Oinarrizko aljebra

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Matematikan, oinarrizko aljebra ikasleei irakatsitako aljebrako hasierako gaiak barne hartzen ditu, aritmetika ikasi eta gero, gehienetan adierazpen aljebraikoak laburtu, garatu edo kalkulatzearekin eta ekuazio sinpleak ebaztearekin loturik. Aritmetikan zenbakiekin aritzen den bitartean, oinarrizko aljebran aldagaiak adierazten dituzten \scriptstyle{x}, \scriptstyle{y} eta bestelako letra, ikur edo kopuru abstraktuak erabiltzen ere ikasten da. Konplexuagoa den eta matematiketan funtsezkoa den aljebra abstraktutik bereizi behar da.

Eragiketa aljebraikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eragiketa aljebraikoak adierazpen aljebraikoak eratzeko erabiltzen direnak dira.

Eragiketa aljebraikoak
Eragiketa Ikurra Adibidea
Batuketa + 2+3=5
Kenketa - 6-2=4
Biderketa ×, •, ondoratuz (aldagaietarako) 5×2=10, 5•2=10, y+y=2×y=2y
Zatiketa  :, / , ÷ 6:2=3, 6/2=3, \scriptstyle{\frac62=3}
Berreketa \scriptstyle{a^b} (a ber b) \scriptstyle{2^3}=2 \times 2 \times 2 =8
Erroketa \scriptstyle{\sqrt[n]{k}} (n erro k) \scriptstyle{\sqrt[3]{8}=2}, \scriptstyle{2^3=8} baita.

Adierazpen aljebraikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adierazpen aljebraikoak eragiketa aljebraikoez (+,-,×,/, berreketa eta erroketa) lotutako konstante eta aldagai segida da, zenbakiz eta letrez adierazita. Adibidez:


4x^2\ \ \ ; \ \ \ 10x+y\ \ \ ; \ \ \ \sqrt{5+xz}\,


Adierazpen aljebraikoak helburu ezberdinekin eratzen dira:

  • ekuazioak osatzeko (adibidez 7x=21\,); berdin (=) ikurrak adierazten du bi aldetan dauden bi adierazpen aljebraikoek balio berbera irudikatzen dutela;
  • formula hainbat aldagai (letraz adierazita) dituen berdintza bat da, eta letra horiek zenbakiz ordeztuz, balio bat kalkulatzen da (ezkerreko atalak, askotan, letra bakarra izaten du, formula izendatzeko): V=M/d\,
  • identitatea bi adierazpen aljebraikoren berdintza da, balio guztietarako egiaztatzen dena; adibidez, a+b+3a=4a+b\,.

Aldagaiak letraz adierazten dira eta kopuru abstraktu ezezagun edo zehaztugabea adierazten dute. Adibidez, x gela bateko ikasle kopuru ezezaguna izan daiteke eta y ogiaren salneurria.

Adierazpen aljebraikoen gaiak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adierazpen aljebraikoak gai ezberdinetan banatzen dira. Adibidez, 4x^2+5xy-4y+6\, adierazpenak lau gaitan banatzen da: <math4x^2\,</math>, +5xy\,, -4y\, eta +6\,.

Erregela orokor moduan eta hitzarmenez, gai bakoitzean aurretik zenbakiak eta ondoren letrak jartzen dira. Adibidez <math4x^2\,</math> idazten da (4 bider x2) eta ez x^24\,.

Adierazpen aljebraiko sinpleena monomio bat da, konstante eta aldagaien biderketaz eta zenbaki osozko berreketaz osaturiko gai bakarreko adierazpen aljebraikoa alegia. Adibidez, 4x^2\,, y^5\,, xy\, monomioak dira. Aitzitik, 4x^{\frac12}\, ez da monomio bat berretzailea zenbaki osoa ez delako. Bi monomioen batuketaz (edo kenketaz) binomioa sortzen da. Hiru monomioen batuketaz trinomioa sortzen da. Monomio batzuk batu edo kentzen badira, polinomioak sortzen dira. Adibidez, 6x^4+4x^2+6x+2\, polinomio bat da. Monomioak, binomioak eta trinomioak ere polinomioak dira.

Gaiak eta zeinuak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Gaiak positiboak zein negatiboak izan daitezke. Adibidez, \scriptstyle{4x} gaia positiboa da, aurrez zeinurik ez badago positibotzat hartzen baita. \scriptstyle{+5xy} ere positiboa da. \scriptstyle{-4y} negatiboa da: -4 bider y edo -y-y-y-y adierazten du.

Adierazpen aljebraikoetako gaiak lantzerakoan, aurrez zeinu (+ edo -) erantsi behar izaten zaie. Orduan laburketa hauek egin daitezke:

Zeinuak nola laburtu
Zeinuak Emaitza Adibidea
+ + + +(+5y)=+5y=5y
+ - - +(-5y)=-5y
- + - -(+5y)=-5y
- - + -(-5y)=+5y=5y

Adierazpen aljebraikoen batuketa eta kenketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adierazpen aljebraikoen batuketak eta kenketak egiterakoan, antzeko gaiak, aldagai berdinak eta berretzaile berdinak dituzten gaiak soilik bil daitezkeela hartu behar da kontuan. Bil daitezkeen gaien koefizienteen batura egiten da orduan. Gai batek aurretik koefizienterik ez badu, 1 dela suposatzen da (x=1x, alegia). Adibidez:


  • 3x^2+(2x^2+4xy)=5x^2+4xy\,


  • (6xy+3x+5y+8)+(2xy+x+y+2)=8xy+4x+6y+10\,


  • (x^2+2x+1)+(y^2+2y+1)=x^2+y^2+2x+2y+2\,


Gehi (+) eta ken (-) zeinuak batera agertzen badira, arestiko erregelak erabiltzen dira:


(x^2+4x+1)+(x^2-x)=x^2+4x+1+x^2+(-x)=x^2+4x+1+x^2-x=2x^2+3x+1\,


Kenketan ere zeinuak bateratzeko erregelak erabili behar dira:


(3x^2-5x+2)-(-2x^2+4x-3)=3x^2-5x+2-(-2x^2)-(+4x)-(-3)=3x^2-5x+2+2x^2-4x+3=5x^2-9x+5\,

Adierazpen aljebraikoen biderketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adierazpen aljebraikoak biderkatzeko, bi adierazpenetako gai guztiak elkarren artean biderkatzen dira, gai berrien koefizientea koefizienteen biderkadura eta, aldagai bakoitza bere aldetik, aldagai bakoitzaren berretzaileak berretzaileen batura izanik. Berretzaileen batuketa egiterakoan, x=x1 (eta berdin, noski, beste ikur guztietarako) betetzen dela hartu behar kontuan. Adibidez:


(6x^2+3)\times (2x+y+6)=6x^2 \times 2x+ 6x^2 \times y +6x^2 \times 6+3 \times 2x +3 \times y +3 \times 6=12x^3+6x^2y+36x^2+6x+3y+18=12x^2+6xy+42x+3y+18\,


Adierazpen aljebraikoen zatiketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Adierazpen aljebraikoak zatitzeko prozedura orokorrean, izendatzailea gai ezberdinetan banatu eta zenbakitzaileaz zatitzen da, berdinak diren faktoreak edo biderkagaiak ezabatuz. Zatiketa biderketa bihur daiteke, zenbakitzailearen faktoreen berretzailean zeinua aldatuz. Adibidez:


\frac{6x^2+9xy+8xz+y^2}{2xz}=\frac{6x^2}{2xz}+\frac{9xy}{2xz}+\frac{8xz}{2xz}+\frac{y^2}{2xz}=3xz+\frac92yz^{-1}+4+\frac12y^2x^{-1}z{-1}

Adierazpen aljebraikoen berreketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Ikasle askok adierazpen aljebraikoak berretzean egiten duten okerra, modu zuzenarekin batera.

Adierazpen aljebraiko bat berretzea adierazpen hori behin eta berriz biderkatzea da. Adibidez:


(x+y)^3=(x+y)\cdot(x+y)\cdot(x+y)=x^3+3x^2y+3xy^2+y^3\,


Komeni da binomio karratuen formulak ikastea:


  • (x+y)^2=x^2+y^2+2xy\,


  • (x-y)^2=x^2+y^2-2xy\,


  • (x+y)(x-y)=x^2-y^2\,






Monomio bat berretzeko, berrekizun bakoitzaren berretzaileak biderkatu egiten dira. Berrekizun batek berretzailerik ez duenean, bere berretzailea 1 da. Adibidez:


  • (3x^2y)^2=3^2x^4y^2=9x^4y^2\,


  • \Big(\frac{x}{2y}\Big)^3=\frac{x^3}{2^3y^3}=\frac18x^3y^{-3}