Trigonometriaren historia

Plimpton 322 taula babiloniarra

Trigonometriaren eta funtzio trigonometrikoen historia 3.000 urtetik gora  zabal liteke. Babiloniarrek triangelu angeluzuzenen angeluen neurketak eta aldeen luzeren hurbilketak zehaztu zituzten; buztin lehorraren gainean grabatu zituzten zenbait taulak aditzera ematen dute. Adibidez, kuneiformean idatzitako taula babiloniar batean, Plimpton 322 izenekoan (K.a. 1900 inguruan), hamabost hiruko pitagoriko eta zenbaki-zutabe bat ageri dira, funtzio trigonometrikoen taula gisa interpreta daitekeena. Dena den, zenbait eztabaida daude honen inguruan.

Trigonometriaren historia

Antzinako Ekialde Hurbila

Trigonometria babiloniarrekin eta egiptoarrekin hasi zen. Hala ere, historiaurreko gizarteek angeluaren neurria kontzeptua ezagutzen ez zutenez, triangeluen aldeak aztertzera mugatu ziren .

Astronomo babiloniarrek erregistro zehatzak izan zituzten izarren igoerari eta ezkutatzeari buruz, planeten mugimenduari buruz eta eguzki- eta ilargi-eklipseei buruz, eta horrek guztiak zeru-esferan neurtutako distantzia angeluarrak ezagutzea ekarri zuen .

Egiptoarrek, bestalde, trigonometriaren forma primitibo bat erabili zuten piramideak eraikitzeko K.a. 2. milurtekoan. Hauek angeluen neurria gradutan, minututan eta segundotan ezarri zuten.

Antzinate klasikoa

Grezia klasikoaren garaian, K.a. II. mendean, Hiparko Nizeako astronomoak hari-taula bat egin zuen triangeluak ebazteko. Hiparko izan zen angelu-multzo bati dagozkion arku- eta korda-balioak taula batean jartzen lehena .

Euklides eta Arkimedesen lanetan trigonometriarik ez dagoen arren,  badira geometrikoki (forma trigonometriko baten ordez) aurkeztutako teoremak, berariazko lege edo formula trigonometrikoen baliokideak direnak .

Pitagorasek, geroago funtzio trigonometriko izenez ezagutuko ziren propietate asko aurkitu zituen. Pitagorasen teorema, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, $sin^{2}(x)+cos^{2}(x)=1$ oinarrizko identitate trigonometrikoaren adierazpen bat da. Edozein triangelu angeluzuzenen hipotenusaren luzera 1 da, eta aldeen luzera sin(x) eta cos(x) da, x zuzena ez den beste angeluetako bat izanik. Horrenbestez, trigonometriaren oinarria Pitagorasen teorema dela esan dezakegu.

Indiako matematikariak

Aldi berean, Indiako astronomoek sinu funtzioan oinarritutako sistema trigonometriko bat garatu zuten. Sinu funtzio hori, hipotenusa ezaguna zenean, triangelu angeluzuzen bateko angelu baten kontrako aldearen luzera zen. Aldi berean, kosinua, bersinua (1-kosinu) eta arkosinua definitu zituzten . Siddhantasek eta Aryabhatiyek sinuen eta bersinuen taula zaharrenak dituzte, 0°-tik 90º-ra bitartekoak , 3.75°-ko  tarteekin eta 4 hamartarreko zehaztasunarekin .

VII. mendean Brahmaguptazek,  

$1-sin^{2}(x)=cos^{2}(x)=sin^{2}({\frac {\pi }{2}}-x)$

formula  eta Brahmaguptaren interpolazio formula birgaratu zuen, sinuaren balioak kalkulatzeko. Geroago, XII. mendean, Bhaskara II Indiar autoreak trigonometria esferikoa garatu zuen eta hainbat emaitza trigonometriko ikertu zituen. Emaitza hauen artean

$sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)$ 

formula zegoen.

Madhavak aurrerapen goiztiarrak egin zituen funtzio trigonometrikoen analisian eta serie infinituen hedapenetan. Berak berretura-serieen eta Taylorren serieen kontzeptua garatu zuen eta sinuaren, kosinuaren, tangentearen eta arkotangentearen berretura-serieak sortu zituen. Funtzio trigonometrikoei dagokienez,  π-ren berretura-seriea eta zirkulu baten angelua, erradioa, diametroa eta zirkunferentzia ere eman zituen .

Matematikari txinatarrak

Txinatarrak matematikaren beste eremu batzuetan nabarmendu ziren, hala nola, geometria solidoan, teorema binomialean eta formula aljebraiko konplexuetan. Izatez, Txinan, trigonometriaren hastapenak ez ziren aurreko mundu grekoan, helenistikoan, indiarrean eta islamiarrean bezain nabariak izan . Ezagutza horien ordez eta, nahiz eta txinatarrek sinua, tangentea eta sekantearen erabilera praktikoa ezagutzen zuten, Chong Cha izeneko beste metodo batzuk erabiltzen zituzten .

• 
  Chong Cha metodoa aplika daitekeen problema baten adibidea (Itsasoko uharteen problema)
• 
  Goiko problemaren irudikapena matematikoki eta Chong Cha metodoarekin ebazteko prestatua

Hala ere, Song Dinastiaren garaian (960–1279), trigonometriak aurrera egin zuen. Izan ere, matematikari txinatarrak interes handiagoa izaten hasi ziren trigonomtrian, honek egutegi-zientzian eta kalkulu astronomikoan zuen erabileragatik .

Shen Kuo (1031–1095) matematikari txinatarrak funtzio trigonometrikoak erabili zituen korden eta arkuen problema matematikoak ebazteko . Gainera, zirkulu baten s arkuaren hurbilketa bat sortu zuen, d diametroa, v sagitta, eta c arkua mugatzen duen kordaren luzera emanda:

$s=c+{2v^{2} \over d}$ .

Zirkuluen arkuen luzeretan Shenek egindako lanak oinarria eman zuen Guo Shoujing (1231–1316) matematikari eta astronomoak garatutako trigonometria esferikoaren inguruko lanean . Guo Shoujing-ek trigonometria esferikoa erabili zuen bere kalkuluetan, egutegi-sistema eta astronomia txinatarra hobetzeko .

Shenek eta Guok trigonometrian egindako ekarpenez geroztik, Txinako trigonometrian ez zen funtsezko beste lanik argitaratu 1607ra arte. Orduan, Xu Guangqi astronomoak (1562–1633) Euklidesen Elementuak argitaratu zituen .

Erdi Aroko mundu islamiarra

Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī-ren Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala liburua

Aurreko lanak, matematikari musulmanek (gehienak, persiarren eta arabiarren ondorengoak) itzuli eta zabaldu zituzten Erdi Aroko mundu islamiarrean, horrela teorema ugari enuntziatuz.  E. S. Kennedyren arabera, matematika islamiarreko garapen horren ondoren sortu zen lehenengo trigonometria erreala, aztergaia triangelu esferiko edo planoetara eta haien alde eta angeluetara mugitu baitzen orduan .

Triangelu esferikoak lantzen zituzten metodoak ere garatu zituzten matematikari islamiarrek, bereziki Menelaus Alexandriakoaren metodoa, zeinak "Menelausen teorema" azaldu  baitzuen problema esferikoak tratatzeko . Hala ere, E. S. Kennedy-k adierazten du, hasiera batean, matematika aurreislamikoan, hari-taula eta Menelausen teorema erabiliz, gorputz esferiko baten magnitudeak kalkulatu ahal izan zirela,  nahiz eta praktikan teorema problema esferikoetan aplikatzea oso zaila izan [38]. Egun santuak islamiar egutegian behatzeko helburuarekin, zeinetan denborak ilargiaren aldien arabera zehaztuta zeuden, astronomoek Menelausen metodoa erabili zuten, hasiera batean, ilargiaren eta izarren kokapena kalkulatzeko. Gurutzatutako bi triangelu angeluzuzen ezartzen ziren; “Menelausen teorema” aplikatuz, sei aldeetako bat ebatz zitekeen, baina soilik beste bost aldeak ezagunak baziren. Denbora eguzkiaren altitudetik kontatzeko, adibidez, “Menelausen teorema”ren aplikazio errepikatuak behar izan ziren. Erdi Aroko astronomo islamiarren erronka metodo trigonometriko sinpleagoa aurkitzea izan zen.

K. o. IX. mendearen hasieran, Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī-k sinu eta kosinuaren taula zehatzak egin zituen, eta tangenteen lehen taula. Trigonometria esferikoan ere aitzindari izan zen. K.o. 830. urtean, Habash al-Hasib al-Marwazik lehen kotangenteen taula egin zuen . Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī-k (Albatenius-ek) (853-929 AD) sekante eta kosekantearen elkarrekiko funtzioak aurkitu zituen, eta 1°tik 90°ra bitarteko gradu bakoitzaren kosekanteen lehen taula sortu zuen .

K.o. X. menderako, Abū al-Wafā' al-Būzjānī-k formula trigonometriko hauek garatu zituen :

$sin(\alpha \pm \beta )={\sqrt {sin^{2}\alpha -(sin\alpha \sin \beta )^{2}}}\pm {\sqrt {sin^{2}\beta -(sin\alpha \sin \beta )^{2}}}=sin\alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$\sin(2x)=2sin(x)\cos(x)$

Trigonometria esferikorako Sinuaren Teorema ere aurkitu zuen :

${\frac {sin\ A}{sin\ a}}={\frac {sin\ B}{sin\ b}}={\frac {sin\ C}{sin\ c}}$

XX. mendearen amaieran eta XI.aren hasieran ere, Ibn Yunus astronomo egiptoarrak kalkulu trigonometriko asko egin zituen, eta honako identitate trigonometrikoa frogatu zuen :

$cos\ a\ cos\ b={\frac {cos(a+b)+cos(a-b)}{2}}$

Al-Andaluseko Al-Jayyanik (989–1079) "Esfera baten arku ezezagunen liburua" idatzi zuen, zeina "trigonometria esferikoaren lehen tratatua" dela esaten den . Geroago, tratatu horrek "eragin handia izan zuen Europako matematikan", eta haren "arrazoien definizioa zenbaki gisa" eta " alde guztiak ezezagunak direnean triangelu esferiko bat ebazteko metodoa", Regiomontanorengan eragina izan zuten .

Triangulazio teknika lehen aldiz garatu zuten matematikari musulmanek, zenbait esparrutan erabiliz, hala nola topografian eta geografia islamikoan, XI. mendearen hasieran Abu Rayhan Birunik deskribatu zuen bezala. Birunik berak triangulazio teknikak erabili zituen Lurraren tamaina eta hainbat lekuren arteko distantziak neurtzeko . XI. mendearen amaieran, Omar Khayyám-ek (1048–1131) ekuazio kubikoak ebatzi zituen,  hurbildutako zenbakizko soluzioak erabiliz zeinak taula trigonometrikoetan interpolatuz aurkitu ziren. XIII. mendean, Nasīr al-Dīn al-Tūsī trigonometria astronomiarekiko diziplina independentetzat tratatzen lehena izan zen, eta trigonometria esferikoa  gaur egun ezagutzen den bezala garatu zuen . Trigonometria esferikoan triangelu angeluzuzen baten sei kasu ezberdinak zerrendatzeaz gain, “On the Sector-Figure” lanean, triangelu lau eta esferikoetarako Sinuaren Teorema ezarri eta triangelu esferikoetarako tangentearen teorema aurkitu zuen, bi teoremen frogak emanez . Nasir al-Din al-Tusi diziplina independentetzat hartutako trigonometriaren sortzailetzat jo izan da .

XV. mendean, Jamshīd al-Kāshī-k Kosinuaren Teoremaren lehen adierazpen esplizitua eman zuen triangulaziorako modu egokian. Frantzian,  teorema hau “Al-Kashiren teorema” izenez ezagutzen da oraindik.

Europako errenazimentua eta ondorengoa

XII. mendean, Mendebaldean, trigonometria arabiarra ezagutzen hasi zen Arabiako astronomia-liburu batzuen itzulpenei esker.

• 
  Andrea Biancoren 1436ko atlaseko irudia; bertan, nabigazio-norabideen kalkuluan balio trigonometrikoak kalkulatzeko metodoa bisualki ikus daiteke
• 
  1619ko liburu baten agertzen den taula trigonometrikoa

1327an, Levi ben Gershon matematikariak, Gersonides izenez ezagutua, zenbait lan idatzi zituen. Horien artean aipatzekoa da Sinuaren Teorema frogatu eta zenbait taula trigonometriko idatzi zituela . Taula trigonometrikoak oso erabiliak ziren antzina, kalkulagailu modernoak existitu baino lehen; nabigazioan, zientzian edota ingeniaritzan erabiltzen ziren batik bat. Taula trigonometriko sinplifikatu bat, "toleta de marteloio” izenekoa, Mediterraneo itsasoko marinelek erabili zuten XIV. eta XV. mendeetan nabigazio-norabideak kalkulatzeko. Azken hau, Ramón Llull de Mallorcak deskribatu zuen 1295ean, eta Andrea Bianco kapitain veneziarrak 1436ko atlasean ezarri zuen.

Trigonometriaren inguruan Europan egin ziren lehen lan garrantzitsuenetariko batzuk Johann Müller Königsberg (Regiomontano izengoitiz ezagutua) matematikari eta astronomo alemaniarrak idatzitakoak izan ziren . Aipatzekoak dira, besteak beste, 1464ko De triangulis omnimodis eta geroagoko Tabulae directionum (non tangente funtzioa sartu zuen). Bestalde, XVII. mendearen hasieran, John Napier matematikari eskoziarrak logaritmoa ezagutu zuen eta, horri esker, kalkulu trigonometrikoek bultzada handia izan zuten.

XVII. mendearen erdialdean, Isaac Newton eta Gottfried Wilhelm Leibniz zientzialariek kalkulu diferentziala eta integrala garatu zuten. Newtonen lanaren oinarrietako bat serieen bidez (zehazki, x aldagaiaren berreturez osatutako serie infinituen bidez) funtzio matematiko asko adieraztea izan zen. Horien artean, sin(x) , cos(x) eta tg(x) funtzioak adierazteko serieak aurkitu zituen. Kalkulu diferentziala eta integralaren asmakuntzarekin, funtzio trigonometrikoak Analisiaren alorrean erabiltzen hasi ziren, zeinek, gaur egun ere, garrantzi handia duten bai matematika puruetan bai aplikatuetan.

XVIII. mendean, Roger Cotesek sinuaren deribatua definitu zuen Harmonia Mensurarum (1722) liburuan . Bestalde, Leonhard Euler matematikari suitzarrak Introductio in analysin infinitorum (1748) liburuan, trigonometriaren propietateak zenbaki konplexuen aritmetikaren emaitza zirela frogatu zuen. Gainera, funtzio trigonometrikoak definitu zituen, zenbaki konplexuen esponentzialak zituzten adierazpideak erabiliz. Horrekin batera, $e^{ix}=cosx+isinx$ “Eulerren formula” ezaguna aurkeztu zuen. Halaber, bere lanean sin., cos., tg., cot., sec. eta cosec. laburdura modernoak erabili zituen.

XVIII. mendean ere, Brook Taylorrek Taylorren serie orokorra definitu zuen, eta horri esker funtzio trigonometrikoen serie bidezko garapenak eta hurbilketak eman zituen. Halaber, XVII. mendeko James Gregoryren eta XVIII. mendeko Colin Maclaurinen lanek garrantzi handia izan zuten serie trigonometrikoen garapenean.

Funtzio trigonometrikoen garapena Maclaurinen serieez bidez

Etimologia

"Trigonometria" terminoa grekozko τρίωνον "triangelu" eta μέτρον “neurri” hitzetatik dator .

"Sinu" hitza latinez, sins terminotik dator, gaizki egindako itzulpen batetik . Aryabhatak ardha-jiva ("soka-erdi") terminoa erabili zuen, jiva-ra laburtua eta, gero, arabiarrek jiba (جب) gisa transkribatua. XII. mendean, Toledon, Roberto de Chester eta Gerardo de Cremona bezalako itzultzaile europarrek jiba jaib-ekin (جب) nahastu zuten, segur aski jiba (جب) eta jaib (جب) idazkera arabiarrean berdin idazten direlako. Izan ere, idazkera sistema horrek “azentu” modukoak (diakritikoak) erabiltzen ditu bokalen ordez eta, hainbat kasutan, “azentu” horiek ez dira idazten idazkera errazteko; horrela, irakurleak letra berdineko baina fonetika ezberdineko hitzak nahas ditzake.

“Tangente” hitza latinezko tangens hitzetik dator (euskaraz “ukitu”), lerroak erradio-unitatearen zirkulua ukitzen baitu; eta sekantea, berriz, secans hitz latindarretik dator (euskaraz “ebaki”), lerroak zirkulua ebakitzen duelako.

"Minutu" eta "segundo" hitzak latinezko ondorengo esaldietatik datoz: partes minutae primae eta partes minutae secundae. Hitz horiek "lehen zati txiki" eta "bigarren zati txiki" gisa itzul daitezke .

Kanpo estekak

• Datuak: Q2344515