Lankide:Itxaso ibarra/Proba orria

Azalera espazio metriko bat da, eta, haren bidez, gainazal baten neurria kalkula daiteke. Matematikan, azalera neurtzeko unitatea metro karratua da ($m^{2}$). Azalerak luzera neurri baten zehaztasuna eskatzen du.

Azalera kontzeptua intuitiboagoa da gainazal lauak erabiltzen badira. Edozein gainazal lau, hau da, edozein poligono, hirukitan banatu daiteke, eta beraz, gainazal horren azalera kalkula daiteke gainazal hori banatzen duten hiruki guztien azaleren batura egiten bada. Zenbait kasutan, azalera izena gainazal bati erreferentzia egiteko erabili ohi da, baldin eta nahasterik ez badago magnitude metrikoaren (azalera) eta kontzeptu geometrikoaren (gainazala) artean.

Gainazal kurbatuen azalera kalkulatu ahal izateko, ezinbestekoa da geometria diferentzialeko metodoak erabiltzea. Gainazal orokor baten azalera kalkulatzeko, aldiz, gainazal horren tentsore metriko bat definitu behar da; gainazala espazio euklidear baten barnean badago, gainazal horrek metrika euklidearraren bidez induzitutako egitura metriko arrunta hartzen du.

Historia

Antzinatik uste izan da azalera irudi geometriko baten barruko eskualdearen tamaina ematen duen neurria dela. Antzinako Egipton, urteroko Nilo ibaiko uraldien ondoren eta eragindako uholdeen ondorioz, nekazaritza lursail bakoitzaren azalera kalkulatzeko beharra agertu zen, lursail mugak berrezartzeko. Arazo honi konponbidea aurkitu nahian, Egiptoarrek geometria sortu zuten.

Poligono baten azalera triangeluen azaleren batura gisa kalkulatzeko metodoa, lehen aldiz Antifón greziar jakintsuak proposatu zuen, K.a 430. urtearen inguruan. Irudi kurbadun baten azalera kalkulatzeak zailtasun gehiago sortzen du. Metodo exhaustiboa poligonoak irudi geometrikoan zirkunskribatzean eta inskribatzean datza, poligono horien alde kopurua handitzean eta azalera kalkulatzean.

Eudoxo-ren metodo exhaustibo deritzon izenez ezagutzen den sistemarekin, zirkuluaren azalera kalkulatzeko hurbilketa lortu zuen. Sistema hori, geroago Arkimedes-ek erabili zuen, antzeko problemak ebazteko, hala nola pi zenbakiaren balioaren hurbilketa.

Gainazal lauen azalera:

Hirukien azalera

Hirukien azalera da hiruki horren oinarriaren eta altueraren arteko biderketaren erdia, hau da:

$A=\left({\frac {b\cdot h}{2}}\right)$,

Hirukia

non b baita hirukiaren oinarria, eta h, hirukiaren altuera (edozein alde oinarritzat har daiteke).

Triangelua angeluzuzena bada, altuerak eta katetoak balio bera dute; beraz, azalera formula honen bidez adieraz daiteke:

$A=\left({\frac {a\cdot b}{2}}\right)$,

non triangeluaren katetoak diren a eta b.

Aldeen luzera ezagutzen bada, Heron-en formula erabil daiteke:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ ,

non a,b eta c baitira aldeen luzera-balioak, eta $s=\left({\frac {1}{2}}\right)(a+b+c)$ , hirukiaren perimetroerdia.

Triangelua aldekidea bada, horren azalera formula honek adierazten du:

$A=\left({\frac {\sqrt {3\cdot a^{2}}}{4}}\right)$,

non hirukiaren alde baten luzera den a.

Trapezoidea

Laukien azalera

Trapezoide edo lauki baten azalera haren diagonalen arteko distantziek eta hauek eratzen duten angeluaren sinuaren arteko biderkadura zati bi da.

$A=\left({\frac {{\bar {AC}}\cdot {\bar {BD}}\cdot \sin \theta }{2}}\right)$

Azalera triangulazioaren bitartez ere lor daiteke :

$A=\left({\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}\right)$,

non $\alpha$ baita a eta d aldeen arteko angelua, eta $\gamma$ , b eta c aldeen arteko angelua.

Laukizuzena paralelogramo bat da, eta haren angelu guztiak $90^{\circ }$ gradukoak dira. Azalera laukizuzenaren aldameneko bi aldeen arteko biderkadura da:

$A=a\cdot b$

Erronboa lau aldeak berdinak dituen paralelogramo bat da. Haren azalera erronboaren bi diagonalen distantziaren biderkadura zati bi da:

$A=\left({\frac {{\bar {AC}}\cdot {\bar {BD}}}{2}}\right)$

Laukia lau aldeko poligono erregularra da, eta, aldi berean, laukizuzena eta erronboa. Beraz, haren azalera horien antzera kalkulatzen da. Hala ere, haren aldeak berdinak direnez, honako formula hau erabiltzen da bereziki:

$A=a\cdot a=a^{2}$,

Erronboidearen azalera haren alde baten eta altueraren arteko biderketaren bidez kalkulatzen da:

$A=b\cdot h$,

non b alde baten luzera eta h altuera diren.

Trapezioak bi alde elkarrekiko paralelo eta bi alde elkarrekiko ez-paralelo ditu. Haren azalera bi alde elkarrekiko paraleloen batezbestekoa  bider euren arteko distantziaren ( altuera) bitartez kalkulatzen da:

$A=\left({\frac {a+b}{2}}\right)\cdot h$

Zirkuluaren eta elipsearen azalera

Zirkulu baten azalera, edo zirkunferentzia batek mugatutako azalera, honako formula matematikoaren bitartez kalkulatzen da:

$A=\pi \cdot r^{2}$

Elipse batek mugatutako azalera zirkuluaren azaleraren antzekoa da, eta ardatzerdi handiaren, txikiaren eta $\pi$-ren arteko biderkaduraren bitartez kalkulatzen da:

$A=\pi \cdot a\cdot b$

Bi funtziok mugatutako azalera

Bi funtziok mugatutako azalera kalkulatzeko modu bat kalkulu integrala erabiltzea da:

Bi funtziok mugatutako azalera

$A(a,b)=\int _{a}^{b}\left\vert f(x)-g(x)\right\vert dx$ (A formula)

Integral horren emaitza $f(x)$ eta $g(x)[<f(x)]$ funtzioek osatutako azalera izango da [a,b] tartean.

ADIBIDEA

X ardatzak eta $f(x)=4-x^{2}$ funtzioak mugatutako azalera kalkulatu nahi bada [-2,2] tartean, A formula erabili behar da. Kasu honetan, $g(x)=0$ izanik, honako emaitza lortzen da:

$A(-2,2)=\int _{-2}^{2}\left\vert 4-x^{2}-0\right\vert dx=2\int _{0}^{2}4-x^{2}dx=2[4x-\left({\frac {x^{3}}{3}}\right)]_{0}^{2}=2\left[8-{\frac {2^{3}-0}{3}}\right]=\left({\frac {32}{3}}\right)$

Beraz, mugatutako azalera $32/3$ da.

Bi funtziok mugatutako bolumena integralaren kalkuluaren bitartez lor daiteke.

Azaleraren eta perimetroaren arteko lotura

Plano euklidear batean  kurba itxi eta sinple bat emanda, froga daiteke azalera itxi baten perimetroak edo luzerak eta azalera itxiak berak honako lotura hau dutela:

$\left({\frac {A}{L^{2}}}\right)\leq \left({\frac {1}{4\pi }}\right)$

Zirkuluaren kasuan berdintza betetzen da, eta gainerako irudietan, desberdintza hertsia.

Gainazal kurbatuen azalera

Gainazal kurbatuaren azalera konplexuagoa da eta orokorrean idealizazio edo limite motaren bat egin behar da neurtzeko:

• Gainazala garagarria denean, zilindro baten edo kono baten aldearen azalera bezala, gainazalaren azalera azalera garatu batetik abiatuta kalkula daiteke. Hori irudi laua da beti. Gainazala garagarria izan dadin, Gaussen kurbadurak nulua izan behar du.

•  Gainazala garagarria ez denean, gainazalaren kalkulua edo balio hori lortzeko modu analitikoa neketsuagoa da. Gainazal ez-garagarri baten adibide bat esfera da, izan ere, Gaussen kurbadurak eta erradioaren karratuaren alderantzizkoak bat datoz, eta beraz, ez da nulua. Hala ere, esfera biraketa-gainazal bat da.

$A_{r}(a,b)=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\operatorname {d} \!x$

Biraketa-gainazala

Biraketa-gainazala

Gainazal kurbatu bat kurba lau  bat  edo kurba sortzaile bat ardatz gidagarri baten inguruan biratuz sor daiteke, eta gainazal erresultanteari biraketa-gainazala deitzen zaio. Haren azalera  erraz kalkula daiteke kurba sortzailearen luzeratik abiatuta, zeinak biratzean gainazala sortzen baitu. y=f(X) ekuazioak kurbaren zati bat definitzen badu,  kurba X ardatzaren inguruan biratzean biraketa-gainazala sortzen da eta bere azalera honako hau da:

Biraketa-gainazalen adibideak honako hauek dira:

• Esferaren azalera, R erradioduna: $4\pi R^{2}$
• Konoaren azalera, R erradioduna eta h altueraduna: $\pi Rh{\sqrt {1+R^{2}/h^{2}}}$
• Zilindroaren aldeko azalera, R erradioduna eta h altueraduna: $2\pi Rh$

Azaleraren kalkulu orokorra

Gainazalen geometria diferentzialaren bitartez edota Riemann-en geometria erabiliz, edozein gainazal kurbatu finituren azalera kalkula daiteke. Gainazala $z=f(x,y)$ funtzio esplizituaren bidez adierazita badago, $\Omega$ eskualdean izanik, orduan, azalera honako hau da:

$A(\Omega )=\iint \limits _{\Omega }xy{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}dxdy}}$ (B formula)

Gainazalaren ekuazio parametrikoa edozein u eta v koordenaturen bidez ezagutzen bada, orduan B formula hori honela idatz daiteke:

$A(\Omega )=\iint \limits _{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\operatorname {d} \!u\operatorname {d} \!v$ ,

non tentsore metrikoaren elementuak diren E, F eta G .

n $>$1 dimentsioko Riemann-en barietate batean, 2 dimentsioko zenbait azpibarietateren azalera kalkula daiteke. Azalera kalkulatu ahal izateko, bi koordenatu (u,v), dituen multzo bat definitzen da, azpibarietatea parametrizatzen duena, eta, ondoren, azpibarietatearen atlas bat eratzen da. Beraz, azalera barietate horren 2-forma baten integralaren bidez kalkulatzen da.

Gainazalaren neurri-unitateak

Nazioarteko Unitate Sistema erabiliz:

• kilometro karratua: $10^{6}$ metro karratu
• hektometro karratua edo hektarea: $10^{4}$metro karratu
• dekametro karratua: $10^{2}$metro karratu
• dezimetro karratua: $10^{-2}$ metro karratu
• zentimetro karratua: $10^{-4}$ metro karratu
• milimetro karratua: $10^{-6}$metro karratu
• barn: $10^{-28}$metro karratu

Bibliografia

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.