Pitagorasen teorema

Pitagorasen teorema ustez Pitagoras filosofo eta matematikari greziarrak proposatu zuen, eta honela dio:

"Hiruki zuzen baten katetoen karratuen batura, hipotenusaren karratuaren berdina da."

$a^2 + b^2 = c^2 \,$

Frogapena

Demagun triangelu zuzen bat dugula, non a eta b katetoak diren, eta c hipotenusa. c aldearen karratuak osatzen duen azalera, a eta b aldeen karratuen azaleren baturaren berdina dela frogatu nahi da.

c aldearen karratuaren inguruan beste hiru triangelu berdin jartzen baditugu (jatorrizko triangelua karratu horren zentroarekiko 90º jiratuz), karratu berri bat osatzen dugu. Karratu berri honen aldeak a + b neurtuko du, irudian ikusten den bezala.

Karratu honen azalera bi modutan adieraz daiteke:

• Aldearen karratu bezala:

$A = (a+b)^2 = a^2 + 2 \cdot ab + b^2$

• Jatorrizko karratuaren eta bere inguruko 4 triangeluen batura bezala:

$A = c^2 + 4 \cdot (\frac{a \cdot b}{2}) = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$

Bi adierazpenak berdinduz:

$a^2 + 2 \cdot a \cdot b + b^2 = c^2 + 2 \cdot a \cdot b$

eta sinplifikatuz:

$a^2 + b^2 = c^2 \,$