e (zenbakia)

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

e konstante matematikoa logaritmo naturalaren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

e = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...

π eta unitate irudikaria (i) ostean e da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat. Definizio ugari ditu eta hauek dira horietako batzuk:

Batzuetan e deitzeko Eulerren Zenbakia erabiltzen da, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan Napierren konstantea John Napier logaritmoen garatzailearen omenez.

Definizioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

eren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

  1. e limite moduan definitzen da:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.
  1. e serie infinitu baten batukari gisa definitzen da:
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots
non n! nren faktoriala den.
  1. e zenbaki erreal baten moduan definitzen da x > 0 denean:
\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}
(edo, x zenbaki bat non  f(x)=1/x hiperbola 1etik xera berdin 1 dena)

Hiru definizio hauen emaitzak berdinak direla frogatu da.

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

ex funtzio esponentziala oso garrantzitsua da funtzio bakarra delako bere buruaren deribatua dena, eta beraz bere integrala da ere.

\frac{d}{dx}e^x=e^x eta
\int e^x\,dx=e^x + C, non C integratzeko konstante arbitrario bat den.

e aldi berean zenbaki irrazional eta zenbaki transzendentea da. Bereziki azkeneko honetan e izan zen bere transzendentzia frogatuta geratu zen lehen zenbaki naturala. e Eulerren formularen barruan agertzen da, matematiketako formularik garrantzitsuenetariko bat:

e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x).\,\!

Aurreko honetan x = π denean, Eulerren identitatea izango dugu:

e^{i\pi}+1 =0 ,\,\!

Formula honek matematiketan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak batzen ditu aldi berean: (0, 1, π, i eta e)

Hurrengo hau eren espantsiorako serie infinitu bat da:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, \ldots,1, 2n, 1,\ldots] \,

Hurrengo hau eren espantsiorako serie infinitu jarraitu bat da:

e= 2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{2}{3+\frac{3}{\ddots}}}}.

e zenbaki aldi berean hurrengo serie infinituen batukaria da:

e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+1}{(3k)!}
e =   \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{(2k+1)}(2k+1)!} \right ]^2
e =  \frac{-12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}

e produktu infinitu gisa ematen da Pippengerren produktuen forman:

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots

eta era berean...

 \frac{2\ 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{(\ln(2)-1)}\ 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots }

e sekuentzia infinitu askoren emaitza da:

 e= \lim_{n \to \infty} n^{-1}\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}   eta
 e= \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^{(1/n)}}{n} (Stirlingen formula).

eren hurbilketa bat urrezko zenbakia eta π erabiliz aldi berean honako hau da:

 e \sim \left (\frac{\pi}{5} \phi \right )^{(\frac{600}{\pi^2})}.

Historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

e konstantearen lehenengo erreferentziak 1618. urtean agertu ziren John Napierren apendize baten taulan. Hala ere berak ez zuen konstantea bera publikatu, baizik eta logaritmo naturalen kalkulu bat konstantetik kalkulatuta. e konstante moduan agertzen den lehenengo aldia Jacob Bernoullik egin zuen, hurrengo ekuazioa ebazten:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

Konstantearen lehengo erabilera ezaguna, b letrarekin eginda, The first known use of the constant, represented by the letter b, Gottfried Leibniz eta Christiaan Huygensek egin zuten 1690 eta 1691. urteetan hurrenez hurren. Leonhard Euler izan zen lehenengoa e letra erabiltzen 1727an eta bere Mechanica lanean agertu zen lehen aldiz publikatuta. Hala ere urte haietan c hizkia ere erabili zen. e erabiltzearen arrazoia esponente hitzaren lehenengo hizkia dela izan liteke.

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: E (zenbakia) Aldatu lotura Wikidatan