Tunel-efektua

Wikipedia, Entziklopedia askea
Irudi honetan elektroi sorta bat potentzial langa batera hurbiltzen ikus daiteke, eta langara iritsitakoan, nola zati handiena etorritako lekutik itzultzen bada ere zati txiki batek langa tunel efektuaren bidez gainditzen duen.

Tunel-efektua[1] deritzo mekanika kuantikoan partikula batek bere energia baino energia potentzial handiagoko potentzial-langa bat zeharkatzean jazotzen den fenomenoari.

Mekanika klasikoan efektu hau azaltzea ezinezkoa da, potentzial-langa bat igarotzeko aukera bakarra honek behar beste energia lortu eta gainetik pasatzea baita. Baina mekanika kuantikoan, uhin-partikula dualtasunari esker, partikularen posizioa uhin-funtzioa erabiliz deskribatu daiteke, eta honela, langara iritsi ondorengo partikularen posizioaren probabilitatea kalkulatu. Probabilitate hori aztertuz, potentzial-langa behar adina energia izan gabe zeharkatzea posible dela ikus daiteke. Zeharkatzeko probabilitatea finitua da, eta esponentzialki txikiagotzen da langaren altuera eta zabalera handiagotzean. Tunel efektua 1-3nm edo txikiagoko potentzial langetan gertatzen da.[2]

Efektu hau Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa erabiliz ere uler daiteke, partikula baten posizioa zehazki jakin ahal ez izateak honi mekanika klasikoaren arauak bortxatzea ahalbidetzen baitio, potentzial-langa energia nahikorik gabe zeharkatzea posible eginez.

Tunel efektua XX. mendearen hasieran aurresan zen, eta mende bereko erdialdera izan zen fenomeno fisiko orokor gisa onartua.

Historia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tunel efektua gerta zitekeela proposatu zuen lehena Friedrich Hund izan zen, 1927.[3] urtean, energia potentzial langa bikoitza aztertzen ari zen bitartean. Urte berean, Leonid Mandelstam eta Mikhail Leontovich-ek aurkitu zuten fenomeno bera, garai hartan berria zen Schrödingerren uhin ekuazioak zekarren ondorioak analizatzeko prozesuan.[4]

Jadanik erradioaktibitatea ezaguna zen, Henri Becquerelek 1896. urtean aurkitu baitzuen. Marie eta Pierre Curie-k, gainera, ikerkuntza zabalagoa egin zuten gai honen inguruan, Fisikako Nobel Saria irabaztera eraman ziena. Bestalde, Ernest Rutherford eta Egon Schweidler-ek ere erradioaktibitatearen izaera aztertu zuten, erdibizitzaren kontzeptuak garatuz.[5] Hala ere, ez zegoen azalpen matematikorik fenomeno hauentzako.

Ez zen izan 1928. urtera arte non George Gamowek,(Madelstam eta Leontovichen experimentuak ezagututa[6]) tunel efektuari esker, alfa desintegrazioaren teoria ebatzi zuen. Klasikoki, nukleo atomiko batetik ateratzeko behar duten energia oso handia denez, partikulek ez dute haietatik ihes egiteko aukerarik. Baina mekanika kuantikoaren ikuspegitik, nukleoak ezartzen duen potentziala zeharkatzeko probabilitatea badu partikulak, kontuan hartzeko modukoa izanik. Horrela, Gamowek nukleoentzako potentzial eredu bat proposatu, eta partikula baten erdibizitzaren eta igorpen energiaren arteko lotura aurkitu zuen.

Urte berean, Ronald Gurneyek eta Edwar Condonek ere alfa desintegrazioaren teoria ebatzi zuten[7][8][9]. Harrezkero, partikulek tunel energetiko bat zeharkatzeko aukera dutela onartzen da.

Max Bornek, 1926. urtean Schrödingerren ekuazioari esanahi probabilistikoa eman ziona, Gamowen mintegian egon ondoren, tunel efektuaren orokorkuntza egin zuen. Fenomenoa ez zen soilik fisika nuklearrean ematen, mekanika kuantikoaren ondorio zuzena baitzen, eta honen ondorioz, hainbat sistematan ikus zitekeen[10]. Hori dela eta, teknologiaren hainbat arlotan aplikazio zuzenak izan ditu, hala nola, transistoreetan eta diodoetan. Hain zuzen ere, azken hauen garapenak elektroien tunel efektua onartzera eraman zuen 1957. urtean.

Azalpen sinplifikatua[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tunel efektuaren diagrama
Tunel efektua era sinplifikatuan azaltzen duen diagrama. Mekanika klasikoak eta kuantikoak baimendutako bideak alderatzen ditu.

Mekanika kuantikoaren arloko fenomenoa da tunel efektua eta mundu mikroskopikoaren ezagutzarekin lotura estua du. Orokorrean, asko jota tamaina atomikoa duten partikulekin ari garenean bakarrik beha daiteke. Eskala horretan mekanika klasikoaren ordez, mekanika kuantikoa erabili behar da. Dena den, kontzeptua ulertzeko, potentzial langa bat zeharkatu nahian dabiltzan partikulak mendixka batean behera doan pilota batekin aldera daitezke.

Grabitatearen eraginez, pilotak Lurraren zentroranzko norabidean higitzeko joera du. Mekanika klasikokoaren arabera, abiadura (energia) nahikoa ez badu, baloiak ezingo du muinoa gainditu.

Hala eta guztiz ere, mekanika kuantikoaren ikuspuntutik, partikulek noizbehinka beste aldera tunelatu dezakete. Hau da, partikulek energia nahikoa ez badute ere, muinoa gurutzatuko duten probabilitate txiki bat dago.[11]

Bi ikuspuntuen arteko aldearen jatorria materiak uhin zein partikulen propietateak dituela onartzea da. Dualtasun honen interpretazio batek Heisenbergen ziurgabetasunaren printzipioa sartzen du tartean. Printzipio honek muga bat jartzen du aldi berean partikula baten posizioa eta momentu lineala jakiteko zehaztasunean.[12] Hori dela eta, "partikularen posizioa da" esan beharrean, testuinguru honetan egokiena "partikula posizioan aurkitzeko probabilitatea da" esatea da. Heisenbergen printzipioaren ondorioz, egoera batek zero (edo bat) probabilitatea izatea debekatuta dago. Hortaz, partikula bat oztopo baten beste aldean topatzeko probabilitatea beti izango da ez-nulua.

Tunelatzea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

1. Irudia. Potentzial langa bat erasotzen duen uhin-fardelaren simulazioa. Uhin fardelaren zati batek langa zeharkatzen du.

Partikula baten uhin-funtzioak sistema fisiko bati buruz jakin daitekeen guztia laburbiltzen du [13].

Schrödingerren ekuazioa bezalako formulazio matematikoak erabiliz aurki daiteke uhin-funtzioa. Bere moduluaren karratua zuzenean dago erlazionatuta partikula espazioko puntu batean aurkitzeko probabilitatearekin.

Langa zenbat eta zabalagoa eta energia altuagokoa izan, orduan eta txikiagoa da tunelatzeko probabilitatea. Tunelatzearen eredu sinpleak, dimentsio bateko potentzial langa esaterako, aljebraikoki analiza eta ebatz daiteke. Horrelakoetan, oztopoaren barruan anplitude ez-nulua duen uhin-funtzioa da prozesuaren eredua. 1. irudiko simulazioak mota honetako sistema erakusten du.

Errealitateko mota honetako problemek askotan soluziorik ez dutenez, WKB hurbilketa bezalako metodo "semiklasikoak" garatu dira soluzio hurbilduak aurkitzeko.

Garapen matematikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tunelatze kuantikoa. Jatorrian (x=0) potentzial langa oso garai (baina estua) dago. Tunel efektu adierazgarria ikus daiteke.

Denborarekiko independentea den Schrödingerren[14] ekuazioa honako hau da,

Erabilitako magnitudeak hauek dira:

  • Plancken konstantea.
  • partikularen masa.
  • mugimenduaren norabidean neurtutako distantzia.
  • partikularen uhin funtzioa.
  • partikularen energia potentziala (erreferentziazko maila egoki batekiko neurtuta).
  • partikularen ardatzeko higidurari dagokion energia den (-rekiko neurtuta).
  • =.

Schrödingerren ekuazioak hainbat forma har ditzake -ren balio ezberdinetarako, -ren arabera. negatiboa eta konstantea den kasuetan, ekuazioa honela idatz daiteke:

Soluzioak uhinak dira, edo fase-konstanteekin. Aldiz, positiboa eta konstantea bada, Schrödingerren ekuazioak honako eite hau hartuko du:

konstantea izan beharrean -rekin aldatzen diren kasuak zailagoak dira. Salbuespenak diren kasuetan da errazagoa ebazpena, baina errealitate fisikoarekin loturarik ez duten egoerei dagozkie.

WKB hurbilketa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Klasikoki, partikularen posizioa deneko gunera dago mugatuta.

WKB (Wentzel-Kramers-Brillouin) hurbilketak koefiziente aldakorreko ekuazio diferentzial linealen soluzio hurbilduak ematen ditu. Bereziki erabilgarria da mekanika kuantikoko kalkulu semiklasikoak egiteko, zeinetan uhin funtzioa esponentzial gisa idatz daitekeen. Uhin funtzioaren anplitudea oso mantso aldatzen denean erabiltzen da. Ondoko forma duen soluzioa bilatuko da,[15]:

Deribatuak:

Schrödingerren ekuazioa, , horrela berridatz daiteke funtzioa definituz

Gure soluzioa ordezkatuz

Zati errealak eta irudikariak bananduz, hurrengo bi ekuazioak lortuko dira

Bigarren ekuaziotik lortutako soluzioa hauxe da,

Lehenengo ekuazioko arbuiagarria da

Beraz, soluzioa eta probabilitate banaketa ondoko hauek dira,

Hurbilketa hau baliagarria izateko, ezinbestekoa da izatea, bestela -k zerorantz joko luke, eta uhin funtzioak infiniturantz. Potentzial langa bertikala bada (hau da, -tik -rako jauzia bat-batekoa bada) oso zaila da izatea. Hala ere, benetako kasuetan, malda ez da bertikala, eta orduan partikula aurki daitekeen puntuetako batean beteko da. Hori betetzen duten puntuei puntu kritiko deritze. Hain zuzen ere, klasikoki puntu kritiko hauetan partikulak buelta emango luke, baino kuantikoki hau ez da gertatzen. Hori dela eta, puntu hauetatik hurbil ekuazioa beste modu batean ebatzi behar da.

Eskuineko puntu kritikoa hurbiletik. Gune klasikoaren eta ez-klasikoaren arteko muga.

Lehendabizi, puntuan kokatuko da puntu hori translazio baten bitartez eta bi zatitan banatuko da lehen lortutako soluzioa, puntu kritikotik urrun baliagarria izan dadin:

Potentzialaren hurbilketa lineala hartuko da

Hori ordezkatuz, Schrödingerren ekuazioak forma hau hartzen du

Orduan definituz eta aldagai aldaketa eginez, ekuazio diferentziala horrela geratuko da

Horren soluzioak Airy-ren funtzioak dira. Hauen adierazpenak konplikatuak dira, baina -tik urrun hurrengo hurbilketak erabil daitezke

Arreta berezia eskatzen duen gunea eta soluzioen bi gainezarmenak

Puntu kritikoetatik urrun WKB hurbilketa erabil daiteke, baina puntu kritikoetan ordea, ez. Hala ere, partikula baten higidura deskribatzeko funtzioek jarraituak izan behar dute. Hau betetzeko, hurbilketaren konstanteak Airyren funtzioen limite asintotikoekin doituko dira, eta horrela hurrengo uhin funtzioa lortuko da puntu kritikotik urrun. Ikusi puntu kritikoa hasierako posiziora () itzuli dela, hasieran zerora eramateko translazioa deseginez.

Transmisio eta islapen koefizienteak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Transmisio eta islapen koefizienteak[16] aztertzeko, kasu erraz bat aukeratuko da: potentzial langa. da artean, eta hortik kanpo. Kasu honetan jauzia bertikala dela suposatuko da, eta beraz, potentzial langaren barruan WKB hurbilketa eginez lortutako emaitza baliagarria da:

Potentzial langa. Transmisio eta islapen indizeak aztertzeko erabiliko den kasu partikularra.

Baina potentziala konstantetzat hartuko denez, integrakizunetik atera daiteke. Ondoko parametroak definituz, eta , eta integralaren ordez ipiniz, tarte horretan aurreko adierazpenek hartuko duten eitea hauxe da:

eta konstanteak direnez eta -ren barruan sar daitezke: .

Beraz,

Oharra: kasu partikular honetan, emaitza berberera iritsiko litzateke espazioa hiru zatitan banatuz potentzialaren arabera eta Schrödingerren ekuazioa zati bakoitzean ebatziz, mugalde baldintzak errespetatuz.

Transmisio eta islapen koefizienteen adierazpenetara iristeko aurreko ekuazioetan mugalde baldintzak inposatu behar dira: , eta bi hauen deribatuek jarraituak izan behar dute. Horrela lau ekuazio lortzen dira

Horma garai eta zabal bat zeharkatu duen uhin funtzioaren egitura kualitatiboa.

Hemen soluzio zehatzak lor daitezke; hala ere, kalkuluak zailak dira. Baina horma oso handia edota oso garaia baldin bada (hau da, tunelatze-probabilitatea txikia da), esponentzialki hazten den gaiaren koefizienteak () txikia izan behar du (izatez, zero izango litzateke horma infinituki handia balitz). Horrela, zuzenean hurrengoa lortzen da

Bestela, lehenengo bi ekuazioetatik, hartzen bada, -ren funtzio gisa lor daiteke

Lehen bezala, moduluak kalkulatzerakoan ondokoa lortzen da

Eta beraz, transimisio-indizea modu honetan idatz daiteke

Orain, eta -ren definizioak ordezkatuz

Transmisio-indizea (tunelatze probabilitatearen adierazletzat har daiteke) esponentzialki txikitzen da potentzial-langaren zabalera handitzean. Hala ere hau ez da emaitza zehatza. Hurbilketarik erabiltzen ez bada, lortutako adierazpena hau da[17]:

Modu berean, errefrakzio-indizea kalkula daiteke:

Erraz konproba daiteke betetzen dela, behar den moduan.

Aplikazioak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tunel efektua hainbat fenomeno fisiko makroskopiko garrantzitsuren eragilea da, eta nanoteknologiaren funtzionamenduan ere funtsezkoa da[18].

Desintegrazio erradioaktiboa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Artikulu nagusia: Desintegrazio erradioaktiboa

Desintegrazio erradioaktiboa atomo nukleo ezegonkorrek produktu egonkor bat lortzeko partikulak eta energia igortzen dituzten prozesua da. Hau partikulek nukleoan zehar tunelatzean gertatzen da (elektroi batek nukleora itzultzeko tunelatzen duenean prozesuari elektroi-harrapaketa deritzo). Hau izan zen tunel efektuaren lehen aplikazioa. Desintegrazio erradioaktiboa garrantzitsua da astrobiologian, tunel efektuaren ondorioz energia iturri handi bat sortzen baita denbora luzez irauten duena zona zirkunestelar bizigarrietatik at dauden inguruneetan, non intsolazioa ez den posiblea edo eraginkorra[18].

Fusio nuklearra izarretan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Artikulu nagusia: Fusio nuklearra

Izarren nukleoetan dauden hidroiek (hidrogeno katioiak) duten energia ez da nahikoa euren arteko aldarapen elektromagnetikoak sortzen duen potentzial langa gainditzeko, baina tunel efektuari esker, hidroi batzuek langa hau zeharka dezaten probabilitate txiki bat existitzen da euren arteko fusioa eraginez eta erradiazio elektromagnetiko gisa energia askatuz[19]. Tunel efektua gertatzeko probabilitatea oso baxua bada ere, izarretan dagoen partikula kopuruan hain da handia, efektu hau une oro gertatzen baita. Honek izar batek zenbat eta masa gehiago izan (erraldoi urdinak bezala) orduan eta sekuentzia nagusi laburragoa izatea azaltzen du, hidroien energia zinetikoa handiagoa baita, eta bera, tunel efektua gertatzeko probabilitatea ere bai[20].

Elektronikan[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tunel efektua korronte ihesen iturria da oso integrazio maila handiko (VLSI) elektronikan, eta honen ondorio dira energia kontsumo handia eta aparailu elektronikoei eragiten dien berotze efektuak. Aparailu mikroelektronikoak eraikitzeko behe limite kontsideratzen da[21]. Gainera, tunelazioa oinarrizko teknika bat da flash memorien ate flotatzaileen programazioan.

Eremu efektuko igorpena[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Elektroien eremu efektuko igorpena garrantzitsua da erdieroaleen eta supereroaleen fisikan. Igorpen termoionikoaren antzekoa da, non elektroiak zoriz metal baten gainazaletik jauzi egiten duten tentsio-elektrikoaren alborapena jarraituz, estatistikoki, beste partikulekin egindako zorizko talken ondorioz elektroiek potentzial langak baino energia gehiagorekin amaitzen baitute. Eremu elektrikoa oso handia denean, langa elektroiak egoera atomikotik at tunela daitezen bezain fina egiten da, gutxi gorabehera eremu elektrikoarekiko esponentzialki aldatzen den korronte bat sortuz[22]. Material hauek oso garrantzitsuak dira flash memorietan, hutseango hodietan eta mikroskopio elektronikoetan.

Tunel lotura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Bi eroale isolatzaile oso fin batekin banantzean, oztopo sinple bat sor daiteke, zeinari tunel lotura deritzon, eta tunel efektuari esker, elektroi batzuek oztopo hau gaindi dezakete[23]. Josephson loturek tunel efektua eta erdieroale batzuen supereroankortasuna erabiltzen dituzte Josephson efektua sortzeko. Hau tentsioak eta eremu magnetikoak[22] zehaztasunez neurtzeko aplika daiteke, baita zelula fotovoltaiko lotura-anitzetan ere.

Automata zelular kuantikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

AZK elektroien tunel efektua erabiltzen duen teknologia molekular bitar logiko bat da. Aparailu hau azkarra da eta oso potentzia gutxirekin lan egiten du, eta gehienez 15PHz-etan ibil daiteke[24].

Tunel diodoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Diodoak gailu elektroniko erdieroaleak dira, korrontea alde baterantz mugatzen dutenak. Gailu hauek N-motako eta P-motako erdieroaleak eta euren arteko gainazal isolatzaile batez baliatzen dira funtzionatzeko. Hauek oso dopatuta daudenean, gainazal isolatzailea behar bezain txikia izan daiteke tunelatzea emateko. Aurrerantza doan korronte txiki bat aplikatzean, tunelatzea handia da, eta honen maximoa tentsioaren energia n eta p kondukzio banden mailan dagoenean dago. Tentsioa handitzean diodoek normal jokatzen dute[25].

Tunelatzea azkar jaisten denez, tunel diodoak euren korrontea tentsioa handitzearekin batera txikitzeagotzeko sortu daitezke. Ezaugarri berezi honek hainbat aplikazio ditu, tunelatzearen probabilitatea tentsioarekin batera azkar jaisten den abiadura handiko gailuak bezala[25].

Erresonantziazko tunel diodoek tunel efektua era ezberdin batean erabiltzen dute antzeko emaitza lortzeko. Diodo hauek erresonantzia tentsio bat izaten dute, zeina energia handiko bi kondukzio gainazal gertu jarriz lortzen den. Honek potentzial zulo kuantiko bat sortzen du, energia minimoko maila diskretua duena. Energia maila hau elektroiena baino handiagoa denean, ez da tunelatzerik ematen. Bi energiak parekatzean, elektroiak kable batean bezala igarotzen dira. Elektroien energia oraindik gehiago handitzean berriz, tunelatzea ez da probablea, eta diodoak diodo normal gisa lan egiten dute, bigarren energia maila bat nabaritu aurretik[26].

Tunel eremu-efektuko transistorea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Europako ikerketa batek frogatu zuenez, eremu-efektuko transistoreetan, zeinaren atea tunel efektuaren bidez kontrolatzen den, atearen potentzial diferentzia 1V inguru izatetik 0,2V ingurura jaisten da, potentzia kontsumizioa ehun aldiz gutxituz. Transistore hauek VLSI mailan jarriz gero, beraien zirkuitu integratuen potentziarekiko errendimendua handituko litzateke[27].

Eroankortasun kuantikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Eroankortasun elektrikoaren Druderen ereduak metaletan elektroien eroankortasunaren aurresan bikainak egiten baditu ere, hau tunel efektuaren bidez hobetzea dago, elektroien arteko talkak azalduz[22]. Elektroi uhin askeen multzo bat uniformeki banatuta dauden oztopoekin topatzen denean, zati islatuak uniformeki interferitzen du oztopo guztietan zehar transmititu den zatiarekin, %100-eko transmisioa posible eginez. Teoria honek dioenez, positiboki kargatutako nukleoek forma guztiz errektangular bat osatzen badute, elektroiak metalean zehar elektroi aske gisa tunelatuko dute, izugarrizko eroankortasuna lortuz, eta metalaren ezpurutasunek asko alda dezakete[22].

Tunel efektuko mikroskopioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Tunel efektuko mikroskopioa (ingelesez, Scanning tunneling microscope edo STM) Gerd Binning eta Heinrich Rohrer-ek asmatutako eta maila atomikoko irudiak lortzen dituen mikroskopioa da, material baten gainazaleko atomo bakar baten irudia lor dezakeena[22]. Funtzionatzeko tunelatzearen eta distantziaren arteko erlazioaz baliatzen da. Punta eroale bat aztertu nahi den gainazaletik oso hurbil kokatzen da, eta polarizazio korronte bat aplikatzean elkarren artean, elektroiak batetik bestera pasa daitezke tunel efektuaren bitartez, elkarren arteko hutsa gaindituz. Informazioa lortzeko korrontea monitorizatzen da puntaren posizioak gainazala zeharkatzen duen bitartean, eta irudi bezala erakusten da. Tunel efektuko mikroskopioak erronka ugari ditu, gainazal izugarri garbi eta egonkorrak behar baitira, eta baita punta zorrotzak, bibrazioen kontrol bikaina eta elektronika sofistikatua ere. Mikroskopio hauen bereizmena 0,001nm edo atomo baten diametroaren %1 da[26].

Biologia kuantikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Biologia kuantikoan, tunel efektua efektu kuantiko ez tribialen artean garrantzitsuenetarikoa da. Gainera, ez da soilik elektroien tunelatzea erabiltzen, protoiena ere bai[28]. Elektroien tunelatzea funtsezkoa da hainbat erredox erreakzio biokimikotan (fotosintesia eta arnasketa zelularra bezala), eta baita entzimetan gertatzen den katalisian ere. Protoien tunelatzea berriz, giltzarria da DNA mutazio espontaneoetan[18].

Mutazio espontaneoak bereziki esanguratsua den protoi batek tunelatu ostean DNA normal erreplikatzean ematen dira[29]. Hidrogeno lotura bat DNA base pareetara batzen da. Hidrogeno loturan zehar dauden bi potentzial zulok potentzial langa bat banantzen dute. Uste da potentzial zulo bikoitza asimetrikoa dela, zulo bat bestea baino sakonagoa izanik, protoia sakonenean egonik. Mutazioa jazo dadin, protoiak sakonena ez den potentzial zulora tunelatu behar du. Protoiaren mugimendu honi trantsizio tautomeroa deritzo. DNA mutazioa egoera honetan ematen bada, DNA baseen parekatzea arriskuan jartzen da eta mutazio bat gerta daiteke[30]. Per-Olov Lowdin izan zen teoria hau garatzen lehenengoa. Uste da tunel efektuaren eraginez emandako beste mutazio mota batzuen ondorio direla zahartzea eta minbizia ere[29].

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. Euskalterm: [Nanoteknologia eta Nanozientzia Hiztegia] [2015] eta [Energia Berriztagarriak Hiztegia] [2015]
  2. Encyclopedia of physics. (2nd ed. argitaraldia) VCH 1991 ISBN 0-89573-752-3. PMC 20853637. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  3. Haibel, Nimtz. (2008). Zero Time Space. Wiley-VCH, 1 or..
  4. (Alemanez) Mandelstam, L.; Leontowitsch, M.. (1928-01-XX). [http://link.springer.com/10.1007/BF01391061 «Zur Theorie der Schr�dingerschen Gleichung»] Zeitschrift f�r Physik 47 (1-2): 131–136. doi:10.1007/BF01391061. ISSN 1434-6001. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  5. Razavy, Mohsen. (2003). Quantum theory of tunneling. World Scientific ISBN 981-256-488-8. PMC 228136450. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  6. Feinberg, Evgenii L. (2002-01-31). «The forefather (about Leonid Isaakovich Mandelstam)» Physics-Uspekhi 45 (1): 81–100. doi:10.1070/PU2002v045n01ABEH001126. ISSN 1063-7869. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  7. (Ingelesez) Gurney, Ronald W.; Condon, Edw. U.. (1928-09-XX). «Wave Mechanics and Radioactive Disintegration» Nature 122 (3073): 439–439. doi:10.1038/122439a0. ISSN 0028-0836. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  8. (Ingelesez) Gurney, R. W.; Condon, E. U.. (1929-02-01). «Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration» Physical Review 33 (2): 127–140. doi:10.1103/PhysRev.33.127. ISSN 0031-899X. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  9. Nuclear and radiochemistry. (3rd ed. argitaraldia) Wiley 1981 ISBN 0-471-28021-6. PMC 7576155. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  10. Razavy, Mohsen. (2003). Quantum theory of tunneling. World Scientific ISBN 981-256-488-8. PMC 228136450. (Noiz kontsultatua: 2021-04-08).
  11. (Ingelesez) Davies, P. C. W.. (2005-01). «Quantum tunneling time» American Journal of Physics 73 (1): 23–27. doi:10.1119/1.1810153. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2021-04-01).
  12. Nimtz, G.. (2008). Zero time space : how quantum tunneling broke the light speed barrier. Wiley-VCH ISBN 978-3-527-40735-4. PMC 214341390. (Noiz kontsultatua: 2021-04-01).
  13. Bjorken and Drell, "Relativistic Quantum Mechanics", 2. orria. Mcgraw-Hill College, 1965.
  14. Razavy, Mohsen. (2003). Quantum theory of tunneling. World Scientific ISBN 981-256-488-8. PMC 228136450. (Noiz kontsultatua: 2021-03-29).
  15. Griffiths, David J.. (2005). Introduction to quantum mechanics. (2nd ed. argitaraldia) Pearson Prentice Hall ISBN 0-13-111892-7. PMC 53926857. (Noiz kontsultatua: 2021-04-05).
  16. Tipler, Paul Allen. (2008). Modern physics. (5th ed. argitaraldia) W.H. Freeman ISBN 978-0-7167-7550-8. PMC 155682829. (Noiz kontsultatua: 2021-04-05).
  17. «barrera de potencial.pdf» Google Docs (Noiz kontsultatua: 2021-04-05).
  18. a b c Trixler, Frank. (2013-07-01). «Quantum Tunnelling to the Origin and Evolution of Life» Current Organic Chemistry 17 (16): 1758–1770. doi:10.2174/13852728113179990083. ISSN 1385-2728. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  19. Perló Cohen, Manuel. (1993-05-01). «Saskia Sassen. The global city. Princenton : Princenton University Press, 1991» Estudios Demográficos y Urbanos 8 (2): 473. doi:10.24201/edu.v8i2.879. ISSN 2448-6515. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  20. Bradt, Hale. (2008). Astrophysics processes : the physics of astronomical phenomena. ISBN 978-0-511-80224-9. PMC 992849195. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  21. «Internet Archive Wayback Machine» Choice Reviews Online 48 (11): 48–6007-48-6007. 2011-07-01 doi:10.5860/choice.48-6007. ISSN 0009-4978. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  22. a b c d e Taylor, John R.. (2004). Modern physics for scientists and engineers.. (Second edition. argitaraldia) ISBN 0-13-805715-X. PMC 50768051. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  23. Encyclopedia of physics. (2nd ed. argitaraldia) VCH 1991 ISBN 0-89573-752-3. PMC 20853637. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  24. (Ingelesez) Soudip Sinha Roy. (2017). Generalized Quantum Tunneling Effect and Ultimate Equations for Switching Time and Cell to Cell Power Dissipation Approximation in QCA Devices. doi:10.13140/RG.2.2.23039.71849. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  25. a b Krane, Kenneth S.. (1983). Modern physics. Wiley ISBN 0-471-07963-4. PMC 8552530. (Noiz kontsultatua: 2021-04-06).
  26. a b Knight, Randall D.. (2004). Physics for scientists and engineers : a strategic approach with Modern physics with Mastering physics. (International ed. argitaraldia) Benjamin Cummings ISBN 0-321-22369-1. PMC 53393309. (Noiz kontsultatua: 2021-04-06).
  27. (Ingelesez) Ionescu, Adrian M.; Riel, Heike. (2011-11). «Tunnel field-effect transistors as energy-efficient electronic switches» Nature 479 (7373): 329–337. doi:10.1038/nature10679. ISSN 0028-0836. (Noiz kontsultatua: 2021-04-04).
  28. Srinivasan, Bharath. (2020-09-27). «Words of advice: teaching enzyme kinetics» The FEBS Journal 288 (7): 2068–2083. doi:10.1111/febs.15537. ISSN 1742-464X. (Noiz kontsultatua: 2021-04-07).
  29. a b Quantum biochemistry. Wiley-VCH 2010 ISBN 978-3-527-62922-0. PMC 536379926. (Noiz kontsultatua: 2021-04-07).
  30. Majumdar, Rabi. (2011). Quantum mechanics in physics and chemistry with applications to biology. PHI learning ISBN 978-81-203-4304-7. PMC 820652401. (Noiz kontsultatua: 2021-04-07).

Bibliografia[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Kanpo estekak[aldatu | aldatu iturburu kodea]