Lankide:Jperezvisaires/Proba orria

π-ren neurketak

π eta zenbaki lehenak

π eta zenbaki lehenak Riemann-en zeta funtzioarentzat Euler-en biderkaduraren alderantzizkoa erabiliz, eta argumentu bezala 2 erabiliz hurrengo balorea lortzen da:

${\frac {1}{\zeta (2)}}=\lim _{n\to \infty \atop p_{n}\in \mathbf {P} }\left(1-{\frac {1}{2^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{7^{2}}}\right)\left(1-{\frac {1}{11^{2}}}\right)...\left(1-{\frac {1}{p_{n}^{2}}}\right)={\frac {6}{\pi ^{2}}}$

Euler izan zen lehenengoa zeta funtzioaren emaitza hau aurkitzen, eta horrela Basilea-ko problema ospetsua ebaztea lortu zuen.

Machin-en formula

π era zehatz batean kalkulatu daiteke Machin-en formularen bidez, 1706an aurkitua, horretarako zatiki unitarioen alderantzizko tangenteak erabiliz. ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ Matematikari askok metodo hau erabili zuten ehungarren hamartarretik gorako π-ren hamartarrak kalkulatzeko.

π-ren hurbilketa geometrikoak

π balioaren hurbilketa bat era geometrikoan lortu daiteke. Antzina, grekoek π-ren balioa era zehatz batean adierazten saiatu ziren, konpasa eta erregela erabiliz, arrakastarik gabe. Problema zirkuluaren koadratura izenaz ezagutzen da, eta zirkulu jakin baten azalera berdina duen karratu bat lortzean datza. Arazoa hurrengoa zen: Problema hau zehaztasun osoz ebazteko, π-ren balio zehatza behar da.

Erregela eta konpasa soilik erabiliz π-ren balio zehatza lortzea ezinezkoa zela argi geratu zenean, balio horren hurbilketak lortzeko hainbat metodo agertu ziren. Metodo horien artean dotoreenetariko bi Kochanski-ren metodoa (erregela eta konpasa erabiliz) eta Mascheroni-ren metodoa (konpasa soilik erabiliz) dira.

Kochanski-ren metodoa

Kochanski-ren metodoa.

1. r erradioko zirkunferentzia marraztu.
2. OEG triangelu aldekidea inskribatu.
3. EG segmentuarekiko paraleloa den zuzen bat marraztu, A puntutik pasatzen dena.
4. Marraztutako zuzena OE segmentua ebaki arte luzatu, D puntua lortuz.
5. D puntutik abiatuz, eta marraztutako zuzenaren norabidean, zirkunferentziaren erradioaren luzera duen segmentu bat hiru aldiz luzatu eskuinera, C puntua lortuz.
6. BC segmentuaren luzera zirkunferentziaren luzeraren erdiaren balio hurbildua izango da.

Frogapena (r=1 aukeratuz)

$BC^{2}=AB^{2}+(3-DA)^{2}\,\!$

$OF={\frac {\sqrt {3}}{2}}$

${\frac {DA}{EF}}={\frac {OA}{OF}}\rightarrow {\frac {DA}{1/2}}={\frac {1}{{\sqrt {3}}/2}}\rightarrow DA={\frac {\sqrt {3}}{3}}$

Azken emaitza lehenengo formulan ordezkatuz:$BC^{2}=2^{2}+\left(3-{\frac {\sqrt {3}}{3}}\right)^{2}\rightarrow BC={\sqrt {40-6{\sqrt {3}} \over 3}}=3.141533...$

Mascheroni-ren metodoa

Mascheroni-ren metodoa.

1. r erradioko zirkunferentzia marraztu.
2. Zirkunferentzia barruan hexagono erregular bat inskribatu.
3. D puntua bi zirkunferentzia-arkuren ebakidura bezala lortzen da:
   1. BD A’ puntuan zentratua.
   2. CD A puntuan zentratua.
4. Zirkunferentziaren eta DE arkuaren, B puntuan zentratua, ebakiduraren bidez E puntua lortzen da.
5. AE segmentuaren luzera zirkunferentziaren luzeraren laurdenaren hurbilketa da.

Frogapena (r=1 aukeratuz)

$AD=AC={\sqrt {3}}$

$OD={\sqrt {3-1}}={\sqrt {2}}$

$BE=BD={\sqrt {(OD-MB)^{2}+MO^{2}}}$

$BE=BD={\sqrt {\left({\sqrt {2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}+{\frac {1}{4}}}}={\sqrt {3-{\sqrt {6}}}}$

Ptolomeo-ren teorema erabiliz:

$BB'\cdot AE=AB\cdot EB'+BE\cdot AB'$

$2\cdot AE={\sqrt {1+{\sqrt {6}}}}+{\sqrt {9-3\cdot {\sqrt {6}}}}=3.142399...$

Zientzian eta matematikan erabilera

π matematikako arlo askotan agertzen da, baita geometria euklidearraren zirkuluekin erlazio zuzena ez duten eremuetan ere.

Geometria eta trigonometria

r erradioko eta d = 2r diametroko edozein zirkulurentzat, zirkunferentziaren luzera π d bezala kalkulatu daiteke, eta π r² adierazpenak zirkuluaren azalera ematen du. Horretaz gain, zirkunferentziarekin erlazionatuta dauden irudi geometriko askoren azalera eta bolumen adierazpenetan π agertzen da; elipse, kono eta toroideen formuletan, besteak beste.

Zirkunferentzia eta zirkuluen bidez sortutako irudien zirkunferentzia, azalera edo bolumena adierazteko erabiltzen diren integral mugatuetan π agertzen da ere. Kasurik errazenean, zirkulu unitario baten azaleraren erdia hurrengo eran idatzi daiteke:

$$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}$$

Eta zirkunferentzia unitarioaren luzeraren erdia:

$$\int _{-1}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx=\pi$$

Forma konplexuagoak modu berean integratu daitezke, biraketa-solidoak esaterako.

Matematika modernoan π funtzio trigonometrikoak erabiliz definitzen da askotan, batez ere geometria euklidearrarekin eta integrazioarekin lotuta dauden menpekotasunak saihesteko. Alderantzizko funtzio trigonometrikoen serie-garapenak π-ren serie infinituak lortzeko erarik errazena da.

Aldagai konplexua

Euler-en formularen adierazpen geometrikoa.

Euler-en formularen bidez aldagai konplexu bateko funtzio esponentziala funtzio trigonometrikoen eta zenbaki irudikarien menpe adierazi daiteke:

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi \!$

non i unitate irudikaria ($i^{2}=-1$ ) eta e ≈ 2.71828 Euler-en zenbakia diren. Formula hau da analisi konplexuan π askotan agertzearen arrazoi nagusia. Adierazpen honetan, e zenbakiaren berredura irudikariek plano konplexuko zirkulu unitario baten inguruan birak ematen dituztela ikusten da, bira hauen periodoa 360º = 2π izanda. Horrela, 180º-ko biran, φ = π denean, lehen aipatutako Euler-en identitate ospetsua berreskuratzen da:

$$e^{i\pi }+1=0.\!$$

Unitatearen n n-garren erro desberdin existitzen dira:

$$e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).$$

Analisi numerikoa

Gauss-en integrala:

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}.$$

Zenbaki erdioso (zenbaki bakoiti baten erdia) baten gamma funtzioaren eta √π-ren arteko zatiketa zenbaki arrazionala izango da derrigorrez honen eraginez.

Fisika

Konstante fisiko bat izan ez arren, π maiz agertzen da Unibertsoaren oinarrizko printzipioak adierazten dituzten ekuazioetan, batez ere zirkuluarekin eta, ondorioz, koordenatu esferikoen sistemarekin duen lotura estua dela eta.

• Konstante kosmologikoa:

$$\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$$

• Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioa:

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$$

• Erlatibitate orokorreko Einstein-en eremuren ekuazioa:

$$R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}$$

• Indar elektrostatikoa kalkulatzeko Coulomb-en legea:

$$F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$$

• Hutseango iragazkortasun magnetikoa:

$$\mu _{0}=4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N/A^{2}} \,$$

• Kepler-en hirugarren legea:

$${\frac {P^{2}}{a^{3}}}={(2\pi )^{2} \over G(M+m)}$$

Probabilitatea eta estatistika

Probabilitate eta estatistikako banaketa ugari π dute haien formulan:

• Banaketa normalaren probabilitate dentsitate-funtzioa, μ batezbestekoarekin eta σ desbiderapen estandarrarekin:

$$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}$$

• Cauchy-ren banaketa estandarraren probabilitate dentsitate-funtzioa:

$$f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.$$

Probabilitate dentsitate-funtzio hauetarako normalizazio-baldintza betetzen bada, $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$, orduan aurreko formulak π lortzeko ordezko formula integral bezala erabili daitezke.