Hortaz, hasierako abiadurak bi osagai hauek ditu:

  • , hasierako abiaduraren osagai horizontala,
  • , hasierako abiaduraren osagai bertikala.

Beraz, hasierako abiadura honelaxe adieraz daiteke bektorialki:


Abiaduraren ekuazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ibilbide parabolikoa duen objektuaren aldiuneko abiadura kalkulatzeko, azelerazioaren definizioari dagokion ekuazio hau bektorial integratu behar da:

Hortik, eta bitartean integratuz, aldiuneko abiaduraren bi osagaiak lortuko ditugu:
Agerikoa denez, abiaduraren osagai horizontala konstantea da; eta osagai bertikala, uniformeki azeleratua, beherantz (hortik zeinu neagitboa). Guztira, abiadura bektorea honako hau da, denboraren funtzio modura emanik:

Posizioaren ekuazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Abiaduraren ekuaziotik abiatuz, posizioaren ekuazioa ere zehaztu daiteke ondoko ekuazioa integratuz:

betiere kontuan izanik abiapuntuko posizioa dela. Lehenengo mailako ekuazio diferentziala da hau ere, eta beraren soluzioa hauxe da:

Ekuazio bektorial hau osagaietan bananduz, hauexek dira posizioaren bi osagai kartesiarrak:

Bi ekuazio horietatik denbora eliminatuz ( aldagaia), ibilbidearen ekuazio kartesiarra lortzen da:

Agerikoa denez, hori bigarren ordenako kurba baten ekuazioa da plano bertikalean, parabola batena hain zuzen ere. Horixe da ibilbide parabolikoaren ekuazio geometrikoa.

Objektuak lortuko duen altuera maximoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Gorantz abiatutako higidura parabolikoan, interesgarria da jakitea zein izango den objektuak lortuko duen altuera maximoa. Puntu hori parabolako tontorra da: aurreko irudiko puntua. Bertan, abiadura bektorea horizontala izango da; bestela esanda, abiaduraren osagai bertikala nulua izango da:

Beraz, aurreko atalean lorturiko osagai bertikalaren adierazpenean balio hori ordezkatuz,
izango dugu eta hortik kalkula dezakegu zein aldiunetan, th, iristen den bertara:
Eta balio hori koordenatuaren ekuazioan ordezkatuz:
Horixe izango da objektuak lortuko duen altuera maximoa. Bistakoa denez, balio maximoa denean lortuko da; hau da, objektua bertikalki jaurtitzen denenan gorantz, edo gauza bera dena, denean.

Objektuak lortuko duen distantzia horizontala. Tiro parabolikoaren irismena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Distantzia horizontala lortzeko, kontuan izan behar dugu puntu hori y ordenatu nuluari dagokiola, alegia, bertan izango dela. Aurreko atal batean lorturiko formula hau erabiliz,

Puntu horretara objektua zein aldiunetan iristen den kalkula dezakegu:
Eta aldiune horri dagokion abzisa kalkulatuz, abzisa hori izango da, hain zuzen, objektuak lortuko duen distantzia horizontala:

Hutsean, hasierako 10 m/s-ko abiaduraz jaurtiriko projektilen ibilbideak. Puntuak 0,05 s-ko tarteei dagozkie.


Kasu honetan ere, distantzia horizontala hasierako abiaduraren inklinazioaren menpekoa da, hots, angeluaren funtzioa. Distantzia horri tiro parabolikoaren irismena deritzo.

Irismen maximoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Irismenaren balio maximoa sinu funtzioaren balio maximoarekin gertatzen da, hau da, sinuak balio duenean.

Hortaz, irismen maximoa gertatzen da hasierako abiadura bektorearen norabideak -ko angelua osatzen duenean norabide horizontalarekin. Kasu horretan hauxe da irismenaren balioa:

Higidura parabolikoaren deformazioa airearen marruskaduraren kausaz; jaurtitze-angelua, Kolore beltzez, marruskadurarik gabe. Urdinez, Stokesen arrasteaz. Berdez, Newtonenen arrasteaz.

Airearen marruskadura kontuan hartuz sortzen den ibilbide balistikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Atal honetan kontuan izango dugu objektuak atmosferako airearekin duen marruskadura. Fenomeno konplexua den arren, hurbilketa sinplea egingo dugu arazoa kualitatiboki azaltzeko eta orain arte aztertu dugun marruskadurarik gabeko ibilbide parabolikoan horrek izango duen eragina ulertzeko. Aireak higidurari jartzen dion erresistentzia arraste-koefizientea deritzon parametro baten bidez adierazi ohi da, eta lehenengo hurbilketa batean kontsideratuko dugu marruskadura-indarra abiaduraren proportzionala dela. Hurbilketa hori bakarrik da egokia Reynolds zenbakiaren balio txikietarako (1000 baino txikiagoak), eta hori abiadura txikietan gertatzen da soilik; abiadura handiagoeterako airearen kausazko erresistentzia-indarra abiaduraren karratuaren proportzionala da.

Hori dela eta, ibilbide parabolikoa deformatu egiten da, gorputzak moteldu egiten baitu bere abiadura; ondorioz, ibilbidearen formak parabola baten antza duen arren, baxuagoa eta laburrago gertatzen da norabide horizontalean, forma ia-parabolikoa hartuz.

Ikus gainera[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bibliografía[aldatu | aldatu iturburu kodea]