Alderantzizko funtzio trigonometriko

Matematikan, alderantzizko funtzio trigonometrikoak (batzuetan, arku funtzioak, funtzio antitrigonometrikoak edo funtzio ziklometrikoak ere esaten zaie) funtzio trigonometrikoen alderantzizko funtzioak dira (eremu mugatuekin, noski). Hain zuzen ere, sinu, kosinu, tangente, kotangente, sekante eta kosekante funtzioen alderantzizkoak dira, eta angeluaren erlazio trigonometrikoak jakinda angelu bera lortzeko erabiltzen dira. Alderantzizko funtzio trigonometrikoak asko erabiltzen dira ingeniaritzan, nabigazioan, fisikan eta geometrian.

Adierazpena

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak adierazteko, zenbait modu ezberdin daude. Hitzarmen ohikoena arc aurrizkia erabiliz izendatzea da: arcsin(x), arccos(x), arctg(x), etab. (Hau da artikulu honetan zehar erabiliko dugun konbentzioa.) Notazio hau θ radianeko angelu bat rθ-ko luzera duen arkua baitu delako, non r zirkuluaren erradioa da. Beraz, zirkulu unitarioan hitz egiten ari bagara, "x kosinua duen arkua" "x kosinua duen angelua"ren berdina da, zirkuluaren arkuaren luzera eta angeluaren neurria radianetan berdinak baitira. Ordenagailuen programazio hizkuntzetan, alderantzizko funtzio trigonometrikoei asin, acos edota atan forma laburtuak deritze maiz.

John Herschelek 1813an aurkeztu zituen notazioak —sin⁻¹(x), cos⁻¹(x) eta tan⁻¹(x)— ingelesezko testuetan ere erabiltzen dira maiz, sin^[−1](x), cos^[−1](x) eta tan^[−1](x) adierazpenak baino askoz gehiago. Izan ere, lehenak askoz koherenteagoak dira alderantzizko funtzioen adierazpenekin, f⁻¹(x) Beraz, funtzio trigonometrikoen alderantzizkoa lortzea paralelismo bat egitearen bezain erraza izan behar liteke. Handik datozte sin⁻¹(x) direlakoak. Izan ere, oso erabilgarria da funtzio hauek emaitz anitzdunak bihurtzeko. Hala, arkutangentea emaitza guztiak ematea nahi badugu, horrela adieraziko genuke:$\operatorname {tg} ^{-1}(x)=\{\operatorname {arctg} (x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}$

Hala ere, horrek kontraesaten du beste oso adierazpen orokor bat: sin²(x). Honek ez dagokio funtzioaren konposizioari, berreketari baino (funtzioaren konposizioari balegokio, $\sin(\sin(x))$ esan nahiko luke); beraz, alderantzizko funtzioa alderantzizko biderkagaiarekin nahas daiteke. Nahaste hori zertxobait izkutatzen da funtzio trigonometrikoen alderantzizko biderkagaiak berezko izena baitute: $\cos ^{-1}(x)=\sec(x)$.

Zenbait idazlek, ordea, horiek ez erabiltzea gomendatzen dute anbiguotasunagatik. Autore-kopuru txiki batek erabiltzen duen beste konbentzio dudagarria lehen letra larria erabiltzea da, –1 indizearekin batera: Sin⁻¹(x), Cos⁻¹(x), etab. Asmoa alderantzizko biderkagaiarekin nahastea saihestea bada ere —hau da, $\sin ^{-1}(x)={\frac {1}{\sin(x)}}=\csc(x)$-rekin nahastea, eta abar, horrek beste arazo eta anbiguetate sortzen ditu. Goi-mailako programazio hizkuntza famatu askok, hala nola Wolframen Mathematikak eta Sidneyko Unibertsitateko MAGMAk, letra larridun adierazpen horiek erabiltzen dituzte funtzio trigonometriko basikoentzat. Beste batzuk, ordea, minuskula erabiltzen dute, adibidez, Python (SymPy eta NumPy), Matlab, MAPLE eta abar.

Hortaz, 2009an, ISO 80000-2 arauak alderantzizko funtzioetarako aurrizkia "arku" izatea agindu zuen.

Oinarrizko kontzeptuak

Balio nagusiak

Sei funtzio trigonometrikoetakik, ez dago bat bera ere ez bijektiboa dena. Horrek esan nahi du balio asko "errepikatuta" daudela. sin(90º)=0, baina sin(270º)=0, eta sin(440º)=0 ere. Beraz, zein da sin(x)=0-ren emaitza? 90º? 270º?

Ziurtasun eza hori saihesteko, funtzioaren eremua mugatu behar dugu. Alderantzizko funtzioak definitzean, sinu funtzioaren zati txiki bat besterik ez dugu erabiltzen, bijektiboa izan dadin. Beraz, alderantzizko funtzioen ibilbidearen (eta, beraz, jatorrizko funtzioen domeinuaren) azpimultzo arbitrario bat erabiltzen: adar nagusia. Lortzen dugun balioari, hortaz, balio nagusi deritzo.

Alderantzizko funtzioen adar nagusiak taula honetan ageri dira:

Izena	Ohiko adierazpena	Definizioa	Eremu erreala	Balio nagusi ohikoenak (radianak)	Balio nagusi ohikoenak (graduak)
arkosinua	$y=\arcsin(x)$	x = sin(y)	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
arkokosinua	$y=\arccos(x)$	x = cos(y)	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }$
arkotangentea	$y=\operatorname {arctg} (x)$	x = tg(y)	zenbaki errealak	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
arkokotangentea	$y=\operatorname {arccot}(x)$	x = cot(y)	zenbaki errealak	$0<y<\pi$	$0^{\circ }<y<180^{\circ }$
arkosekantea	$y=\operatorname {arcsec}(x)$	x = sec(y)	${\left\vert x\right\vert }\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ edo }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ edo }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
arkokosekantea	$y=\operatorname {arccsc}(x)$	x = csc(y)	${\left\vert x\right\vert }\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ edo }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ edo }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }$

Oharra: Zenbait autorek arkusekantearen ibilbidea ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$ bezala definitzen dute, tangente funtzioa ez baita negatiboa tarte honetan. Honek kalkulu batzuk sendoagoak egiten ditu. Adibidez, ibilbide hori erabiliz, $\operatorname {tg} (\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}$; eta ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$ ibilbidearekin, ordea, $\operatorname {tg} (\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$ idatzi egin beharko genuke, tangentea positiboa baita ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}$-n baina negatiboa ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$-n. Antzera, autore batzuk arkukosekantearen ibilbidea ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ eta ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}})}$ hartzen dute.

$x$ zenbaki konplexua izan badaiteke, $y$-ren ibilbide mugatua zati errealari soilik aplikatzen zaio.

Izena	Ikurra		Eremua		Irudia	Alderantzizko funtzioa		Eremua		Balio nagusien ibilbidea
sine	$\sin$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arcsin$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$
cosine	$\cos$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arccos$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$[0,\pi ]$
tangent	$\operatorname {tg}$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {arctg}$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
cotangent	$\cot$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {arccot}$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$(0,\pi )$
secant	$\sec$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arcsec}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$[\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$
cosecant	$\csc$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arccsc}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

$\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$ ikurrak zenbaki erreal guztien multzoa adierazten du, eta $\mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}$-k, zenbaki oso guztiena. Antzera, $\pi$ zenbakiaren multiplo guztien multzoa (hots, pi oso batez biderkatuta) honela adierazten da:

$$\pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.$$

$\,\setminus \,$ ikurrak multzo kendura esan nahi du; hau da, adibidez, $\mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$ adierazpenak $\mathbb {R}$ (hau da, zenbaki errealak) multzoan dauden baina $(-1,1)$ tartean EZ dauden zenbakien multzoa da.

Minkowskiren batura adierazpena erabili da ere. Goian, ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ eta $\pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}$ erabiltzen da $\cot ,\csc ,\operatorname {tg} ,{\text{ eta }}\sec$-ren eremuak azaltzeko:

Kotangentearen ($\cot$) eta kosekantearen ($\csc$) eremuak: Biak berdinak dira. $\sin \theta \neq 0$ betetzen duten $\theta$ angelu guztien multzoa dira; hau da, $\pi n$ bezala adieraz ez daitekeen, $n$ zenbaki oso bat izanda, zenbaki errealen multzoa dira.

$${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$$

Tangentearen ($\operatorname {tg}$) eta sekantearen ($\sec$) eremuak: Biak berdinak dira. $\cos \theta \neq 0$ betetzen duten $\theta$ angelu guztien multzoa dira; hau da, ${\tfrac {\pi }{2}}+\pi n$ bezala adieraz ez daitekeen, $n$ zenbaki oso bat izanda, zenbaki errealen multzoa dira.

$${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}$$

Oinarrizko ekuazio trigonometrikoen emaitza

Funtzio trigonometriko bakoitza periodikoa da balioaren zati errealean, eta bere balio guztiak bi aldiz zeharkatzen ditu $2\pi$ luzerakotarte bakoitzean.

• Sinu eta kosekantearen periodoa ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$n hasten da (non $k$ zenbaki oso bat den), ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$n amaitu, eta gero alderantzizko ibilbidea egiten dute ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$tik $2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}$ra.
• Kosinu eta sekantearen periodoa ${\textstyle 2\pi k}$n hasten da, ${\textstyle 2\pi k+\pi }$n amaitu, eta gero alderantzizko ibilbidea egiten dute $2\pi k+\pi$tik $2\pi k+2\pi$ra.
• Tangentearen periodoa ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$tik ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ra doa; eta gero, bere periodoa $\pi$ besterik ez denez, berdina errepikatzen du ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$tik ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}}$ra. Antzera, kotangenteak periodoa $2\pi k$n hasten du eta $2\pi k+\pi$n amaitzen du, eta berdina egiten du $2\pi k+\pi$tik $2\pi k+2\pi$ra.

Periodikotasun hori alderantzizkoen orokortzeetan ikusten da, non $k$ zenbaki oso bat da.

Hurrengo taulan, funtzio trigonometriko estandarrak dituzten ekuazioak ebazteko bere alderantzizkoak nola erabil daitezkeen erakusten da. Taula osoan, $\theta ,$$r,$$s,$$x,$ eta $y$ren emandako balio guztiak eremu egokian daudela asumitu dugu, guztiak ondo definituta egon daitezen.Kontuan izan "$k\in \mathbb {Z}$ batentzat" "$k$ zenbaki oso batentzat" esateko beste modu bat dela.

$\,\iff \,$ikurrak berdintasun logikoa adierazten du. $A\iff B$ adierazpenak A eta B egia direla adli berean, edo A eta B gezurra direla esan nahi du. A ezin da gertatu b gertatu barik, eta aldrebes. Berez, adierazpen horrek "A baldin eta soilik baldin B" esan nahi du, eta A gertatzeko B gertatzea beharrezkoa eta nahikoa dela adierazten du.

Ekuazioa	Baldin eta soilik baldin	Konponbidea								Irtenbide modu zabaldua	non:..
$\sin \theta =y$	<span about="#mwt510" class="mwe-math-element" data-mw="{&quot;name&quot;:&quot;math&quot;,&quot;attrs&quot;:{},&quot;body&quot;:{&quot;extsrc&quot;:&quot;\\iff&quot;}}" id="mwATc" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mo stretchy="false">⟺</mo> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \iff }</annotation> </semantics> </math></span><img alt="\iff" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" data-cx="{&quot;adapted&quot;:false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff942842a50b24e7585cc42c5b50c34650e3aa99" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.607ex; height:1.843ex;"></span>	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\arcsin(y)$	$+$		$\pi k$	gutxi batzuk$k\in \mathbb {Z}$	$\iff$	edo$\theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi h$ $\theta =-\arcsin(y)+2\pi h+\pi$	gutxi batzuk$h\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\operatorname {arccsc}(r)$	$+$		$\pi k$	gutxi batzuk$k\in \mathbb {Z}$	$\iff$	edo$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(y)+2\pi h$ $\theta =-\operatorname {arccsc}(y)+2\pi h+\pi$	gutxi batzuk$h\in \mathbb {Z}$
bitartean$\cos \theta =x$$\theta \geq 0$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\arccos(x)$	$+$	$2$	$\pi \left\lfloor {\frac {k+1}{2}}\right\rfloor$	askerako$k$$\pi$$\theta$$(k+1)$$\pi$$k\in \mathbb {N}$	$\iff$	edo$\theta =\;\;\;\,\arccos(y)+2\pi h$ $\theta =-\arccos(y)+2\pi h$	gutxi batzuk$h\in \mathbb {Z}$
bitartean$\cos \theta =x$$\theta \leq 0$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k-1}$	$\arccos(x)$	$-$	$2$	$\pi \left\lfloor {\frac {|k-1|}{2}}\right\rfloor$	Hau da:$(k-1)$$\pi$$\theta$$k$$\pi$$k\in 0+Z-$	$\iff$	edo$\theta =\;\;\;\,\arccos(y)+2\pi h$ $\theta =-\arccos(y)+2\pi h$	gutxi batzuk$h\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$ + -rentzat$\theta \geq 0$$\theta \leq 0$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm$	$(-1)^{k}$	$\arccos(x)$	$\pm$	$2\pi \left\lfloor {\frac {k+1}{2}}\right\rfloor$	“’’’’’ denean, k= denean$k$$\pi$$\theta$$(k+1)$$\pi$$k\in \mathbb {N}$$\lfloor$$\rfloor$	$\iff$	edo$\theta =\;\;\;\,\arccos(y)+2\pi h$ $\theta =-\arccos(y)+2\pi h$	gutxi batzuk$h\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\operatorname {arcsec}(r)$	$+$	$2$	$\pi k$	gutxi batzuk$k\in \mathbb {Z}$	$\iff$	edo$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(y)+2\pi h$ $\theta =-\operatorname {arcsec}(y)+2\pi h$	gutxi batzuk$h\in \mathbb {Z}$
$\operatorname {tg} \theta =s$	$\iff$	$\theta =\,$		$\operatorname {arctg} (s)$	$+$		$\pi k$	gutxi batzuk$k\in \mathbb {Z}$
$\cot \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$		$\operatorname {arccot}(r)$	$+$		$\pi k$	gutxi batzuk$k\in \mathbb {Z}$

Adibidez, $\cos \theta =-1$ bada, orduan $\theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)$ betetzen da $k\in \mathbb {Z}$ batentzat. Aldiz, $\sin \theta =\pm 1$ bada, orduan ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ betetzen da $k\in \mathbb {Z}$ bateren batentzat. $k$ bikoitia izango da $\sin \theta =1$ kasuan, eta bakoitia $\sin \theta =-1$ bada. Gainera, $\sec \theta =-1$ eta $\csc \theta =\pm 1$ ekuazioek $\cos \theta =-1$ eta $\sin \theta =\pm 1$ ekuazioen emaitza berdinak dituzte, hurrenez hurren. Goian agertzen diren beste kasu guztietan, hau da, guztiak $\sin$/$\csc \theta =\pm 1$ eta $\cos$/$\sec \theta =-1$ izan ezik, $\theta$k besterik ez du zehazten $k$ zenbaki osoa ($r,s,x,$ eta $y$ finkoak izanda).

Plus/minus $\pm$ ikurraren azalpen eta adibide zehaztua:

$\cos \theta =x$ eta $\sec \theta =x$ ekuazioen emaitzak plus/minus ikurra erabiltzen dute. Lehenaren kasuan, ematen diguten $x$ tarte batean ($-1\leq x\leq 1$) dago, eta badakigu $\theta$ren bat dagoela $\cos \theta =x.$ betetzen duena. Hori da aurkitu nahi duguna. Emaitza, taularen arabera, hau da:

$$\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad k\in \mathbb {Z} {\text{ batzuentzat}}$$

Azken hori honako baieztapen hauetako bat (gutxienez) egia dela esateko modu laburtua da:

1. $k$ zenbaki oso jakin batentzat, $\,\theta =\arccos x+2\pi k\,$
   
   edo
   
   
2. $k$ zenbaki oso jakin batentzat $\,\theta =-\arccos x+2\pi k\,$

Lehen aipatu den bezala, $\,\arccos x=\pi$ gertatzen bada (definizioz, $x=\cos \pi =-1$ kasuan besterik ezin da gertatu), goiko bi adierazpenak, (1) eta (2), egiak dira, nahiz eta $k$ zenbaki osoaren balio desberdinekin: $K$ (1) berdintasunaren zenbakia bada (hau da, $K$ horrek $\theta =\pi +2\pi K$ betetzen duela), orduan (2) berdintasunaren zenbakia $K+1$ da, zeren eta $\theta =-\pi +2\pi (1+K)$.

Hala ere, $x\neq -1$ bada, $k$ zenbaki oso bakar eta berdina da, $\theta$ren araberakoa:

$\,\arccos x=0\,$ bada (definizioz, $x=\cos 0=1$ denean besterik ez dena gertatzen), orduan $\,\pm \arccos x=0\,$ gertatzen da, $\,+\arccos x=+0=0=-0=-\arccos x$ delako. Hortaz, (1) eta (2) berdinak dira, eta biak egiak.

Bi kasu berezi horiek aztertu ondoren, beste guztiak ikusiko ditugu. Hortaz, hemendik aurrera $\,\arccos x\neq 0\,$ eta $\,\arccos x\neq \pi$ asumituko dugu. $\cos \theta =x$ren emaitza, halere, oraindik honako forma orokor hau da:

$$\theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.$$

Lehen bezala, (1) edo (2), baten bat, egia dela esateko beste forma bat da. Oraingoan, halere, $\,\arccos x\neq 0\,$ eta $0<\arccos x<\pi$ direnez, (1) eta (2) ez dira berdinal, eta bat besterik ez da gertatzen (biak ez). Zein den jakiteko, $\theta$ri buruz gehiago jakin behar dugu.

Adibidez, esan $x=0$ eta $\theta$z dakigun guztia $\,-\pi \leq \theta \leq \pi \,$ dela. Hortaz:

$$\arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}$$

Gainera, $k=0$ da kasu berezi honetan (bai $\,+\,$ kasuan, bai $\,-\,$ kasuan), eta, beraz,

$${\begin{alignedat}{28}\sin \theta &=-&&\sin(-\theta )&&=-&&\sin(\pi +\theta )&&=&&\sin(\pi -\theta )&&=-&&\cos {\Big (}{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=\;&&\cos {\Big (}{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\cos {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=&&\cos {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=-&&\cos {\bigg (}{\frac {3\pi }{2}}-\theta {\bigg )}&&=-&&\cos {\bigg (}-{\frac {3\pi }{2}}+\theta {\bigg )}\\[0.3ex]\cos \theta &=&&\cos(-\theta )&&=-&&\cos(\pi +\theta )&&=&&\cos(\pi -\theta )&&=&&\sin {\Big (}{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=&&\sin {\Big (}{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\sin {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\sin {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=-&&\sin {\bigg (}{\frac {3\pi }{2}}-\theta {\bigg )}&&=&&\sin {\bigg (}-{\frac {3\pi }{2}}+\theta {\bigg )}\\[0.3ex]\operatorname {tg} \theta &=-&&\operatorname {tg} (-\theta )&&=&&\operatorname {tg} (\pi +\theta )&&=-&&\operatorname {tg} (\pi -\theta )&&=-&&\cot {\Big (}{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=&&\cot {\Big (}{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=&&\cot {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\cot {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=&&\cot {\bigg (}{\frac {3\pi }{2}}-\theta {\bigg )}&&=-&&\cot {\bigg (}-{\frac {3\pi }{2}}+\theta {\bigg )}\\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

Honek $\theta$ren balioa $\,\pi /2\,$ edo $-\pi /2$ izan daitekela esan nahi du. Ezer gehiago jakin gabe, ezin da baieztatu $\theta$ horietako zein den. Jakin daitekeen zerbait angelua $x$ ardatzaren gainetik dagoela da (orduan $\theta =-\pi /2$ litzateke), edota ardatz berdinaren behetik (beraz, $\theta =-\pi /2$.

Ekuazio transformatzaileak

Aurreko ekuazioak islapen eta aldaketa identitateak erabiliz aldatu egin daitezke :

Argudioa:${\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$	$-\theta$		${\frac {\pi }{2}}\pm \theta$		$\pi \pm \theta$		${\frac {3\pi }{2}}\pm \theta$		$2k\pi \pm \theta$ non $k\in \mathbb {Z}$
$\sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$	$-$	$\sin \theta$		$\cos \theta$	$\mp$	$\sin \theta$	$-$	$\cos \theta$	$\pm$	$\sin \theta$
$\csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$	$-$	$\csc \theta$		$\sec \theta$	$\mp$	$\csc \theta$	$-$	$\sec \theta$	$\pm$	$\csc \theta$
$\cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$		$\cos \theta$	$\mp$	$\sin \theta$	$-$	$\cos \theta$	$\pm$	$\sin \theta$		$\cos \theta$
$\sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$		$\sec \theta$	$\mp$	$\csc \theta$	$-$	$\sec \theta$	$\pm$	$\csc \theta$		$\sec \theta$
$\operatorname {tg} {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$	$-$	$\operatorname {tg} \theta$	$\mp$	$\cot \theta$	$\pm$	$\operatorname {tg} \theta$	$\mp$	$\cot \theta$	$\pm$	$\operatorname {tg} \theta$
$\cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}$	$=$	$-$	$\cot \theta$	$\mp$	$\operatorname {tg} \theta$	$\pm$	$\cot \theta$	$\mp$	$\operatorname {tg} \theta$	$\pm$	$\cot \theta$

Formula horiek hau egia izatea egiten dute, bereziki:

$${\begin{alignedat}{28}\sin \theta &=-&&\sin(-\theta )&&=-&&\sin(\pi +\theta )&&=&&\sin(\pi -\theta )&&=-&&\cos {\Big (}{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=\;&&\cos {\Big (}{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\cos {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=&&\cos {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=-&&\cos {\bigg (}{\frac {3\pi }{2}}-\theta {\bigg )}&&=-&&\cos {\bigg (}-{\frac {3\pi }{2}}+\theta {\bigg )}\\[0.3ex]\cos \theta &=&&\cos(-\theta )&&=-&&\cos(\pi +\theta )&&=&&\cos(\pi -\theta )&&=&&\sin {\Big (}{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=&&\sin {\Big (}{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\sin {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\sin {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=-&&\sin {\bigg (}{\frac {3\pi }{2}}-\theta {\bigg )}&&=&&\sin {\bigg (}-{\frac {3\pi }{2}}+\theta {\bigg )}\\[0.3ex]\operatorname {tg} \theta &=-&&\operatorname {tg} (-\theta )&&=&&\operatorname {tg} (\pi +\theta )&&=-&&\operatorname {tg} (\pi -\theta )&&=-&&\cot {\Big (}{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=&&\cot {\Big (}{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=&&\cot {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}-\theta {\Big )}&&=-&&\cot {\Big (}-{\frac {\pi }{2}}+\theta {\Big )}&&=&&\cot {\bigg (}{\frac {3\pi }{2}}-\theta {\bigg )}&&=-&&\cot {\bigg (}-{\frac {3\pi }{2}}+\theta {\bigg )}\\[0.3ex]\end{alignedat}}$$

non $\sin \leftrightarrow \csc ,$ $\cos \leftrightarrow \sec$ eta $\operatorname {tg} \leftrightarrow \cot$ trukatzeak $\csc ,\sec ,{\text{ eta }}\cot$ funtzioentzako ekuazioak ematen dizkigun, hurrenez hurren.

Adibidez, ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta }$ berdintza erabiliz, $\cos \theta =x$ ekuazioa ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x}$ bihur daiteke. Horrek $\sin \varphi =x$ren emaitza erabiltzea ahalbidetzen digu (non ${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$); izan ere, emaitza hori $\varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k,\;k\in \mathbb {Z} {\text{ batentzat }}$ da. Hori hau bihur daiteke:

Erlazioa			Baldin eta bakarrik baldin	Erantzuna							Asunzioa	Honetarako ere da emaitza:
$\sin \theta$	$=$	$\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$(-1)^{k}$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$\csc \theta =\csc \varphi$
$\cos \theta$	$=$	$\cos \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$\pm \,$	$\varphi$	$+$	$2$	$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$\sec \theta =\sec \varphi$
$\operatorname {tg} \theta$	$=$	$\operatorname {tg} \varphi$	$\iff$	$\theta =$		$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$\cot \theta =\cot \varphi$
$-\sin \theta$	$=$	$\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$(-1)^{k+1}$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$-\csc \theta =\csc \varphi$
$-\cos \theta$	$=$	$\cos \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$\pm \,$	$\varphi$	$+$	$2$	$\pi k$	$+\,\;\pi$	$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$-\sec \theta =\sec \varphi$
$-\operatorname {tg} \theta$	$=$	$\operatorname {tg} \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$-$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$-\cot \theta =\cot \varphi$
$\left|\sin \theta \right|$	$=$	$\left|\sin \varphi \right|$	$\iff$	$\theta =$	$\pm$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	${\begin{aligned}\left|\operatorname {tg} \theta \right|&=\left|\operatorname {tg} \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}$
	⇕
$\left|\cos \theta \right|$	$=$	$\left|\cos \varphi \right|$

$${\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k,\quad k\in \mathbb {Z} {\text{ batentzat }}$$

Honetaz konturatzean lortzen da:$\cos \left(\operatorname {arctg} \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)$

$$\theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad ,h\in \mathbb {Z} {\text{ batzuentzat }}$$

$\;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;$ ordezkapena aurreko formularen eskuinaldea $\arccos x$ ren arabera adierazteko baliogarria izan daiteke, $\;\arcsin x$ren ordez.

Funtzio trigonometrikoen berdintasunak

Taula honek bi angelu $\theta$ eta $\varphi$ erlazionatutak egon behar direla adierazten du, bere balio trigonometrikoak elkarren berdinak edo aurkakoak badira.

Equation			Baldin eta bakarrik baldin	Emaitza							non...	Hau ere bai betetzen du
$\sin \theta$	$=$	$\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$(-1)^{k}$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$\csc \theta =\csc \varphi$
$\cos \theta$	$=$	$\cos \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$\pm \,$	$\varphi$	$+$	$2$	$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$\sec \theta =\sec \varphi$
$\operatorname {tg} \theta$	$=$	$\operatorname {tg} \varphi$	$\iff$	$\theta =$		$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$\cot \theta =\cot \varphi$
$-\sin \theta$	$=$	$\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$(-1)^{k+1}$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$-\csc \theta =\csc \varphi$
$-\cos \theta$	$=$	$\cos \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$\pm \,$	$\varphi$	$+$	$2$	$\pi k$	$+\,\;\pi$	$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$-\sec \theta =\sec \varphi$
$-\operatorname {tg} \theta$	$=$	$\operatorname {tg} \varphi$	$\iff$	$\theta =$	$-$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	$-\cot \theta =\cot \varphi$
$\left|\sin \theta \right|$	$=$	$\left|\sin \varphi \right|$	$\iff$	$\theta =$	$\pm$	$\varphi$	$+$		$\pi k$		$k\in \mathbb {Z}$ batzuentzat	${\begin{aligned}\left|\operatorname {tg} \theta \right|&=\left|\operatorname {tg} \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}$
	⇕
$\left|\cos \theta \right|$	$=$	$\left|\cos \varphi \right|$

Alderantzizko funtzio trigonometriko eta funtzio trigonometriko estandarren arteko erlazioak

Hona hemen alderantzizko funtzio trigonometrikoak, funtzio trigonometrikoen arabera. Erlazio hauek lortzeko modu azkar bat eskuin-triangelu baten geometria da: 1 luzera duen alde batekin eta $x$ luzerako beste alde batekin, Pitagorasen teorema eta erlazio trigonometrikoen definizioak erraz aplika daitezke. Deribazio algebraiko hutsak, ordea, luzeagoak dira.

Esan beharra da, arkusekante eta arkukosekantean, diagramak $x$positiboa dela hartzen du; beraz, emaitza zuzendu egin behar dela balio absolutuak eta signu funtzioa (sgn) erabiliz.

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\operatorname {tg} (\theta )$	Grafikoki
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\operatorname {tg} (\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\operatorname {tg} (\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\operatorname {arctg} (x)$	$\sin(\operatorname {arctg} (x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arctg} (x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\operatorname {tg} (\operatorname {arctg} (x))=x$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\operatorname {tg} (\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\operatorname {tg} (\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}$	$\operatorname {tg} (\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen elkarren arteko erlazioak

Arctan(x) eta arccot(x) funtzioen ohiko balio nagusiak, plano kartesiarrean.

Arcsec(x) eta arccsc(x) funtzioen balio nagusiak, plano kartesiarrean.

Arcsec(x) eta arccsc(x) funtzioen balio nagusiak, plano kartesiarrean.

Angelu osagarriak:

${\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} (x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}$

Argudio negatiboak:

${\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arctg} (-x)&=-\operatorname {arctg} (x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\end{aligned}}$

Alderantzizko argudioak:

${\begin{aligned}\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)\\[0.3em]\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)\\[0.3em]\operatorname {arctg} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} (x)=\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arctg} \left({\frac {1}{x}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} (x)=\operatorname {arccot}(x)-\pi \,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\operatorname {arctg} (x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)=\pi +\operatorname {arctg} (x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)\end{aligned}}$

Gure taula trigonometrikoan sinuak besterik ez baditugu:

${\begin{aligned}\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ baldin }}0\leq x\leq 1{\text{ , eta handik lor dezakegu }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ baldin }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ baldin }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ baldin }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&=\operatorname {arctg} \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\operatorname {arctg} (x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

Zenbaki konplexu baten erro karratua erabiltzean, zati erreal positiboa duen erroa aukeratzen dugu (edo zati irudikari positiboa, karratua erreal negatiboa bazen).

Aurreko formuletatik zuzenean lor daitekeen forma erabilgarri bat hau da:

.$\operatorname {arctg} \left(x\right)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ baldin }}x\geq 0$

Erraz lor daiteke azken hau baldin badakigu:

$\cos \left(\operatorname {arctg} \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)$

Angelu erdiaren formulatik, $\operatorname {tg} \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}$, abiatuta, hau lortzen dugu:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\operatorname {arctg} \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ baldin }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\operatorname {arctg} (x)&=2\operatorname {arctg} \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}$

Arkutangentearen batuketaren formula

$\operatorname {arctg} (u)\pm \operatorname {arctg} (v)=\operatorname {arctg} \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.$

Hau lortzeko, batuketaren tangentearen formulan

$\operatorname {tg} (\alpha \pm \beta )={\frac {\operatorname {tg} (\alpha )\pm \operatorname {tg} (\beta )}{1\mp \operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta )}}\,,$

$\alpha =\operatorname {arctg} (u)\,,\quad \beta =\operatorname {arctg} (v)$

bi ordezkatze hauek ezar daitezke.

Kalkuluan

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen deribatuak

z-ren balio konplexuetarako deribatuak hauek dira:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arctg} (z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}$

Aldiz, x-ren balio errealetarako besterik ez:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}$

Adibidez, $\theta =\arcsin(x)$ bada, hau lortzen dugu:

${\frac {d\arcsin(x)}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sin(\theta )}}={\frac {d\theta }{\cos(\theta )\,d\theta }}={\frac {1}{\cos(\theta )}}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}(\theta )}}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

Integral definitu gisa adieraztea

Deribatua integratu eta balioa puntu batean finkatzen, alderantzizko funtzio trigonometrikorako adierazpena lor dezakegu, integral definitu gisa:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\operatorname {arctg} (x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}$

x=1 denean, eremu mugatuak dituzten integralak integral inpropioak dira, baina hala eta guztiz ere ongi definituak daude.

Serie infinituak

Sinu eta kosinu funtzioen antzera, alderantzizko funtzio trigonometrikoak berretura-serieak erabiliz kalkulatu daitezke. Arkosinuaren kasuan, bere deribatua ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ erabiliz serie binomial bat bezala handituz, eta gero batugai bakoitza integratuz, lor daiteke adierazpena. Arkutangentearen kasuan, ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ deribatua serie geometriko bihur daiteke, eta handik ere integratu (ikus Leibnizen serieak).${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$ erabiliz

${\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

$\operatorname {arctg} (z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i$

Beste alderantzizko funtzio trigonometrikoen serieak bi funtzio horien arabera eman daitezke, aurrez emandako erlazioen arabera. Adibidez, $\arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)$, $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$, $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$, eta abar. Beste serie bat da:

$2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Leonhard Eulerrek arctangenterako beste serie bat aurkitu zuen, Taylorrena baino azkarrago konbergitzen egiten duena:

$\operatorname {arctg} (z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$

(n = 0 denean, batuketaren emaitza biderkagai hutsa da, hau da, 1.)

Bestela, honela adieraz daiteke:

$\operatorname {arctg} (z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.$

Arkutangente funtziorako beste serie bat hau izan daiteke:

$\operatorname {arctg} (z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),$

non $i={\sqrt {-1}}$, unitate irudikaria, den.

Arkutangentearen zatiki jarraituak

Arkutangentearen berreture seriearen alternatiba bi honako hauek dira:

$\operatorname {arctg} (z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Bigarrenak ebakitako plano konplexuan balio du. Bi ebakidura daude: -i-tik eta puntu infinitu bateraino, ardatz irudikaritik behera joaten, eta i-tik puntu infinituraino, ardatz berdinetik gora joanez. -1 eta 1 bitarteko zenbaki errealetan hobeto funtzionatzen du. Izendatzaile partzialak zenbaki natural arrotzak besterik ez dira, eta zenbakitzaile partzialak (lehenengoaren ondoren) (nz)² gaiak baino ez dira, non karratu perfektu bakoitza soilik behin agertzen den. Lehena Leonhard Eulerrek garatu zuen; bigarrena, Carl Friedrich Gaussek, serie hipergeometriko gaussiarra erabiliz.

Alderantzizko funtzio trigonometrikoen integral mugagabeak

z-ren balio erreal eta konplexuetarako:

${\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \operatorname {arctg} (z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arctg} (z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}$

x ≥ 1 betetzen duten erreal guztientzat:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

x erreal guztientzat, -1 eta 1 artean dauedenak izan ezin:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}$

Balio absolutua ezinbestekoa da arkusekante eta arkukosekante funtzioen balio negatiboak eta positiboak direla eta. Zeinu funtzioa ere da beharrezkoa bi funtzioen deribatuek dituzten balio absolutuengatik, x-ren balio positibo eta negatiboetarako bi iemaitza desberdin sortzen baitituzte. Horiek alderantzizko funtzio hiperbolikoen definizio logaritmikoen bidez sinplifikatu egin daitezke:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}$

Arcosh funtzioaren argumentuaren balio absolutuak bere grafikoaren erdia negatibo izatea eragiten du, eta lehen erakutsitako zeinu-funtzio logaritmikoaren berdina egiten du.

Antideribatu guzti horiek zatikako integrazioa eta arestian azaldutako deribazio-forma sinpleak konbinatuz lor daitezke.

Adibidea

Zatikazko integrazioaren $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ formula erabiliz:

${\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}$

Beraz,

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,$

Zeinek $w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx$ ordezkapen bakunaren bidez azken emaitza ematen duen:

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Plano konplexura zabaltzea

tan z = x erlazioaren Riemannen gainazala. Erdiko orri laranjak arctan x adierazten du. Goiko orri urdina eta beheko berdea 2π eta –2π mugituta daude, hurrenez hurren.

Alderantzizko funtzio trigonometrikoak funtzio analitikoak direnez, lerro errealetik plano konplexura zabal daitezke. Horri esker, orri eta adar-puntu anitzeko funtzioetan. Luzapena definitzeko modu bat honako hau da:

$\operatorname {arctg} (z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i$

non −i eta +i adar puntuen artean ez dagoen ardatz irudikariaren zatiak orrien arteko adar ebaketak diren. Integralaren bideak ezin du adar ebaketarik ebaki. Integralaren bide bat 0tik adar ebaketan ez dagoen edozein z-ra doan edozein lerro zuzen da. z adar ebaketan egotekotan, bidea Re[x] > 0tik hurbildu behar da goiko ebaketa bada, eta Re[x] < 0tik, behekoa bada.

Orduan, arkosinu funtzioa honela defini daiteke:

$\arcsin(z)=\operatorname {arctg} \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1$

non erro karratu funtzioa ardatz negatibo errealaren zehar mozten duen eta −1 eta +1en artean ez dagoen ardatz errealaren zatia adar ebaketa den arkusinuaren orri nagusiaren eta beste orrien artean;

$\arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1$

arkosinuaren ebaketa bera duena;

$\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arctg} (z)\quad z\neq -i,i$

arkutangentearen ebaketa bera duena;

$\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1$

non ardatz errealaren −1 eta +1 arteko zatia, biak barne, arkusekantearen orri nagusiaren eta beste orrien arteko ebakidura den;

$\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1$

Arkusekantearen ebaketa bera duena.

Era logaritmikoak

Funtzio hauek logaritmo konplexuak erabiliz adieraz daiteke ere. Honek bere eremuak plano konplexura zabaltzen ditu era natural batean. Hurrengo berdintzak, funtzioen balio nagusientzat, beti dira egia (baldin eta definituta badaude), bere adar ebaketetan ere.

${\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arctg} (z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\operatorname {arctg} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}$

Alderantzizko funtzio trigonometriko guztiek triangelu pitagoriko baten angelu bat ematen dutenez, Eulerren formula erabiliz orokortu daitezke, triangelu angeluzuzen bat osa dezaten plano konplexuan. Algebraikoki, horrek hau esan nahi du:

$ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )$

edo

$ce^{i\theta }=a+ib$

edo

non $a$ alboko katetoa da, $b$ kontrakoa, eta $c$ hipotenusa. Nori izanda, $\theta$ bakan dezakegu:

${\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}$

$\theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)$

Parte irudikaria hartzeak balio erreal $a$ eta $b$ balio erreal edozeinentzat ondo doa, baina $a$ edo $b$ konplexuak izatekotan, azken ekuazioa erabili behar dugu, emaitzaren zati erreala ez baztertzeko. Hipotenusaren luzerak angelua ez duenez aldatzen, $\ln(a+bi)$-ren zati erreala alde batera uzteak $c$ ezabatzen du ekuaziotik. Amaierako ekuazioan, triangeluak plano konplexuan duen angelua aldeen luzerak ordezkatuz aurki daitekeela ikusi dugu. Hiru aldeetako baten luzera 1, eta beste aldeetako batena guk sartutakoa ($z$) direla ezartzean, alderantzizko funtzio trigonometriko baterako formula bat lortuko dugu. Aldeak aldatuz, sei ekuazioetarakoak lor ditzakegu. Alderantzizko funtzio trigonometrikoek aldagai bakarra behar dutenez, beste bien terminoetan jarri behar dugu triangeluaren azken aldea, Pitagorasen teoremaren erlazioa erabiliz.

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Beheko taula honetan, alderantzizko funtzio trigonometriko bakoitzaren a, b eta c-ren balioak ageri dira, balio horiek formulan ordezkatuz lortutako $\theta$ren adierazpenekin batera.