Lankide:Naroa Oyarzabal/Proba orria

Historia

Egiptoarrek lehenengo zatiki arruntak sortu zituzten K.a. 1000. urte inguruan. K.a. 500. urtearen inguruan greziar matematikari talde batek, Pitagoras buru zutela, zenbaki irrazionalen beharraz ohartu ziren. Zenbaki negatiboak matematikari indiarrek asmatu zituzten 600. urte inguruan, ziurrenik Txinan berrasmatuak izan ziren handik gutxira, baina Europan ez ziren erabili XVII. mendera arte, hala ere XVIII. mendearen amaieran Leonhard Eulerrek ekuazioen soluzio negatiboak baztertu zituen, irrealtzat hartu zituelako. Mende horretan, kalkuluan benetako zenbakiak erabiltzen ziren definizio zehatzik gabe, 1871. urtean Georg Cantor-ek definizio zehatza egin zuen arte.

Zenbaki errealen eraikuntza osoaren azterketa zorrotza egiteko multzo-teoriaren eta logika matematikoaren aurrekarien ezagutza behar da. XIX. mendean zenbaki errealen eraikuntza eta sistematizazioa lortu zen bi matematikari europarrei esker, modu ezberdinak erabiliz: alde batetik, Georg Cantoren multzo-teoria (segidako mihiztadurak, kardinal finitu eta infinituak) eta beste aldetik, Richard Dedekinden analisi matematikoa( auzotasunak, inguruneak eta Dedekinden ebakidurak). Bi matematikariek zenbaki errealen sistematizazioa lortu zuten historian, ez modu espontaneoan, baizik eta gai horretan lehendik zeuden aurrerapenak erabiliz: antzinako greziatik hasita Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass bezalako matematikarietatik igaroz.

Zenbakiaren kontzeptuaren bilakaera

Jakina da egiptoarrek eta babiloniarrek frakzioak (zenbaki arrazionalak) erabiltzen zituztela buruketa praktikoak ebazteko. Hala eta guztiz ere, matematika grekoa garatu zenean zenbakiaren alderdi filosofikoa kontuan hartu zen. Pitagorarrek aurkitu zuten musika-noten arteko erlazio harmonikoak zenbaki osoen zatidurak zirela, eta horrek zenbakizko proportzioak beste gauza guztietan bilatzera inspiratu zituen eta “dena zenbakia da” esaldiarekin adierazi zuten.

Greziar Matematikan, bi magnitude neurgarriak dira baldin eta hirugarren bat aurkitu ahal bada non lehenengo biak azken horren multiplo diren, hau da, unitate komuna aurkitu al da non bi magnitudeek neurri osoa duten. Printzipio pitagorikoaren arabera zenbaki guztiak osoen zatidurak direla. Horrela azaltzen zuen edozein bi magnitude neurgarriak izan behar dutela.

Hala eta guztiz ere, proiektu pitagorikoak arazoak izan zituen karratu baten diagonala edo triangelu angeluzuzen baten hipotenusa neurtzerako orduan, ez baita neurgarria katetoekiko. Notazio modernoan, 1 neurtzen duten katetoak dituen triangelu angelu zuzen baten hipotenusak biren erro karratua( ${\sqrt {2}}$) neurtzen du.

Hipotetikoki ${\sqrt {2}}={p \over q}$zenbaki arrazionala bada ${p \over q}$eta murriztua badago, orduan $2={p^{2} \over q^{2}}$non $2q^{2}=p^{2}$. Suposatzen bada $p$edo $q$-k bi zenbakia dutela beraien deskonposaketan, orduan karratuan egongo lirateke eta ondorioz, berdintzaren alde batean kantitate bikoiti bat egongo da eta bestean ordea bakoitia. Beraz, ${\sqrt {2}}$zenbaki arrazionala delako suposizioa faltsua izan behar da.

Orduan dilema bat sortu zen, printzipio pitagorikoak dionez: zenbaki oro arrazionala zen, baina triangelu angeluzuzen isoszele baten katetoak ez ziren neurgarriak hipotenusarekiko. Ondorioz aurrerantzean magnitude geometrikoak eta zenbakizko kantitateak bereizita tratatu beharko lirateke. Horrek matematika garatzerako orduan ondorioak ekarri zituen hurrengo bi milurtekoetan zehar.

Greziarrek segmentuen alderaketetan(proportzioetan) oinarritutako geometria bat garatu zuten zenbakizko balioei erreferentziarik egin gabe, neurtezinak diren kasuak kudeatzeko hainbat teoria erabiliz, Eudoxoren proportzio teoria adibidez. Horrela, zenbaki irrazionalak aritmetikatik baztertuak egon ziren aurrerantzean, hurbilketa infinituen bidez solik tratatu ahal baitziren. Adibidez pitagorikoek topatu zuten (notazio modernoan) ${a \over b}$ ${\sqrt {2}}$-ren hurbilketa bat bada, orduan $p=a+2b$ eta $q=a+b$ izanik ${p \over q}$ hurbilketa zehatzagoa izango da. Prozesua berriro errepikatuz gero, hurbilketa hobea lortzen duten zenbakiak lortzen dira. Zenbaki irrazionalek adierazten dituzten luzerak prozesu geometriko soilen bidez lor daitezkenez baina aritmetikoki hurbilketa anitzen bidez bakarrik lor daitezkenez, 2000 urteetan zehar zenbaki errealen teoria funtsean geometrikoa izatea ekarri zuen, zenbaki errealak zuzen baten puntuekin identifikatu zirelako.

Zenbaki errealen kontzeptuan aurrerapen berriak XVI. eta XVII. mendean hasi ziren, notazio algebraikoaren garapenera arte eta horrek kantitateen manipulazioa eta funtzionamendua baimendu zuen segmentu eta luzerei erreferentziarik egin gabe. Adibidez, bigarren eta hirugarren mailako ekuazioak era mekanikoan ebazteko algoritmoak aurkitu ziren, horiek erroak barneratzen zituzten eta kasu batzuetan «zenbaki ez errealak»(gaur egun zenbaki konplexu bezala ezagutzen ditugunak) ere. Hala eta guztiz ere, oraindik ez zen zenbakiaren kontzeptu formal bat ezagutzen eta garai horretan oraindik geometria hartzen zen matematikaren oinarritzat. Geometria analitikoaren garapenarekin ere, ikuspegi hori indarrean zegoen, Descartesek baztertu egiten baitzuen geometria zenbakietan oinarritzen zeneko ideia berarentzat eremu berria buruketa geometrikoak ebazteko tresna bat besterik ez baitzen.

Ondoren, kalkuluaren asmakuntzak aurrerapen matematikoko garai bat zabaldu zuen metodo berri eta ahaltsuekin: mugagabe kontzeptuak ekarritako arazoak ebaztea gaituz limite kontzeptuaren bidez adibidez. Horrela, zenbaki irrazional bat zenbaki infinituen batuketa baten limitetzat ulertzea lortu zen (adibidez hamartar hedapena). Eredu gisa, π zenbakia modu algebraikoan azter daiteke (intuizio geometrikoa erakarri gabe) honakoa seriearen bidez:

$\pi =4{\Bigl (}1-{1 \over 3}+{1 \over 5}-{1 \over 7}+...{\Bigr )}=4\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{k}}{1 \over 2k+1}$

beste hainbat antzeko adierazpenen artean. Ordurako, zenbaki errealaren kontzeptu intuitiboa modernoa zen, segmentu bat bere luzeraren neurriarekin (arrazionala edo ez) arazorik gabe identifikatuz. Kalkuluak analisi matematikoari bidea ireki zion, azken horrek jarraitasuna, konbergentzia, etab. aztertzen ditu. Baina analisiak ez zituen oraindik definizio zehatzak eta frogapen askok oraindik intuizio geometrikoa zuten oinarri. Horrek paradoxa eta zehaztugabetasun asko ekarri zituen.

Zenbaki erreal motak

Arrazionalak eta irrazionalak

Zenbaki erreal bat zenbaki arrazionala edo zenbaki irrazionala izan daiteke. Zenbaki arrazionalak ni zenbaki osoen zatidura gisa adieraz daitezkeenak dira, adibidez ¾, -21/3, 5, 0, 1/2 eta irrazionalak, berriz, gainerako guztiak dira. Zenbaki arrazionalak azaltzeko beste era bat da beraien errepresentazio hamartarra periodikoa izango dela, aldiz irrazionalen hedapen hamartarra ez da periodikoa:

Adibideak

1/4 = 0,250000... Zenbaki arrazionala da hirugarren zenbaki hamartarretik aurrera periodikoa baita.

5/7 = 0.7142857142857142857... Zenbaki arrazionala da eta bere periodoaren luzera 6 zenbakikoa da(714285 errepikatzen du).

${\frac {{\sqrt[{3}]{7}}+1}{2}}=1{\text{,}}456465591386194\ldots$ irrazionala da eta bere hedapen hamartarra ez da periodikoa.

Zenbaki arrazionalen multzoa $\mathbb {Q}$ bidez adierazten da.

Aljebraikoak eta transzendenteak

Zenbaki errealak sailkatzeko beste modu bat aljebraiko eta transzendeteak dira. Zenbaki bat aljebraikoa da erro bezala koefiziente arrazionalen polinomio bat badu, eta transzendentea izango da kontrako kasuan. Zenbaki arrazional guztiak aljebraikoak direla baldin eta $p \over q$ zenbaki arrazionala basa, $p$ osoarekin eta $q$ naturalarekin, orduan $qx=p$ ekuazioaren erroa izanik. Bestalde, zenbaki aljebraiko guztiak ez dira arrazionalak.

Adibideak

${\frac {{\sqrt[{3}]{7}}+1}{2}}$ zenbakia aljebraikoa $4x^{3}-6x^{2}+3x-4$ polinomioaren erroa baita.

Zenbaki transzendente baten adibide da $\ln 3=1{\text{,}}09861228866811\ldots$

Zenbaki aljebraikoan multzoa $\mathbb {A}$ bidez adierazten da.

Konputagarriak eta murriztaezinak

Zenbaki erreal bat konputagarria dela esaten da baldin eta Kolmogóroven konplexutasun finitua badu, hau da, luzera finitua duen programa informatiko bat idatzi ahal bada zenbaki horren digituak sortzen dituena. Zenbaki erreal bat konputagarria ez bada murriztaezina izango da. Zenbaki murriztaezinaren definizio bat honakoa da: Zenbaki erreal konputagarrien multzoa $\mathbb {R} _{\rm {comp}}$ bidez adierazten da. Zenbaki arrazionalak eta aljebraikoak zenbaki konputagarriak direla. Izan ere, honako sarrera dugu:

$\mathbb {Q} \subset \mathbb {A} \subset \mathbb {R} _{\rm {comp}}$

Gainera, multzo horiek guztiak zenbagarriak dira:

${\text{card}}|\mathbb {Q} |={\text{card}}|\mathbb {A} |={\text{card}}|\mathbb {R} _{\rm {comp}}|=\aleph _{0}$

Horrek esan nahi du zenbaki konputagarri guztien multzoa neurri nulua dela.