Logaritmo

Wikipedia(e)tik
Hona jo: nabigazioa, Bilatu

Matematikan, zenbaki baten logaritmoa, oinarri zenbaki bati buruz, oinarri zenbakia edo besterik gabe oinarria berarekin behin eta berriz biderkatu beharreko aldi kopurua da, emaitza logaritmoa kalkulatu nahi den zenbakia izan dadin. Berreketaz, oinarria berretu beharreko zenbakia da, emaitza logaritmoa kalkulatu nahi den zenbakia izan dadin. Adibidez, 1000 zenbakiaren logaritmoa, oinarri 10 edo 10 oinarriari buruz, 3 da (eta honela idatzen da: log101000  = 3) hau betetzen baita: 10 × 10 × 10 =103 = 1000. Beste adibide bat: 2 × 2 × 2 × 2 × 2=25 betetzen denez, log232 = 5.

Eskuarki:

x = b^y \text{     betetzen bada, orduan    }y = \log_b (x)\,,

eta alderantziz berdin, b logaritmoaren oinarria izanik.

Edozein b oinarritan:

\log_b (1)=0\,,


Etimologia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Logaritmo hitza greziera zaharreko logos (proportzio edo arrazoia) eta arithmos (zenbaki) hitzetatik dator. Izan ere, logaritmoen balioak proportzioak aztertzeko erabil daitezke besteak beste. Adibidez,

  • \text{log}_{2}2=1\,
  • \text{log}_{2}8=3\,
  • \text{log}_{2}32=5\ ;

8 zenbakia 2 zenbakiari buruz 3 aldiz handiagoa da eta aldi berean, 32 zenbakia 8 zenbakiari buruz ere 3 aldiz handiagoa da. Beraz, proportzioen bilakaera 2, 8, 32 segidan konstantea denez, logaritmoen emaitzen segida uniformea izango da: 1, 3, 5.

Oinarriak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Edozein zenbaki izan daiteke logaritmo baten oinarri, baina oinarri erabilienak hauek dira:

  • logaritmo nepertar edo naturalak, oinarritzat e= 2,7182818285... zenbakia dutenak. Natural izendapena arlo zientifikoan eta teknikoan dituen aplikazio zabalak direla eta hartzen du. Nepertar izendapena, berriz, John Napier edo Neper matematikariak asmatu zituelako ematen zaio. x zenbaki baten logaritmo nepertarra honela adierazi ohi da: ln x.
  • logaritmo hamartarrak, oinarritzat 10 dutenak. Ingeniaritzan erabiltzen dira. x zenbaki baten logaritmo hamartarra honela adierazi ohi da: log x.
  • logaritmo bitarrak, oinarritzat 2 dutenak. Informatikan erabiltzen dira. Honela adierazten da x zenbaki baten logaritmo bitar: log2x.

Logaritmoen propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bitez b\,, x\, eta x^y\, zenbaki erreal positiboak:

 \log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!\, , zeren  b^x \cdot b^y = b^{x + y} \!\,
 \log_b\!\left(\begin{matrix}\frac{x}{y}\end{matrix}\right) = \log_b(x) - \log_b(y) , zeren  \begin{matrix}\frac{b^x}{b^y}\end{matrix} = b^{x - y}
 \log_b(x^y) = y \log_b(x) \!\, , zeren  (b^x)^y = b^{xy} \!\,
 \log_b\!\left(\!\sqrt[y]{x}\right) = \begin{matrix}\frac{\log_b(x)}{y}\end{matrix} , zeren  \sqrt[y]{x} = x^{1/y}
 x^{\log(y)} = y^{\log(x)} \!\, , zeren  x^{\log(y)} = e^{\log(x) \log(y)} = e^{\log(y) \log(x)} = y^{\log(x)} \!\,

x^y\, positiboa bada, baina x\, ez, orduan  \log_b(x^y) = y \log_b(-x) \!\, .

Antilogaritmoa eta kologaritmoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  • Antilogaritmoa logaritmoaren alderantzizko funtzioa da: z zenbaki baten antilogaritmoa bere logaritmoa z ematen duen zenbakia da. Zehatzago, honela definitzen da, b oinarri baterako:
\text{log}_b({\text{antilog}_bz})=\text{antilog}_b({\text{log}_bz})=z\,

Beraz, b oinarriari buruz, z zenbaki baten antilogaritmoa hau da:

\text{antilog}_bz=b^z\,
\text{colog}_bz=\text{log}_b\left(\frac{1}{x}\right)=-\text{log}_bz\,

Oinarri aldaketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Oinarri bakar bati buruzko logaritmoak ezagutzen badira, aise egiten dira beste oinarri baterako aldaketak:

\log_b(x) = \frac {\log_k(x)}{\log_k(b)} \,\!

Frogapena:

\log_b(x) = a \rightarrow b^a=x \rightarrow \log_k(b^a)=\log_k(x) \rightarrow a\log_k(b)=\log_k(x) \rightarrow a=\frac{\log_k(x)}{\log_k(b)}=\log_b(x)

Beraz, aldaketa hau ere egin daiteke:

\log_b(x) = \frac {1}{\log_x(b)} \,\!

Logaritmoen kalkulua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Egun logaritmoak kalkulagailu eta konputagailuak erabiliz inongo zailtasunik gabe kalkulatzen badira ere, tresna hauek zabaldu baino lehen, logaritmo taulak erabiltzen ziren kalkulu arruntak egiteko.

Kanpo loturak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Commonsen badira fitxategi gehiago, gai hau dutenak: Logaritmo Aldatu lotura Wikidatan