Lankide:Naroa78/Proba orria

Sarrera

Kalkulu diferentziala kalkulu infinitesimalaren eta analisi matematikoaren zati bat da, funtzio jarraituak bere aldagaien arabera nola aldatzen diren aztertzen duena. Aldagai bakarreko funtzioa $f(x)$ edo $y$ ikurraz adierazten da. Kalkulu diferentzialaren aztergai nagusia deribatua da.^[1] Horrez gain, funtzio baten diferentzialak ere lotura estua du kalkulu diferentzialarekin.

Funtzio baten aldaketaren azterketa biziki interesgarria da kalkulu diferentzialerako; zehazki kalkulu diferentzialak funtzio baten aldagaien aldaketa infinitesimala du aztergai, hau da, aldaketa horrek zerorantz jotzen duen kasua (nahi bezain txiki egiten dena). Izan ere, kalkulu diferentziala limitearen kontzeptuan oinarritzen da . Funtzioen eta geometriaren ikuspuntu filosofikotik, deribatuak $f(x)$ funtzio batek puntu jakin batean zenbateko aldaketa izaten duen adierazten du, aldagaia aldatzen denean. Bestela esanda, deribatua $f(x)$ funtzioaren malda da bere $x$ puntuetan, eta $f'(x)$, $y'$ edo ${dy \over dx}$ ikurrez adierazten da. Deribatuak erabilgarriak dira funtzioen ahurtasuna eta ganbiltasuna, tarte gorakorrak eta beherakorrak eta maximo eta minimoak aztertzeko. Deribatuaren alderantzizkoa integrala da.

Diferentziazioa eta diferentziagarritasuna

Aldagai bakarreko funtzio bat diferentziagarria da $x_{0}$ puntuan bere deribatua existitzen bada puntu horretan. Bestalde, funtzio bat diferentziagarria da tarte batean tarte horretako puntu guztietan diferentziagarria bada. Funtzio bat jarraitua ez bada $x_{0}$ puntuan, ezin da diferentziagarria izan puntu horretan; aldiz, funtzioa jarraitua izan arren $x_{0}$-n, ez du zertan diferentziagarria izan. Hortaz, $x_{0}$ puntuan diferentziagarria den funtzioa jarraitua da $x_{0}$-n, baina $x_{0}$-n jarraituak diren funtzio guztiak ez dira diferentziagarriak puntu horretan. Adibidez, $f(x)=|x|$ jarraitua da, baina ez da diferentziagarria $x=0$-n.

Deribatua

Sakontzeko, irakurri: «Deribatu»

$f(x+h)$ eta $f(x)$ puntuen arteko zuzen ebakitzailea

Deribatuak zehazteko, zuzen ebakitzailearen maldaren limitea hartzen da, zuzen ukitzailera hurbildu ahala. Funtzio baten puntu bakarra ezagutzen dugunean, zaila da puntu horretako zuzen ukitzailearen malda kalkulatzea. Horretarako, zuzen ukitzailea zuzen ebakitzaileen bidez hurbiltzen da. Gertuen dauden zuzen ebakitzaileen malden limitea kalkulatuz, zuzen ukitzailearen malda lortzen dugu.

Zuzen ebakitzaileen malda kalkulatzeko, izan bedi nahi bezain txikia den $h$ ikurraz adierazitako balioa. $h$ ikurrak $x$ puntu baten aldaketa txikia adierazten du, $x$-ren balioa handituz edo txikituz. $(x,f(x))$ eta $(x+h,f(x+h))$ puntuen arteko malda honakoa da:

$${f(x+h)-f(x) \over h}$$

Beraz, $x$ puntuko $f$ funtzioaren deribatua ondoko hau da:

$$f'(x)=\lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}$$

$f$-ren deribatua puntu guztietan existitzen bada, $f'$ funtzio bezala adierazi daiteke.

Aldagai anitzeko funtzioak

Aldagai anitzeko funtzioetan, hau da, $f:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}$ motako funtzioetan, ez da nahikoa $x_{0}$ puntuan deribatua existitzea puntu horretan funtzioa diferentziagarria dela esateko. Zehazki, puntuaren ingurunean funtziorako hurbilketa lineala existitu behar da. Oinarri bektoriala emanda, hurbilketa lineal hori matrize Jacobiarrak ematen du:

$$\lim _{||h||\to 0}{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-J(x_{0})h \over ||h||}$$

Aldagai anitzeko funtzio bat dugunean, deribatu partzialaren kontzeptua erabiltzen da. Funtzio baten deribatu partziala modu informalean azaltzeko, pentsa daiteke funtzio horren deribatua aldagai batekiko kalkulatu behar dela, gainerako aldagaiak konstante mantentzen diren bitartean. Funtzioa $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ izanik, deribatu partzialak honela adierazten dira:

$${\partial \over \partial x_{1}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),{\partial \over \partial x_{2}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),...,{\partial \over \partial x_{n}}f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$$

Historia

Deribatuaren kontzeptua zuzen ukitzailearen bidez adierazitea aspaldikoa da, Antzinako zenbait matematikari greziarrek hori ezagutzen baitzuten. Esate baterako, Euklides (K.a. 300), Arkimedes (K.a. 287–212) eta Apolonio Pergakoaren (K.a. 262–190) garaikoa da kontzeptu hori dagoeneko.

Geroago, aldaketa-erritmoak kalkulatzeko, infinitesimalen erabilera garatu zuen Bhaskara II.ak (1114-1185); izan ere, kalkulu diferentzialaren oinarrizko kontzeptu asko landu omen zituen matematikari honek, adibidez, Rolleren teoreman aurkitu ahal ditugun kontzeptuak.

Sharaf al-Din al-Tusi matematikari persiarrak (1135-1213), Treatise on Equations bere lanean ekuazio kubiko batzuek soluzioa izan dezaten zenbait baldintza ezarri zituen, polinomio kubiko konkretu batzuen maximoa bilatuz. Adibidez, x-ren balio positiboetarako$ax^{2}-x^{3}$ funtzioaren maximoa $x={2a \over 3}$ dela ikusi zuen eta, beraz $ax^{2}=x^{3}+c$ ekuazioak soluzio positibo bakarra duela ondorioztatu zuen $c={4a^{3} \over 27}$ denean, eta bi soluzio positibo $0<c<{4a^{3} \over 27}$ denean. Roshdi Rashed zientzialari garaikideak al-Tusik ondorio honetara iristeko funtzio kubikoaren deribatua egin behar izan zuela argudiatu zuen. Rashedek esandakoa zientzialari gehiagok babestu zuten arren, badaude beste metodo batzuk erabilita lor zezakeela esaten dutenak.

Kalkuluaren garapen modernoa Isaac Newtoni (1643-1727) eta Gottfried Wilhelm Leibnizi (1646-1716) esleitu ohi zaie, independenteki zein batera lan egin baitzuten kalkulu diferentzialaren eta deribatuaren inguruan. Gehienbat, kalkulu diferentzialaren oinarrizko teoremaren garapenagatik nabarmendu ziren. Teorema honek diferentziazioa eta integrazioa erlazionatzen ditu, eta zaharkituta utzi zituen azalera eta bolumenak kalkulatzeko aurretik zeuden metodoak. Deribatuak aztertzean, bai Newton eta bai Leibniz, Pierre de Fermatek (1607-1665), Isaac Barrowek (1630-1677), René Descartesek (1596-1650), Christiaan Huygensek (1629-1695), Blaise Pascalek (1623-1662) eta John Wallisek (1616-1703) aurretik egindako lanetan oinarritu ziren. Isaac Barrow deribatuen inguruan lehen pausoak emateagatik ezagutu ohi da. Hala ere, aipatu bezala, Newton eta Leibniz nabarmentzen dira kalkulu diferentzialean. Newton izan zen lehena fisika teorikoan diferentziazioa erabiltzen, eta Leibnizek gaur egun erabiltzen den notazioaren zati handi bat definitu zuen.

XVII. mendetik aurrera matematikari askok beren ekarpenak egin dituzte diferentziazioaren teorian. XIX. mendean, Augustin Louis Cauchy (1789-1857), Bernhard Riemann (1826-1866) eta Karl Weierstrass (1815-1897) matematikariek asko sakondu zuten kalkuluaren inguruan. Garai horretan ere, diferentziazioa espazio euklidearrera eta plano konplexura orokortu zen.

XX. mendean bi aurrerapauso handi eman ziren deribazioa ulertu eta praktikan jartzerakoan. Lebesgueren integralak, kalkulu integrala funtzio gehiagotara zabaltzeaz gain, deribazioaren eta integrazioaren arteko erlazioa finkatu zuen, jarraitutasun absolutuaren kontzeptuaren bitartez. Ondoren, banaketaren teoriak (Laurent Schwartz-en ondoren) deribazioa funtzio orokortuetara hedatu zuen (adibidez, mekanika kuantikoko Dirac delta funtzioa).