Froga matematiko

Matematikan, proposizio matematiko bat egiaztatzeko erabiltzen den argudio deduktibo bat da froga edo frogapen bat. Argudiaketan, aurretik ezarritako baieztapenak erabil daitezke, hala nola teoremak eta hasierako baieztapenak edo axiomak. Froga, printzipioz, funtsean frogarik behar ez duten baieztapenak lortu arte garatu daiteke, axioma izenekoak. Frogantzak dedukziozko arrazoibideen adibideak dira, eta indukzio bidezkoak eta enpirikoak bereizten dira. Frogapen batek frogatu behar du (batzuetan, kasu posible guztiak zerrendatu eta horietako bakoitzean baliozkoa dela ikusita) baieztapen bat beti egiazkoa dela eta ez kasu askotan onartzen dela. Egiazkotzat jotzen den frogatu gabeko baieztapen bati, aieru deritzo.

Euklides-en "Στοιχεῖα" (Elementuak) liburuaren zati bat.

Frogapenetan, normalean, logikaz gain hizkuntza naturala ere erabiltzen da, anbiguotasunen bat izan dezakeena. Egia esan, frogantza matematiko gehienak logika informal zorrotzaren aplikaziotzat jo daitezke. Froga formal hutsak, hizkuntza sinbolikoan (ez hizkuntza naturalean) idatziak, froga-teorian hartzen dira kontuan. Froga formal eta informalen bereizketak logika matematiko historikoa eta gaur egunekoa, kuasienpirismo matematikoa eta formalismo matematikoa ikertzea eragin du. Matematikaren filosofia hizkuntzaren eginkizunaz eta frogapenen logikaz arduratzen da.

Teorema baten frogapena ez ezagutzeak ez du esan nahi egiazkoa ez denik; faltsua dela esango bada, ezeztapena frogatu behar da.

Etimologia eta historia

«Froga» hitza latinetik dator, probare hitzetik, 'frogatu' esan nahi du. Erlazionatutako hitz modernoak gaztelaniazko probar ('dastatu', 'usaindu' edo 'entseatu'), probidad, probo (edo «proba») eta probabilidad hitzak dira; alemanezko probieren ('saiatu'), italierazko probare ('saiatu'); eta ingelesezko probe eta probation hitzak. Probity ('zintzotasuna') ingelesezko terminoaren hasierako erabilerak 'ebidentzia legalaren aurkezpena' esan nahi zuen. Agintaritzako pertsona bat –oro har, diru asko zuen edozein pertsona–  'proba' pertsona zela esaten zen, eta haren ebidentziak beste edozein testigantza edo erakustaldi enpirikok baino pisu handiagoa zuen.

Argudio onargarriek erabiltzen zituzten baliabide heuristikoak, adibidez, irudiak eta analogiak, matematikako froga zorrotzen aurretikoak izan ziren. Hasiera bateko ondorio bat frogatzearen ideia, segur aski, geometriarekin lotuta egon zen; izan ere, geometriaren jatorrizko definizioa ‘Lurraren neurri’ edo ‘lur-neurketa’ izan zen. Froga matematikoaren garapena Antzinako greziar matematikaren oinarrizko emaitza da, eta baita haren lorpen handienetako bat ere. Tales Miletokoak (K.a. 624-546) geometriako teorema batzuk frogatu zituen. Eudoxok (K.a. 408-355) eta Teetetok (K.a. 417-369)  teorema batzuk adierazi zituzten, baina ez zituzten frogatu. Aristotelesek (K.a. 384-322) zioen: definizioek jadanik ezagunak ziren beste kontzeptu batzuen terminoen gainean deskribatu behar zutela definitu beharreko kontzeptu berria. Metodo axiomatikoak, gaur egun oraindik matematikako frogapenetarako erabiltzen direnak, Euklidesek (K.a. 300) erabili zituen lehenengo aldiz; termino mugagabeekin eta axiomekin (egiazkotzat hartutako termino mugagabeei dagozkien proposizioak; grekotik, axios) hasten zen, eta, horien bidez, teoremak frogatu zituen dedukziozko logika erabiliz. XX. mendearen erdialdera arte, mendebaldean bere burua ondo hezitakotzat zeukan edonork irakurri zuen Elementuak, Euklidesen liburua. Liburu horrek, geometriako ohiko teoremez gain (Pitagorasen teorema, adibidez) jasotzen ditu bi zenbakiaren erro karratua irrazionala dela eta infinitu zenbaki lehen daudela erakusten duten frogak.

Horren ostean arlo berean egindako aurrerapenak Erdi Aroko matematika islamikoen eskutik izan ziren. Greziako frogapen goiztiar gehienak froga geometrikoak izan ziren. Matematikari islamikoek garatutako aritmetikari eta aljebrari esker, ordea, geometriaren mende ez zeuden frogapen orokorragoak lortu ziren. X. mendean, Al-Hashim matematikari irakiarrak zenbakientzako frogapen orokorragoak eman zituen: besteak beste, «lerroen araberako» biderketa eta zatiketak. Metodo hori erabili zuen zenbaki irrazionalen existentzia frogatzeko.

Sekuentzia aritmetikoak frogatzeko indukzio matematiko bidezko metodoa, Al-Karaji matematikari persiarrak sartu zuen Al-Fakhri liburuan (K.o. 1000), zeinak binomioaren teorema eta Pascal-en triangelua frogatzeko erabili zituen. Alhazen-ek kontraesanezko frogapen metodoa garatu zuen paraleloen postulatu euklidearra frogatzeko lehen saiakera gisa.

Frogapenen teoria modernoak indukzio bidez definituriko datu-egitura gisa tratatzen ditu frogak. Egun, ez da onartzen axiomak «egiazkoak» direnik; horrek, axiomen multzo alternatuetan, teoria matematiko paraleloak sortzea ahalbidetzen du (ikus multzo-teoria eta geometria ez-euklidearra adibide gisa).

Helburua

Frogapen bat hizkuntza naturalean idazten da, esan den moduan, eta haren helburua da emandako argumentuaren egiazkotasuna frogatzea. Frogapena modu desberdinetan aurkez daiteke, espero den hartzailearen arabera. Onarpena lortzeko asmoarekin, frogantzak ohiko zorroztasun parametroak bete behar ditu: argumentu osagabeak errefusatuko ditugu.

Frogapenaren kontzeptua logika matematikoaren esparruan formalizatzen da. Frogapen formala hizkuntza naturalean beharrean, hizkuntza formalean idazten da. Frogantza formal bat hizkuntza formalean adierazitako formulen sekuentzia bat da, non formula bakoitza aurrekoen ondorio logikoa den. Hain zuzen ere, frogapen teoriaren arloak frogapen formalak eta horien propietateak aztertzen ditu; horren aplikazio bat da frogatzea baieztapen esanezin batzuek ezin dutela izan frogapenik.

Frogapenaren kontzeptua praktika matematikoan erabiltzen den moduan ulertzeko, frogapen formalaren definizioa erabiltzen da. Definizio horrekin ikus dezakegu zabaldutako frogapen bat, printzipioz, frogapen formalean itzul dezakegula. Hala ere, praktikan, bihurketa horiek laguntzaile automatikoen arloan bakarrik egiten dira. Filosofiako galdera klasikoetariko batek galdetzen du ea frogapen matematikoak analitikoak edo sintetikoak diren. Kant-ek adierazi zituen analitikoen eta sintetikoen arteko desberdintasunak, eta hark uste zuen frogapen matematikoak sintetikoak zirela.

Objektu estetikotzat kontsidera ditzakegu frogapenak, horien edertasun matematikoagatik miretsiak. Paul Erdős matematikariak Liburua lanean agertzen ziren frogapen matematiko, bere iritziz, dotoreenak deskribatu zituen. 2009.urtean argitaratutako Liburuko frogapenak saiakuntzak, editoreek hautatutako 32 frogapen biltzen ditu kontsideratzen delako frogapen horiek direla existitzen diren egokienak edo zuzenenak.

Frogatzeko metodoak

Tesiak frogatzeko prozedura bakarra ez badago ere, frogapen-mota asko erabiltzen dira matematikan:

• Kontraposizio bidezko frogapena (Aristotelesen silogismoetan formalizatua eta erabilia).
• Reductio ad absurdum: Absurdoraino txikitzearen bidezko frogapena (Aristotelesek formalizatua eta erabilia), eta, kasu partikular gisa, jaitsiera infinitua.
• Indukzio matematikoa.
• Indukzio indartsua.

Bestalde, nahiz eta gizakiaren esku-hartzea oso beharrezkoa izan frogapen bat egiteko, badira teknika konputazionalak ere, frogapen automatikoak egiteko aukera ematen dutenak, batez ere geometria euklidearraren esparruan.

Froga zuzena

Hipotesi batetik abiatuz, ondorio bat ematen duten proposizioak frogatzeko erabili ohi da froga zuzena. Adibidez, euria egiten badu, orduan pista bustiko da; egunerokotasunean erabiltzen den esaldia hartzen badugu, badakigu euria egitea baldintza nahikoa dela pista bustita egon dadin; bestalde, euria egiten badu, badakigu ezinbestean pista bustiko dela. Matematikaren testuinguruan, mota horretako proposizioak, hipotesitik abiatuz, aurretik ezagutzen diren beste proposizio batzuk erabiliz ondorioztatzen dira.

Orokorrean, froga zuzena erabiltzen denean, aurretik erabilitako axioma, definizio eta teoremak konbinatuz lortzen da ondoriora iristea. Zenbaki bikoitien batura bikoitia dela frogatzeko erabiltzen da, adibidez, metodo hau.

Har ditzagun $x$ eta $y$ bi zenbaki bikoiti. Orduan, bi zenbaki oso existitzen dira: $a$ eta $b$, non $x=2a$ eta $y=2b$ diren. Ondorioz, bi zenbaki bikoitiak batuz, $x+y=2a+2b=2(a+b)$ beteko da, bikoitia dena. Beraz, bi zenbaki bikoitiren batura bikoitia da, eta frogatuta gelditzen da.

Froga hori egiteko, zenbaki oso bikoitien propietateak erabiltzen dira, eta baita erabiltzen da zenbaki osoak baturarekiko eta biderkadurarekiko itxiak direneko propietatea ere, hau da, bi zenbaki oso (edo bi baino gehiago, edozein) hartuz, batuz edo biderkatuz, berriro ere zenbaki oso bat lortzen dela.

Beste proposizio eta teorema batzuek baldintza bikoitza izaten dute; hau da, hipotesiak ondorioa inplikatzen du, eta, alderantziz, ondorioak hipotesia inplikatzen du. Praktikan, mota horretako enuntziatuak froga zuzenarekin edo kontraesanezko metodoa erabiliz frogatzen dira.

Kontraesanezko metodoa

Kontraesanezko metodoa erabiltzen dugunean (reductio ad absurdum izenez ere ezagutua), pauso logiko batzuei jarraitu ondoren, baieztapen batera heltzen gara, eta baieztapen hori ez dator bat hasierako hipotesiren batekin, edo, beste era batera esanda, logikoki, absurdoa da, eta ,ondorioz, baieztapena faltsua da.

Metodo hau erabiltzen duen frogapen ezagunenetako bat da: biren erroa (${\sqrt {2}}$) zenbaki irrazionala dela frogatzen duena.

Jotzen da, absurdora eramanez, ${\sqrt {2}}$ zenbaki arrazionala dela; orduan, definizioz, $a,b\in \mathrm {Z}$ existitzen dira, biak ez-nuluak, non ${\sqrt {2}}=a/b$ den eta $zkh(a,b)=1$ (hau da, $a/b$ zatiki laburtezina da).

Orain, $a$ bakanduz, ${\sqrt {2}}b=a$, eta berdintzaren bi aldeak birekin berretuz, $2b^{2}=a^{2}$, ikusten da $a^{2}$ bikoitia izan behar duela, eta $a$-k ere, zenbaki osoa denez, bikoitia izan behar du; bestela esanda, $a=2c$, non $c\in \mathrm {Z}$ ez-nulua den. Adierazpen berri hori hasierako ekuazioan ordezkatuz, $2b^{2}=a^{2}=(2c)^{2}=4c^{2}$ eta sinplifikazioa eginez, $b^{2}=2c^{2}$ da. Ohartu, berriro ere, hasierako kasua lortzen dela eta, orduan, $a$-rekin argudiatu den moduan, $b$ ere bi zenbakiaren multiploa da. Ondorioz, 2 zenbakiak, $a$ eta $b$ zatitzen ditu, eta horrek esan nahi du $zkh(a,b)\geq 2$ dela, baina hasieran jo da $zkh(a,b)=1$ dela. Beraz, kontraesan bat lortzen da, eta, orduan, ${\sqrt {2}}$ ez da zenbaki arrazionala. Ondorioz, ${\sqrt {2}}$ zenbaki irrazionala dela frogatuta dago (zenbaki erreala da ${\sqrt {2}}$, eta zenbaki errealak zenbaki irrazionalen eta arrazionalen bildura dira).

Indukzio matematikoa

Sakontzeko, irakurri: «Indukzio matematiko»

Indukzio matematikoa ez da metodo induktiboa erabiltzen duen frogapen mota bat. Indukzio matematikoaren bidez, $n$ aldagaiaren mende dauden proposizioak froga daitezke; $n$ edozein zenbaki oso da. Hasierako kasu bat frogatzen da ($n$-ren balio txiki bat erabiliz proposizioa betetzen dela ikasten da), eta baita indukzio-erregela bat ere, zeinaren bidez ezartzen baita kasu konkretu batek hurrengoa dakarrela. Indukzio-erregela behin eta berriz erabili behar da aurretik frogatutako hasierako kasutik abiatuz. Nahiz eta orokorrean hasierako kasua bakarra izan, batzuetan, bi edo gehiago behar dira frogapena egin ahal izateko. Modu sinplean azalduta, hurrengo arrazoibideak laburtzen du indukzio matematikoaren ideia:

Izan bedi $a\,$ zenbaki osoa (hasierako kasua), $P\,$ propietatea betetzen duena. Hortik abiatuta, edozein $n\,$zenbaki osok $P\,$ propietatea betetzeak $n+1\,$ zenbakiak ere propietate hori betetzen duela inplikatzen badu, orduan, $a\,$ zenbakia baino handiagoak diren zenbaki guztiek beteko dute propietate hori.

Frogapen hau indukzioa matematikoaren printzipioan oinarrituta dago.

«	Indukzio matematikoak frogatzen du eskailera batean nahi bezainbeste maila igo ditzakegula lehen maila igo dezakegula froga badezakegu (hasierako kasua) eta maila bakoitzetik hurrengora igo gaitezkeela (indukzio-erregela).	»
Concrete Mathematics, 3.orr (ingelesez).

Indukzio matematikoaren ohiko aplikazioa da ezen propietate bat zenbaki natural baterako betetzen bada zenbaki natural guztietarako betetzen dela:

Izan bedi $\mathrm {N}$ zenbaki naturalen multzoa eta $P(n)$,edozein $n$ zenbaki naturaletarako frogatu nahi dugun baieztapena; orduan:

• $P(1)$ egiazkoa da; hau da, $P(n)$ betetzen da n=1 denean.
• $P(n+1)$ egiazkoa da $P(n)$ egiazkoa bada; hau da, $P(n)$ betetzeak $P(n+1)$ inplikatzen du.

Erkatze bidezko metodoa

Hipotesi batetik abiatuz, ondorio bat ematen duten proposizioak frogatu ohi dira metodo horren bidez, baina, kasu honetan ondorioa betetzen ez bada, orduan, hipotesia betetzea ezinezkoa dela ikusten da. Matematikoki $p$ baieztapenak $q$ baieztapena inplikatzen badu, orduan, $q$ ez betetzeak $p$ ez dela betetzen inplikatzen du, eta baieztapen hori hasierakoaren kontrajarria dela esaten da ($(p\Rightarrow q)\Longrightarrow (q\ ez\Rightarrow p\ ez)$).

Adibide logiko ez-matematiko bat hau izan liteke: jo dezagun jatetxe batek ostegunero paella eskaintzen duela menuan. Bistakoa da «osteguna» gertakizunak «paella» gertakizuna dakarrela. Baliteke asteko beste egun batean joanez gero jatetxeak paella eskaintzea, baina ziur, ostegunero paella egongo dela. Aurreko baieztapenetik, ondorio logiko bakarra lortzen da: egun batean jatetxe horretara joanez gero eta menuan paella ez badago, orduan ez da osteguna izango.

Adibide matematiko bat izan daiteke $a^{2}$bakoitia bada, $a$ bakoitia dela frogatzeko prozedura. Horretarako, $a$ bakoitia ez bada $a^{2}$-rekin zer gertatzen den ikusten da. $a$ zenbaki bikoitia izango da orduan, eta, bere buruaz biderkatuz gero, berriro ere, zenbaki bikoiti bat lortzen da; beraz, $a^{2}$ ez da bakoitia izango, eta frogatuta geratzen da proposizioa.

Zenbaki errealen multzoan, oso ezaguna da honako proposizioa: $ab=0$; alegia, bi zenbaki errealen biderkadura nulua bada, orduan, bi zenbakietako batek nulua izan beharko du. Horrek proposizio kontrajarri hau dakar: $a\neq 0$ eta $b\neq 0$ betetzen bada, orduan, $ab\neq 0$ da.

Ordenagailu bidezko metodoa

Lau kolore erabiliz margotutako munduko mapa.

XX. mendera arte, frogapen bat baieztatzeko matematikari aditu batek berrikusi behar zuela uste zen. Edonola ere, teoremak frogatzeko eta gizakiontzat zailak edo luzeak diren kalkuluak burutzeko, ordenagailuak erabiltzen dira gaur egun. Lau koloreen teoremaren lehen frogapena ordenagailu bidezko frogapenen adibide bat da.

Ordenagailuko programa batean edo programa horren exekuzioan frogapena ezeztatuko duen errore bat egiteak kezkatzen ditu matematikariak. Praktikan, ordenagailu bidezko frogapen bat baliogabetzen duen errore bat egiteko probabilitatea murritz daiteke. Horretarako, erredundantzia eta autoberrikuspena eransten dira kalkuluetan. Erroreak egitea ezin da guztiz ekidin, baina hori gizakiok egindako frogapenetan ere ezinezkoa da.

Froga probabilistikoa

Froga probabilistikoetan, adibide baten existentzia frogatzen da probabilitate teoria erabiliz. Teorema bat onargarria (teorema segur aski egiazkoa izatea) izatea eta probabilitate bidez frogatzea ez da gauza bera. Existentzia teoremak frogatzeko erabili ohi da metodo probabilistikoa.

Konbinatoria bidezko metodoa

Modu desberdinetara azaldutako bi objekturen arteko baliokidetasuna frogatzeko erabili ohi da konbinatoria bidezko metodoa. Gehienetan, bijekzio bat definitzen da objektu horien artean, eta gauza beraren bi adierazpen desberdin direla frogatzen da.

Froga konstruktiboa

Froga konstruktiboa edo adibide bidezko froga ezaugarri espezifiko bat duen adibide konkretu bat eraikitzean datza propietate hori duen elementuaren existentzia frogatzeko. Joseph Liouville-k, adibidez, froga konstruktiboa erabili zuen zenbaki transzedenteen existentzia frogatzeko. Batzuetan, proposizio bat elementu guztientzat egiazkoa ez dela frogatzeko erabiltzen da froga konstruktiboa; horretarako, kontra-adibide bat eraikitzen da.

Frogapen metodo hori Cantor-ek erabili zuen zenbaki errealen multzoa zenbakigarria ez dela frogatzeko. Horretarako, zenbaki erreal guztiak zenbakigarriak zirela jo zuen, eta segida bat osatu zuen zenbaki horiekin; ondoren, segida horretan azaltzen ez zen zenbaki bat eraiki zuen. Ondorioz, zenbaki errealen multzoa zenbakigarria izatea absurdoa dela lortu zuen; eta, beraz, zenbaki errealen multzoa ez dela zenbakigarria frogatu zuen.

Zehaztasun bidezko metodoa

Zehaztasun bidezko metodoetan ondorioa lortzeko, kasu finitu kopuru batean banatzen da frogatu beharrekoa, eta kasu bakoitza banan-banan frogatzen da. Kasu kopuru asko ditugunean, ez da gomendatzen metodo hori erabiltzea, izan ere, oso luzea izan baitaiteke frogapena. Adibidez, lau koloreen teorema frogatzeko lehen saiakeran, metodo hori erabili zen, eta, guztira, 1936 kasutan banatu zen froga; ondorioz, kasu gehienak ordenagailu bidez egin ziren.

Baieztapen frogaezinak

Sententzia bat betetzen dela ezin bada frogatu axioma multzo batetik abiatuta, baina ezta ez dela betetzen ere, baieztapen frogaezin bat izango da axioma horiekin. Horren adibide da paraleloen postulatua, ezin dena, ez baieztatu, ez baliogabetu geometria euklidearraren gainerako axiomekin.

Matematikariek erakutsi dute, hautapen-axiomatik abiatuta, baieztapen frogaezin ugari daudela Zermelo-Fraenkel-en multzo-teorian.

Göbel-en osagabetasunaren lehen teoreman ikusten da interes matematikoa duten sistema axiomatiko askok baieztapen frogaezinak dituztela.

Frogapen matematikoen eragina beste arloetan

"Atenasko Eskola" Raffaelo-ren margolana.

Hainbat matematikari eta filosofo, esate baterako Baruch Spinoza, argumentu filosofikoak estilo axiomatikoan formulatzen saiatu ziren, non frogapen matematikoaren estandarrak argumentazio filosofiko orokorrean aplika zitzaketen. Beste filosofo eta matematikari batzuk, frogapen matematikoaren estandarrak eta arrazoia erabiltzen ere saiatu ziren enpirismoa erabili gabe, adibidez, cogito argumentua Descartesek.

Adibideak

Kontraesanezko metodoaren adibide bat: 1>0 da
Baieztapenaren frogapena axioma batzuetan oinarritzen da; horrela, pauso guztiak zuzenak badira, froga egiazkoa izaten da.

Hauek dira erabili behar diren zenbaki errealen axiomak:

1. $1\not =0\,.$
2. $a>b\,$ eta $c<0\,$ badira ($a$, $b$ eta $c$ zenbaki errealak izanik), orduan, $ac<bc\,.$

Hori kontuan hartuta, frogapena hasteko, espero den emaitzaren kontrakoa onartzen da: 1<0. Orduan, honako bi baieztapenak betetzen dira:

• $1<0\,$ da.
• 2. axioma erabiliz, eta $a=0>b=1$ eta $c=1$<0 izanik, $ac=0<bc=1$.

Beraz, aurreko bi baieztapenak betetzea ezinezkoa da, eta ezarritako hipotesia ($1<0\,$) ez da zuzena. Horrekin baiezta daitekeena $0\leq 1$ da. Baina 1. axiomaren arabera, $1\not =0\,$ da. Beraz, $1>0\,$ da, eta frogapena bukatu da.

Indukziozko frogapenaren adibide bat:

Frogatu dezagun

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}$ betetzen dela.

Frogapena

• $n=1$ denean, egia dela frogatu behar dugu, batukaria k=1etik hasten baita.

Izan bedi $n=1$, orduan,

$\sum _{k=1}^{1}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}$

izango dugu, eta $n=1$erako egia dela ikusi dugu.

• $n>1$ finko baterako egiazkotzat jota, ikus dezagun $n+1$-en kasuan zer gertatzen den.

Batukarien propietateengatik badakigu,

$\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}+\sum _{k=n+1}^{n+1}{\frac {1}{k(k+1)}}$.

$n$-ren kasurako baieztapena egiazkotzat jo denez, hurrengoa daukagu

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}$, eta aurreko adierazpenean ordezkatuz:

$\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}+\sum _{k=n+1}^{n+1}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$.

Ondorioz,

$\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {n^{2}+2n+1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {(n+1)^{2}}{(n+1)(n+2)}}$.

$n=-1$ ez denez, sinplifika dezakegu $n+1$ terminoa, eta ondokoa lortzen dugu:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n+1}{\frac {1}{k(k+1)}}={\frac {(n+1)}{(n+1)+1}}}$.

Frogatu nahi genuena lortu dugu.

Ondorioz, baieztapena $n+1$-en kasuan ere betetzen da.

Beraz, baieztapena $n\in \mathbb {N}$ guztietarako betetzen da.

Matematika heuristiko eta esperimentala

Matematikari goiztiarrek, hala nola Eudoxo Knidokoa, frogapenik erabiltzen ez bazuten ere, Euklidesengandik hasi eta XIX. eta XX. mende berantiarreko matematikaren sorrerako garapenetara arte, frogapenak matematikaren funtsezko zati bihurtu ziren. Hirurogeiko hamarkadan botere konputazionala handitu zenean, matematika esperimentalean lan esanguratsua egiten hasi ziren froga-teorema esparrutik kanpoko objektu matematikoak ikertuz.​ Metodo horien aitzindari goiztiarrek, azkenean, nahi zutena zen lan froga-teorema esparru klasikora itzultzea, adibidez, geometria fraktalaren garapen goiztiarra, azkenean oso preziatua izan zena.

Lotutako kontzeptuak

Ikusizko frogapena

Frogapen formala ez izan arren, teorema matematiko baten frogapen bisualari «hitzik gabeko frogapena» deritzo batzuetan. Behean agertzen den ezkerreko irudia Pitagorasen teoremaren ikusizko frogapen historikoaren adibidea da (3,4,5) neurriko aldeak dituen triangeluan.

• 
  (3, 4, 5) aldeak dituen triangeluaren erakustaldi bisuala, K.a. 500-200 urteen arteko Chou Pei Suan Chingen agertzen den moduan.
• 
  Berregokitzearen bidezko Pitagorasen teoremaren ikusizko frogapen animatua.
• 
  Pitagorasen teoremaren bigarren frogapen animatua.

Oinarrizko frogapena

Oinarrizko frogapen bat oinarrizko teknikak bakarrik erabiltzen dituen frogapen bat da. Terminoa, zehazkiago, zenbakien teorian erabiltzen da analisi konplexua erabiltzen ez duten frogapenak adierazteko. Garai batean uste zen zenbait teorema, hala nola zenbaki lehenen teorema, «goi-mailako matematika» erabiliz soilik froga zitekeela. Hala ere, denborarekin, emaitza horietako asko oinarrizko teknikak erabiliz bakarrik probatu ahal izan ziren berriro.

Bi zutabeko frogapena

1913an argitaratutako bi zutabeko frogapena

Frogapen bat antolatzeko modu berezi bat, bi zutabe paralelo erabiltzen dituena, geometria elementaleko klaseetan erabiltzen da AEBn. Frogapena bi zutabetan idatzitako lerro sorta gisa idazten da. Lerro bakoitzean, ezkerreko zutabeak proposizio bat dauka; eskuineko zutabeak, berriz, azalpen labur bat, non agertzen den ezkerreko zutabeari dagokion proposizioa axioma bat edo hipotesi bat dela edo, logikoki, aurreko preposizioetatik eratorria izan daitekeela. Ezkerreko zutabeari «Baieztapenak» esan ohi zaio, eta, eskuinekoari, «Arrazoiak».

Lagunarteko «frogapen matematiko» adierazpenaren erabilera

«Frogapen matematiko» adierazpena erabiltzen da metodo matematikoak erabiltzeko edo, objektu matematikoetan oinarrituta —zenbakiak, adibidez—, eguneroko bizitzako zerbait frogatzeko edo eztabaida batean erabilitako datuak zenbakizkoak direnean eztabaidatzeko. Batzuetan, «frogapen estatistiko» ere esan nahi du (beherago), batez ere datuekin eztabaidatzeko erabiltzen denean.

Datuak erabiliz egindako frogapen estatistikoa

Datuak erabiliz egiten den «frogapen estatistikoa» estatistikaren aplikazioari, datu-analisiari edo analisi bayestarrari dagokio datuen probabilitateari buruzko proposizioak inferitzeko. Estatistikan, teoremak ezartzeko frogapen matematiko bat erabiltzen denean, frogapen horiek, normalean, ez dira frogapen matematikoak, hau da, probabilitatezko sententziak ondorioztatzen dituzten onarpenek matematikatik kanpoko ebidentzia enpirikoak behar dituztela egiaztatzeko. Fisikan, gehikuntzan edo estatistika-metodoetan, «estatistika-frogapena» izan daiteke partikulen fisikako esperimentuetan edo kosmologiako behaketa-azterketetan datuak analizatzeko erabiltzen diren fisikako metodo matematiko espezializatuei buruzkoa. «Frogapen estatistikoa», halaber, izan daiteke landu gabeko datuak edo datuak erabiltzen dituen diagrama sinesgarri baten adierazpena, hala nola scatter plots direlakoak, non datuek edo diagramak egokiro konbentzitzen duten ondoren beste azterketarik egin gabe.

Logika induktiboko frogak eta analisi bayesiarra

Logika induktiboa erabiltzen duten frogapenek, naturan matematikotzat hartzen badira ere, ziurtasun-gradu batekin proportzioak ezartzea bilatzen dute, probabilitatearen antzera jokatzen duena eta ziurtasun bat baino gutxiago izan daitekeena. Azterketa bayesiarrak asertzio batzuk ezartzen ditu, hala nola pertsonaren sinesmen subjektiboaren maila. Logika induktiboa ez da nahastu behar indukzio matematikoarekin.

Frogapenak objektu mental gisa

Psikologismoak objektu psikologiko edo mental gisa ikusten ditu frogapen matematikoak. Matematikaren filosofoak, hala nola Leibniz, Gottwoll Frege eta Rudolf Carnap, semantika bat garatzen saiatu ziren pentsamenduaren lengoaia zela uste zutenarentzat, non frogapen matematikoaren estandarrak zientzia enpirikoari aplikatzeko modukoak izan zitezkeen.

Frogapeneko metodo matematikoen eragina matematikatik kanpo

Baruch Spinoza gisako filosofo eta matematikariak argudio filosofikoak estilo axiomatikoan formulatzen saiatu ziren, non frogapen matematikoaren estandarrak aplika baitaitezke argudiaketa filosofiko orokorrean. Beste filosofo eta matematikari batzuk, enpirismorik gabe, frogapen matematikoaren eta arrazoimenaren estandarrak erabiltzen saiatu ziren, hala nola Descartesen cogitoaren argudioa.

Bibliografia

• Pólya, G.. (1954). Mathematics and Plausible Reasoning. Princeton University Press..
• Fallis, Don. (2002). «What Do Mathematicians Want? Probabilistic Proofs and the Epistemic Goals of Mathematicians» Logique et Analyse 45: 373–388...
• Franklin, J.; Daoud, A.. (2011). Proof in Mathematics: An Introduction. Kew Books ISBN 0-646-54509-4...
• Solow, D.. (2004). How to Read and Do Proofs: An Introduction to Mathematical Thought Processes. Wiley ISBN 0-471-68058-3...
• Velleman, D.. (2006). How to Prove It: A Structured Approach. Cambridge University Press ISBN 0-521-67599-5...

Kanpo estekak

• Datuak: Q11538
• Multimedia: Mathematical proof / Q11538