Lankide:EAE17/Proba orria

Zenbakia, zientzian, kantitate edo magnitude bat adierazten duen sinboloa edo irudia da. Matematikan, zenbaki batek kantitate metriko bat adieraz dezake, bai eta zenbaki-sistema bateko elementu bat edo zenbaki ordinal bat ere. Horrek, segida zehatz batean duen posizioa adierazten du. Problema aljebraikoak ebazteko baliabide erabilgarri bat, zenbaki konplexuak dira. Zenbaki horiek, aljebraikoki, zenbaki errealen orokorpen bat dira, eta horrekin batera, zenbaki ordinalen kontzeptua handitzen da. Zenbaki errealek, batez ere, bi neurriren arteko konparaketak egiteko balio dute.

Adibidea: karratu baten aldea neurgarria da bere perimetroarekin, baina karratu baten aldea neurtezina da bere diagonalarekin.

Zenbaki motak

Zenbakien artean ezagunenak zenbaki arruntak dira (0, 1, 2,...), eta $\mathbb {N}$-ren bidez adierazten dira. Kontzeptualki, zenbakirik sinpleenak dira, eta unitate diskretuak zenbatzeko gehien erabiltzen direnak dira. Zenbaki hauek, zenbaki negatiboekin batera, zenbaki osoen multzoa osatzen dute, $\mathbb {Z}$ (alemaniarrez, Zahlen, ‘zenbakiak’) ikurrez adierazten dena. Zenbaki natural negatiboen bidez, edozein bi zenbakiren arteko kendura egin daiteke.

Zenbaki osoen arteko zatiketak eginez, zatikizko zenbakiak sortzen dira. Zenbaki mota horien bidez, unitatea baino txikiagoak diren zenbakiak adieraz daitezke, bai eta zenbaki mistoak ere, hau da, zenbaki oso bat eta unitatea baino txikiagoa den zenbaki baten arteko batura. Zatikizko zenbaki guztien multzoari zenbaki arrazionalen multzoa deritzo, eta $\mathbb {Q}$ ikurraren bidez adierazten da. Multzo horren barruan, zatikizko zenbaki positiboak, negatiboak eta zeroa daude.

Zenbaki arrazionalen bidez, problema praktiko asko ebatz badaitezke ere, badaude ebatzi ezin diren problemak ere. Adibidez, alde bakoitzaren luzera unitate bat den karratu batean, diagonalaren luzera ezin da zenbaki osoen edo arrazionalen bidez adierazi. Beste adibide bat, koefiziente arrazionalak dituen ekuazio baten soluzioa da, askotan, soluzio hori ez baita arrazionala izaten. Edozein zenbaki irrazional zenbaki arrazionalez osaturiko Cauchy-ren segida baten bidez adieraz daitekeela froga daiteke.

Zenbaki arrazionalak eta irrazionalak biltzen dituen multzoa zenbaki errealen multzoa da, eta $\mathbb {R}$ ikurraren bidez denotatzen da. Urte askotan zehar, edozein magnitude zenbaki errealen bidez adieraz zitekeela pentsatu zen arren, hori ez da egia. Zenbaki errealen artean, ekuazio polinomikoen edo ekuazio aljebraikoen soluzio ez diren zenbakiak ere badaude, eta horiei, zenbaki transzendental deritze. Adibidez, π (pi) eta e multzo horretako zenbakiak dira eta Eulerren identitatearen bidez erlazionaturik daude.

Zenbaki errealek ez dute aljebraikoki itxia den gorputzik sortzen. Hori dela eta, zenbait problemak ez dute soluzio errealik. Horregatik, zenbaki konplexuak, $\mathbb {C}$, sortu ziren. Zenbaki errealak, zenbaki konplexuen multzoko elementuak dira, eta gainera, multzo hori aljebraikoki itxia den gorputzik txikiena da. Zenbaki konplexuak oso erabilgarriak dira mekanika kuantikoko hainbat formulaziotan.

Zenbaki moten zerrenda

• Zenbaki arruntak
  • Zenbaki lehenak
  • Zenbaki konposatuak
  • Zenbaki perfektuak
• Zenbaki osoak
  • Zenbaki negatiboak
  • Zenbaki bikoitiak
  • Zenbaki bakoitiak
• Zenbaki arrazionalak
• Zenbaki errealak
• Zenbaki irrazionalak
• Zenbaki aljebraikoak
• Zenbaki transzendenteak
  • π (pi)
  • e
• Zenbaki errealen luzapena
  • Zenbaki konplexuak
  • Zenbaki hiperkonplexuak
    • Koaternioiak
    • Oktonioiak
• Multzoen teorian erabilitako zenbakiak
• Zenbaki ordinalak
• Zenbaki kardinalak
• Zenbaki transfinituak

Egitura

Aljebra abstraktuan eta analisi matematikoan, zenbaki-sistemek honako egitura daukate:

• Egitura aljebraikoa: eraztun trukakorra edo gorputz matematikoa izan ohi da.
• Egitura-ordena : kasu gehienetan, multzo ordenatuetan banatzen dira. Zenbaki arruntak, osoak, arrazionalak eta errealak erabat ordenatutako multzoak dira. Errealak, gainera, ondo ordenatutako multzoak dira , ordena dentsoarekin.
• Egitura topologikoa : zenbaki-multzoak zenbakigarriak dira, gehienetan multzo ez-konexuak, eta topologia diskretuan erabiltzen dira. Bestalde, multzo ez zenbakigarrietan, analisi matematikoarentzat aproposa den topologia erabiltzen da.

Zenbaki-multzoek beste modu batzuetan ere adieraz daitezke, hala nola Hasse-ren diagramarekin, Euler-en diagramarekin eta Venn-en diagramarekin.

Zenbaki arrunt bereziak

Zenbakien ezaugarrien ikerketari esker, bitxiak diren zenbakiak aurkitu dira, matematikoki balio berezirik izan ez arren:

• Sheldon, adibidez, 73 zenbakia. 21. zenbaki lehena da, eta 7 · 3 = 21 betetzen da. Digituak trukatzean, 37 zenbakia lortzen da, eta hau, 12. zenbaki lehena da.
• Nartzisista, n digituko zenbakia da, haren digituak n. mailara berretzean eta batzean, zenbaki bera ematen dute. Adibidez, 153 = 1³ + 5³ + 3³.
• Omirp, zenbaki lehen baten digituak trukatzean, beste zenbaki lehen bat ematen dute. Adibidez, 1597 eta 7951.
• Banpiro, bere digituetatik lortutako bi zenbakiren biderkadurak, beste zenbaki lehen bat ematen du.

Zenbakiaren historia

Lehenengo gizakiak konturatu ziren bi multzoren artean aukeratu behar zutenean, handiena eta txikiena zein zen erabakitzeko moduren bat aurkitu behar zutela. Horregatik, zenbatzen hasi ziren. Horretarako, objektu fisikoak (hala nola harriak, hezurrak edo enborrak) erabili zituzten. Horren lekuko dira Lebombon aurkitu zuten 37.000 urteko antzinatasuna duen babuino-hezur landua, 29 hortz markarekin, edo Txekoslovakian aurkitutako otso-hezurra, 5 multzotan banatutako 57 hozkekin.

Ishango-ko hezurra, duela 20.000 urte egindako aztarnak dituena.

Marken ordez, sinboloak erabiltzen hasi ziren, zerga- eta jabetza-erregistroak zenbatzeko. Aurkikuntzak Mesopotamian egin ziren, K.a. 8.000. urtean. Hasieran, erregistro horiek zenbatzeko, buztinezko fitxak erabiltzen ziren, baina denbora pasa ahala, buztinezko oholtxoetan hasi ziren idazten zenbakiak, sinbolo desberdinak erabiliz. Hala ere, metodo horiek merkatal edo kontabilitate gaietan bakarrik erabili ziren, nahiz eta lur-neurketan eta astronomian ere oso erabilgarriak izan, esate baterako, mugimendu planetarioak erregistratzeko.

Duela 5.000 urte hasi ziren erabiltzen gaur egun ezagutzen ditugun zenbaki-sinboloak.

Egipziar zatiki unitarioak

1858an Henry Rhind-ek Egipton, zatikiei buruzko informazioa zeukan papiro bat aurkitu zuen. Papiro hori, K.a. 2.000. eta K.a. 1.800. urteen artekoa da. Hala ere, zatiki unitarioak soilik hartzen zituzten kontuan, hau da, zenbaki naturalen alderantzizkoak zirenak, $\left({\frac {1}{n}}\right)$, eta obalo batekin adierazten zituzten. Bazeuden beste sinbolo bereziekin adierazten zituzten frakzioak, hala nola ${\frac {2}{n}}$ edo ${\frac {n}{n}}+1$ itxurakoak. Papiro honetan, ${\frac {2}{n}}$ motako zenbakien deskonposizio-taulak zeuden, adibidez, ${\frac {2}{5}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{15}}$ edo ${\frac {2}{7}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{28}}$. Taula hauetan agertzen ziren frakzioetan erabili zuten $n$ zenbakia 1etik 101era bitartekoa zen.

Zeroaren sorkuntza

Grezian, K.a III. mendean, oraindik ez zenez 0 ikurra existitzen, hutsa adierazteko,oudos “o” ikurra erabiltzen hasi ziren, baina ikur horrek, ez zuen gaur egun zeroak duen esanahi bera.

Amerikan, hogei oinarriko zenbaki sistemen lehenengo adierazpena K.a III. mendekoa da. Olmeka zibilizazioko hilarri batean zeroaren eta ordenaren kontzeptuak ageri dira.

Maiek, aldiz, zeroa adierazteko lau ikur asmatu zituzten. Garrantzitsuenak bi dira: batetik, zero matematikoa adierazteko, barraskilo baten oskolaren ebaketa erabiltzen zen, eta bestetik, egutegiko zeroa adierazteko, lore bat erabiltzen zuten.

Zenbaki negatiboak

628an, Brahmaguptak, bigarren mailako ekuazioen bi erroak hartu zituen kontuan, nahiz eta horietako bat negatiboa edo irrazionala izan. Urte horretan, bere obran agertu ziren lehenengoz zenbaki positiboen, negatiboen eta zeroaren (+, -, *, /, berreketak eta erroak) aritmetika sistematizatuta. Zenbaki negatiboak, entitate isolatu bezala ere erabili zituen, geometria aipatu gabe. Hau guztia, lortu zuen bere zorroztasun eta oinarri logikoekiko kezka eza izateagatik eta praktikotasunaren eta formaltasunaren arteko nahasketagatik.

Baina Brahmaguptak, zenbaki negatiboekin egin zuen lana alde batera geratu zen eta hainbat mende igaro behar izan ziren (Errenazimendura arte) hauek berreskuratzeko.

Antza denez, txinatarrek ere bazuten zenbaki negatiboen ideia, eta kalkuluak egiteko koloretako hagaxkak erabili zituzten; beltzak zenbaki negatiboentzako eta gorriak positiboentzako.

Zenbaki konplexuen formulazioa

Zenbaki konplexuak gutxitan onartzen ziren erro edo ekuazioen soluzio gisa eta ia inorengandik koefiziente modura. Zenbaki hauek, hasiera batean, ficticii ‘fikziozko’ izena hartu zuten.

G. Cardanok (1501-1576) 10 zenbakia bi zatitan zatitu, haien biderkadurak 40 balio dezan problema ebaztean, soluzio hauek lortu zituen: $5+\surd -15$ eta $5-\surd -15$.

Ekuazio kubikoak Cardano-Tartaglia formularen bidez ebaztean, nahiz eta erroak errealak izan, zenbaki negatiboen erroak ageri dira tarteko urratsetan. Egoera horretan, R. Bombellik (1526-1573) bere Aljebra liburuan “ideia ero” zeritzona izan zuela dio, hau da, errotzaileek errokizunen erlazio bera izan zezaketen eta haiekin lan egin zezaketen, beranduago, desagerrarazten saiatuz gero.

Indukzio matematikoaren printzipioa

Indukzio matematikoaren aurrekaria indukzio osoa izeneko frogapen metodoa da. Pascalek (1623-1662) indukzio matematikoaren metodoa erabili zuen, gaur egun ezagutzen dugun moduan, bere izena daraman zenbaki triangeluari dagozkion propietateak frogatzeko. Indukzioaren bidezko frogapenek bi zati dituzte beti: oinarrizko urratsa eta indukziozko urratsa. Ondoren, notazio gaurkotuan deskribatzen dira:

$S$ zenbaki arrunten azpimultzoa bada ($\aleph$ moduan ezaguna) eta $n$ elementu bakoitzak $P(n)$ propietatea betetzen badu non:

1. $0$ $S$ azpimultzoan dago.
2. $n$ $S$ -n badago, orduan $n+1$ ere $S$ -n dago.

Beraz, $S$=$\aleph$, hau da, edozein $n$ zenbaki arruntak $P(n)$ propietatea betetzen du.

Intuizioz, indukzioa domino efektu gisa ulertzen da. Domino fitxen errenkada infinitua dugula suposatuz, oinarrizko urratsa lehenengo fitxa jaurtitzean datza; bestalde, urrats induktiboak frogatzen du fitxaren bat erortzen bada, hurrengo fitxa ere eroriko dela. Horren ondorioa errenkada horretako fitxa guztiak bota daitezkeela da.

Zenbaki konplexuen interpretazio geometrikoa

Interpretazio hau Gaussi (1777-1855) esleitzen zaio. $a+bi$ motako zenbaki konplexu osoekin ere lan egin zuen, $a$ eta $b$ zenbaki osoak izanik. $i$ ikurra Euler hasi zen erabiltzen 1777an eta Gaussek zabaldu zuen 1801ean Disquisitiones arithmeticae obran.

Zenbaki konplexuen irudikapen grafikoa Caspar Wessel-ek (1745-1818) egin zuen, baina oharkabean igaro zen. Horregatik, zenbaki konplexuen planoak <<Gaussen planoa>> du izena.

Girard-en garaitik (XVII. mendearen erditik) ezagutzen da zenbaki errealak zuzen baten puntuekin bat egiten dutela.

Zenbakien adierazpen sistema

Zifra, digitu eta zenbakizko

Zenbakiak letraz adierazteko modu ohikoenetako bat sinboloen multzo finitu bat edo digitu bat da, eta modu egokian konbinatuz, zenbaki gisa funtzionatzen duten zifrak eratzea ahalbidetzen du. Zeinu-sekuentzia jakin bat zenbaki bat irudikatzeko erabiltzen denean, zenbakizkoa deitzen zaio.

Zenbakizko oinarria

Hizkuntza naturalek eta zifren bidez idazten diren zenbakiek arazoak izan ohi dituzte kopuru handiak adierazteko. Hori konpontzeko, matematika arloan oinarri aritmetiko bezala ezagutzen dena erabiltzen hasi zen, hau da, edozein zenbaki beste baten batuketaren edo biderketaren bidez adierazi zen. Adibidez, 13568 zenbaki arabiarra horrela banakatzen da:

8ak, azken zifra denez, unitateak adierazten ditu; 6ak, hamarrekoak; 5ak, ehunekoak; 3ak, milakoak; eta 1ak, hamar milakoak. Hau da:

1 · 10⁴ + 3 · 10³ + 4 · 10² + 6 · 10¹ + 8 · 10⁰ = 13568

Hizkuntza askok oinarri hamartarra erabiltzen dute, sistema arabiarrak bezala, beste hainbat hizkuntzatan, aldiz, ohikoa da hogei oinarriko sistemak erabiltzea.

Zenbakiak hizkuntza naturaletan

Hizkuntza naturalek izenak erabiltzen dituzte hatz bidezko zenbaketan oinarritutako zenbakietarako. Horregatik, hizkuntza gehienek 10 oinarriko (eskuetako hatzak) edo 20 oinarriko (esku eta oinetako hatzak) zenbaki-sistemak erabiltzen dituzte.