Einsteinen eremu-ekuazioak

Espazio-denboraren deformazioaren analogia bat.

Erlatibitatearen teoria orokorrean Einsteinen eremu-ekuazioak (Einsteinen ekuazio izenez ere ezagutzen direnak) espazio-denboraren geometria eta bertan dagoen materia erlazionatzen dituzte.

Ekuazioak lehenengoz 1915ean argitaratu zituen Einsteinek, tentsore-ekuazio gisa. Ekuazio honetan espazio-denboraren kurbadura lokalaren (Einsteinen tentsorearen bidez adierazia) eta energia eta momentu lokalaren (energia-momentu tentsorearen bidez adierazia) arteko erlazioa agertzen da.

Elektromagnetismoan Maxwellen ekuazioek eremu elektromagnetikoak karga eta korronteen banaketekin lotzen dituzten gisara, Einsteinen ekuazioek espazio-denboraren geometria eta masa-energia eta momentua lotzen dituzte. Beraz, espazio-denborako puntu bateko energia-momentua ezagututa, puntu horretako tentsore metrikoa determinatuta dago. Tentsore metrikoaren eta Einsteinen tentsorearen arteko erlazioa dela eta, Einsteinen ekuazioak deribatu partzialetako ekuazio diferentzial ez-linealen multzo baten bidez adieraz daitezke. Ekuazioen soluzioak tentsore metrikoaren osagaiak dira. Soluzio honetako geometriako erradiazioaren eta partikulen ibilbide inertzialak (geodesikoak) geodesikoen ekuazioarekin kalkula daitezke ondoren.

Energia-momentu lokalaren kontserbazioa inplikatzen du, eta eremu grabitatorio ahula eta abiadura txikiko limitean Newtonen grabitazioaren legea berreskuratzen da.

Einsteinen ekuazioen soluzio zehatzak hurbilketa batzuen pean soilik lor daitezke, simetria esaterako. Zenbait soluzio zehatz fenomeno grabitazionalen ereduak egiteko erabili ohi dira, momentu angeluarra duten zulo beltzak eta unibertsoaren hedapena, besteak beste. Ekuazioak are gehiago sinplifika daitezke espazio-denboraren desbideratzea txikia dela onartuz gero espazio-denbora lauarekin konparatuz gero; Einsteinen ekuazio linealizatuak deritze hauei eta uhin grabitazionalak aztertzeko erabiltzen dira.

Forma matematikoa

Einsteinen eremu-ekuazioak (EEE) honela idatz daitezke:$${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }}$$non ${\displaystyle G_{\mu \nu }}$ Einsteinen tentsorea, ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ tentsore metrikoa, ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ energia-momentuaren tentsorea, ${\displaystyle \Lambda }$ konstante kosmologikoa eta ${\displaystyle \kappa }$ Einsteinen grabitazio konstentea diren.

Einsteinen tentsorea horrela definitzen da:

${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }}$

non ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ Ricciren kurbadura tentsorea eta ${\displaystyle R}$ kurbadura eskalarra diren. Tentsore honen heina bi da eta tentsore metrikoaren eta bere lehen bi deribatuen menpekotasuna soilik du.

Einsteinen grabitazio konstantearen definizioa honako hau da

${\displaystyle \kappa ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\approx 2.077\times 10^{-43}N^{-1},}$

non ${\displaystyle G}$ grabitazio konstante Newtondarra den eta ${\displaystyle c}$ ,berriz, argiaren hutseko abiadura.

Einsteinen eremu-ekuazioak honela ere idatz daitezke:

Unitate estandarretan ezkerreko termino guztiek ${\displaystyle {\frac {1}{luzera^{2}}}}$ moduko unitateak dituzte.

Ezkerreko adierazpenak metrikak zehaztutako espazio-denboraren kurbadura erakusten du; eskuinekoak, ordea, espazio-denboraren energia-momentu edukia determinatzen du. Ekuazio hauek, geodesikoekin batera, erorketa askean dagoen gorputz baten higidura deskribatzen dute espazio-denboran zehar eta Erlatibitate Orokorraren formulazio matematikoaren mamia osatzen dute.

Einsteinen eremu-ekuazioek tentsore ekuazioa osatzen dute 4x4 dimentsioko matrize simetrikoen bidez adierazita. Tentsore bakoitzak 10 osagai independente ditu. Bianchiren lau identitateek osagai independenteen kopurua 10tik 6ra jasiten dute, metrika gaugeak finkatutako lau askatasun gradurekin utziz, koordenatu sistemaren aukeraketa askatasunarekin lotuta.

Ekuazio hauek hasiera batean lau-dimentsiodun teorian formulatuak izan ziren arren, hainbat fisikari teorikok aztertu dituzte haien eraginak n dimentsiotan. Hutseko eremu ekuazioak (${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ edonon zero denean lorturikoak) Einsteinen barietateak definitzen dituzte.

Zeinu hitzarmena

Goiko EEE adierazpenak Misnerrek, Thornek eta Wheelerrek ezarritakoak dira (MTW). Hauek ordura arteko hitzarmenak aztertu eta sailkatu zituzten hiru zeinutan ([S1][S2][S3]):

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{\mu \nu }&=[S1]\times \operatorname {diag} (-1,+1,+1,+1)\\[6pt]{R^{\mu }}_{\alpha \beta \gamma }&=[S2]\times \left(\Gamma _{\alpha \gamma ,\beta }^{\mu }-\Gamma _{\alpha \beta ,\gamma }^{\mu }+\Gamma _{\sigma \beta }^{\mu }\Gamma _{\gamma \alpha }^{\sigma }-\Gamma _{\sigma \gamma }^{\mu }\Gamma _{\beta \alpha }^{\sigma }\right)\\[6pt]G_{\mu \nu }&=[S3]\times \kappa T_{\mu \nu }\end{aligned}}}$

Hirugarren zeinua Ricciren tentsorearen zeinu hitzarmenaren hautaketarekin loturik dago.

${\displaystyle R_{\mu \nu }=[S2]\times [S3]\times {R^{\alpha }}_{\mu \alpha \nu }}$

Definizio hauekin Misner, Thorne eta Wheeler (+++) gisa aldarrikatu ziren, Weinberg (1972), ordea (+ - -), Peebles (1980) eta Efstathiou et al. (1990) (- + +), eta azkenik, Rindler (1977), Atwater (1974), Collins Martin eta Squires (1989) eta Peacock (1999) (- + -)ren aldekoak dira.

Egileek, Einstein barne, Ricciren tentsorearentzat zeinu ezberdinak erabili dituzte eta horregatik azaltzen da ekuin aldeko konstantearen zeinua negatibo.

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=-\kappa T_{\mu \nu }.}$

Formulazio baliokideak

Einsteinen eremu-ekuazioen alde bakoitzeko aztarnak hartuz hau lortzen da:${\displaystyle R-{\frac {D}{2}}R+D\Lambda =\kappa T}$

non $D$ espazio-denboraren dimentsioa den. ${\displaystyle R}$-rentzako ebatziz eta hasierako eremu ekuazioetan txertatuz hurrengo "aztarna alderantzizkatuko" forma baliokidea lortzen da:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {2}{D-2}}\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{D-2}}Tg_{\mu \nu }\right)}$

D=4 dimentsiok hau horrela murrizten dute:

${\displaystyle R_{\mu \nu }-\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa \left(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}T\,g_{\mu \nu }\right).}$

Aztarna berriz alderantzizkatzeak berriro ere hasierako ekuazioa emango luke. Aztarna alderantzizkatuko forma askotan lagungarria izan daiteke (adibidez, eremu ahuleko limitean).

Konstante kosmologikoa

Einsteinen eremu-ekuazioetan:

${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }\ ,}$

Λ konstante kosmologikoa duen terminoa ez zen Einsteinen lehen argitalpenean agertu. Beranduago gehitu zuen Einsteinek berak termino hau hedapen edo uzkurdurarik ez zuen unibertso bat baimendu zezan. Honek bi arrazoirengatik ez zuen arrakastarik izan:

• ekuazio hauek deskribaturiko soluzio iraunkor guztiak ezegonkorrak ziren, eta
• Edwin Hubblek egindako neurketek unibertsoa hedatzen ari zela erakusten zuten

Beraz, Einsteinek ${\Lambda }$ baztertu zuen, eta George Gamowri “konstante kosmologikoa sartzea bere bizitzako hanka-sartze handiena izan zela” idatzi zion.

Termino hau sartzeak ez du inongo hutsaltasunik sortzen. Urte askoan zehar pentsatu izan da konstante kosmologikoaren balioa zero dela. Hala ere, beranduagoko behaketa astronomikoek erakutsi dute unibertsoa era azeleratuan hedatzen ari dela, eta hau azaltzeko beharrezkoa da ${\Lambda }$ positiboa izatea. Konstante kosmologikoa arbuiagarria da galaxien tamainako eskaletan eta eskala txikiagoetan, eta gaur egungo kosmologo gehienek gai honek oso txikia izan behar duela, bestela ezin dira teoria newtondarraren arrakastak ulertu.

Einsteinek konstante kosmologikoa parametro independente bat zela uste zuen, baina eremu-ekuazioan berekin doan terminoa algebraikoki berdintzaren beste aldera pasa daiteke, eta energia-momentuaren tentsoreari eransten zaio horrela:

${\displaystyle T_{\mu \nu }^{\mathrm {(huts)} }=-{\frac {\Lambda }{\kappa }}g_{\mu \nu }\,.}$

Tentsore honek huts-egoera bat deskribatzen du, non bere energia-dentsitatea eta presio isotropikoa ${\rho _{huts}}$ eta ${p_{huts}}$ diren hurrenez hurren. Konstante hauek ondorengo erlazioa betetzen dute:

${\displaystyle \rho _{\mathrm {huts} }=-p_{\mathrm {huts} }={\frac {\Lambda }{\kappa }},}$

non ${\Lambda }$ konstanteak SI-eko m−2 unitateak dituen eta κ goian bezala definituta dagoen.

Beraz, konstante kosmologiko bat existitzea, huts-egoeran energiaren bat eta aurkako zeinuko presio bat egotearen baliokidea da. Hau dela eta, “konstante kosmologiko” eta “hutsaren energia” era baliokidean erabiltzen dira erlatibitate orokorrean.

Ezaugarriak

Energia eta momentuaren kontserbazioa

Erlatibitate orokorrean energia eta momentu lokala kontserbatu egiten dira:

${\displaystyle \nabla _{\beta }T^{\alpha \beta }={T^{\alpha \beta }}_{;\beta }=0}\ ,$

Kontsarbazio hau baldintza fisiko bat da. Bere eremu-ekuazioekin Einsteinek erlatibitate orokorra kontserbazio honekin bateragarria zela ziurtatu zuen.

Izaera ez-lineala

Eremu-ekuazioen izaera ez linealak erlatibitate orokorra beste hainbat oinarrizko teoria fisikotatik aldentzen du. Esate baterako, Maxwellen elektromagnetismorako ekuazioak linealak dira eremu elektriko eta magnetikoarekiko, eta baita karga eta korronte banaketekiko ere; bi soluzioren batura ere ekuazioen soluzioa baita. Beste adibibide bat mekanika kuantikoko Schrödingerren ekuazioa da, lineala baita uhin-funtzioarekiko.

Korrespondentzia printzipioa

Einstenen ekuazioetatik Newtonen grabitazio unibertsalaren legea berreskuratzen da, eremu ahuleko hurbilketa eta abiadura txikiko hurbilketa eginez. Izan ere, ekuazioetan agertzen den G konstantea bi hurbilketa hauen bidez determinatua da.

Hutseko eremu ekuazioak

${T_{\mu \nu }}$ energia-momentuaren tentsorea zero bada aztertzen ari garen gunean, Einsteinen ekuazioei hutseko eremu-ekuazio ere deitzen zaie. Aztarna alderantzizkatuko eremu-ekuazioetan ${T_{\mu \nu }}=0$ ezarriz, ekuazioak horrela idatz daitezke:

$R_{\mu \nu }=0\ .$

Eta beraz, konstante kosmologikoa zero ez den kasuetan, ekuazioak ondorengoak dira:

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {\Lambda }{{\frac {D}{2}}-1}}g_{\mu \nu }\,.}$

Hutseko eremu-ekuazioen soluzioei hutseko soluzio deritze. Minkowskiren espazio-denbora laua da hutseko soluzioen adibide sinpleena. Beste adibide batzuk dira Schwarzvhild-en soluzioa eta Kerr-en soluzioa.

Barietateak ${R_{\mu \nu }}$ Ricciren tentsorearen arabera sailkatzen dira. ${R_{\mu \nu }=0}$ betetzen duten barietateak Ricciren barietate lauak dira, eta ${R_{\mu \nu }}$ metrikaren proportzionala denean Einsteinen barietatea dela esaten da.

Einsten-Maxwellen ekuazioak

$\displaystyle {T_{\mu \nu }}$ Energia-momentu tentsorea hutseko eremu elektromagnetikoarena bada, hots,

${\displaystyle T^{\alpha \beta }=\,-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right)}$,

Einsteinen eremu-ekuazioei Einstein-Maxwell ekuazioak deritze ($\Lambda$ konstante kosmogolikoa zero hartuz):

${\displaystyle G^{\alpha \beta }+\Lambda g^{\alpha \beta }={\frac {\kappa }{\mu _{0}}}\left({F^{\alpha }}^{\psi }{F_{\psi }}^{\beta }+{\tfrac {1}{4}}g^{\alpha \beta }F_{\psi \tau }F^{\psi \tau }\right).}$

Horrez gain, Maxwellen ekuazio kobarianteak ere erabili daitezke espazio hutserako:

${\displaystyle {\begin{aligned}{F^{\alpha \beta }}_{;\beta }&=0\\F_{[\alpha \beta ;\gamma ]}&={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ;\gamma }+F_{\beta \gamma ;\alpha }+F_{\gamma \alpha ;\beta }\right)={\tfrac {1}{3}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\beta \gamma ,\alpha }+F_{\gamma \alpha ,\beta }\right)=0\end{aligned}}}$

non puntu eta komak deribazio kobariantea adierazten duen, eta taketek anti-simetrizazioa. Lehen ekuazioak $F$ 2-formaren 4-dibergentzia zero dela baieztatzen du, eta bigarrenak bere kanpo-deribatua zero dela. Azken honetatik Poicaréren lemma lortzen da, $A_{\alpha }$ potentzial eremu elektromagnetikoarekin erlazionatuz

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=A_{\alpha ;\beta }-A_{\beta ;\alpha }=A_{\alpha ,\beta }-A_{\beta ,\alpha }}$

non komak deribatu partziala adierazten duen. Hau askotan Maswellen ekuazio kobariantetzat hartzen da. Hala ere, globalki definitu gabeko potentzialak dituzten soluzio globalak egon daitezke.

Soluzioak

Einsteinen eremu-ekuazioen soluzioak espazio-denboraren metrikak dira. Metrika hauek espazio-denboraren egitura deskribatzen dute, espazio-denboraren barruan mugitzen diren objektu inertzialak kontuan hartuta. Eremu-ekuazioak linealak ez direnez, ezin dira beti analitikoki ebatzi; adibidez, ez da ezagutzen bi gorputz masadun dituen espazio-denborari dagokien ekuazioen soluzio zehatzik (eredu hori izar-sistema binario baten eredu teorikoa izan daiteke, adibidez). Horrelako kasuetan hurbilkekak egin ohi dira, hurbilketa post-Newtondar deitzen zaie. Hala ere, kasu batzuetan posible da ekuazioak zehatz-mehatz ebaztea, eta hauei soluzio zehatz deitzen zaie.

Einsteinen ekuazioen soluzio zehatzen azterketa kosmologiako atal garrantzitsua da. Hauen bidez zulo beltzak aurresan eta unibertsoaren eboluzioaren ereduak egiten dira, besteak beste.

Ricciren tentsorea

Ikus, gainera: Ricciren kurbadura tentsorea

Ricciren kurbadura tentsoreak Gregorio Ricci-Curbastro matematikariaren omenez du izen hori. Geometria diferentzialean, Riemannen metrika edo pseudo-Riemannen metrikaren bidez determinatzen de objektu hau, Riemannen kurbadura tentsorearen indizeen kontrakzio bat da. Orokorrean, Ricciren tentsoreak esaten diguna da metrika baten geometria, lokalki, ohiko espazio Euklidear edo pseudo-Euklidear batekin alderatuz zenbateraino den ezberdina. Izan ere, Ricciren tentsorearen behe-mugak luzera funtzionalaren azterketa egiteko erabil daitezke Riemannen geometrian, 1941ean argitaratu zen Mayers-en teoremak erakusten duenez.

Ricciren tentsorea ibilbide geodesikoetan zehar jasandako deformazioaren bidez karakteriza daiteke. Hau dela eta Einsteinen ekuazioek espazio-denbora pseudo-Riemannen metrika baten bidez deskribatu daitekela proposatzen dute, hau da, Ricciren tentsorearen eta unibertsoko materiaren erlazio sinple bat. Analogia eginez, funtzioen analisian Laplacearrak duen paperaren antzekoa du Ricciren tentsoreak Riemannen geometrian.

Interpretazio geometrikoa

Einsteinen ekuazioaen ondorioz, behatzaile bakoitzarentzat, $\kappa$ espazioaren kurbadura eskalarra $\rho$ itxurazko dentsitatearen porportzionala da:

${\displaystyle \kappa ={16\pi G \over c^{2}}\rho }$.

Kurbatura eskalar geometrikoaren esanahiaren arabera, adierazpen honek dio $M$ masa eta dentsitate konstantedun esfera batean gehiegizko erradioa (benetazko erradioa eta azalera berdineko esfera euklidear bati dagokion erradioaren arteko diferentzia) honelakoa dela:

${\displaystyle \Delta R={GM \over {3c^{2}}}}$

Lurrean, adibidez, gehiegizko erradioa 1.5mm-koa da eta Eguzkian 495m-koa.

Harrigaria da nola ekuazio honek, nahiz eta geometria euklidearran zuzenketa txikiak egin, fisika makroskopikoko ia ekuazio guztiak biltzen dituen. Izan ere, $c$ argiaren hutseko abiadura infinitora doanean, bertatik Newtonen grabitazio unibertsalaren legea, Poissonen ekuazioa, eta ondorioz, fluidoen mekanikako ekuazioak (jarraitutasun ekuazoa eta Eulerren ekuazioak), masa eta momentuaren kontserbazio legeak, espazioaren izaera euklidearra etab. lortzen dira.

Modu berean ondorioztatzen dira kontserbazio lege erlatibista guztiak eta eremu grabitatorioaren eta masaren existentzia espazioak bi dimentsio baino gehiago dituenean soilik gerta daitekela. Gainera, espazioak lau dimentsio dituela onartzen bada (egunerokotasunean ikusten ditugun hiru gehi Plancken luzeerako beste dimentsio zirkular txiki bat), Einsteinen ekuazioetatik elektromagnetismoaren teoria klasikoa ondorioztatzen da: Maxwellen ekuazioak, eta ondorioz, Coulomben legea, kargaren elektrikoaren kontserbazioa eta Lorentzen legea.

Limite klasikoa

Limite klasikoan Ricciren tentsorearen osagai ez-nulu bakarra ${\displaystyle \scriptstyle R_{00}}$ osagai tenporala da. Limite klasikoa lortzeko argiaren abiaduraren karratuarekin konparatuz, potentzial grabitatoria oso txikia dela onartu eta argiaren abiadura infinitora eraman behar da. Horiek eginez, eremu grabitatoriorako Einsteinen eremu-ekuazioak, potentzial grabitatoriorako Poissonen ekuazio diferentzialen forma hartzen dute. Suposatuz eremu grabitatorio ahuletarako espazio-denboraren metrika Minkowskiren metrikaren pertubaziotzat har daitekela:

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )=\eta _{\alpha \beta }+{\frac {h_{\alpha \beta }(\mathbf {x} )}{c^{2}}},\qquad h_{00}\approx -2\phi _{g}}$

Ricciren osagai tenporala:

${\displaystyle R_{00}\approx -{\frac {1}{2}}\sum _{i}{\frac {\partial ^{2}h_{00}}{\partial (x^{i})^{2}}}={\frac {4\pi G}{c^{2}}}(\rho c^{2})\Rightarrow \nabla ^{2}\phi _{g}=4\pi G\rho }$

Azken hau, bereziki, Poissonen ekuazioa da, potentzial grabitatorioa materia dentsitatearekin erlazionatzen duena.

Kanpo estekak

• Datuak: Q273711