Talde (matematika)

Wikipedia, Entziklopedia askea

Aljebra abstraktuan, talde bat egitura aljebraiko bat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitar batez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edo elkartze-legea), elementu neutroaren existentzia (identitatea ere deitzen zaio) eta alderantzizko elementua (batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute. [1]

Kontzeptuaren definizioa eta motibazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Lehen adibidea: zenbaki osoen batuketa-taldea[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Talde ezagunenetako bat zenbaki osoen multzoa da, batuketa eragiketa gisa hartuta. [2]

Eragiketa aritmetiko horren propietateek taldearen kontzeptua argitzen lagunduko digute:

  • Parentesiak alde batera utz daitezke eragiketen lehentasuna adierazteko: nahiz eta batuketa bi zenbakitarako definitu, ez dago anbiguotasunik a+b+c adierazpenean, (a+b) + c eta a + (b+c) eragiketen emaitzak berdinak baitira. Beraz, zenbaki osoen baturak egiaztatu egiten du elkartze-legea.
  • Zenbaki bakar bat dago, zero, beste edozeini gehituta honen balioa aldatzen ez duena: a+0 = a = 0+a, a edozein zenbaki oso izanik. Zenbaki honi, hots, zerori, elementu neutroa deritzo.

Lau propietate horiek eragiketa askotarako ere egiaztatzen dira, ez nahitaez zenbakizkoak; eta horiek guztiek kontzeptu abstraktu bat biltzen dute —taldearen kontzeptua— eta baita definitzen laguntzen ere. Definizio horrek, axiometan oinarritua, teoria abstraktu bat garatzeko aukera ematen du -taldeen teoria-. [3]

Zenbaki osoen batuketaren kasuan, batugaien ordena ez da garrantzitsua, a eta b edozein direla ere, a+b = b+a betetzen baita. Propietate kommutatiboa da hori, baina ez da talde guztientzat egiazkotzat hartzen; beraz, taldeen teorian arreta berezia jartzen zaio eragiketen ordenari.

Definizio axiomatikoa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Izan bitez multzo ez-hutsa eta eragiketa bitarra -n definituta. parea taldea dela esaten da, baldintza hauek betetzen badira:[4]

  1. barne-eragiketa bitarra da, hau da, multzoko bi elementu hartzen ditu -n ere hirugarren bat lortzeko. Ondorioz, aplikazio bat da, honela definitua:
  2. eragiketak elkartze-propietatea betetzen du -ko elementuentzat. Alegia, edozein elementutarako,
    .
  3. -k elementu berezi bat du, elementu neutro edo identitatea izenekoa, bezala denotatua, eta propietate hau betetzen duena: Edozein elementutarako,
  4. -ko edozein elementutarako existitzen da bere alderantzikoa (elementu simetrikoa), hau da, guztientzat, existitzen da elementu bat, denotatua,

Batzuetan, sinplifikatzeko, «G talde bat da» esaten da, «(, ) talde bat» dela adierazi nahi dugunean. [1]

talde bat abeldarra dela esango dugu, propietate kommutatiboa betetzen badu, hau da, elementu guztientzat

.


Taldeen teoriako notazio eta nomenklatura[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Axiomatika[aldatu | aldatu iturburu kodea]

bikoteak, multzo bat adierazten du (ez dena derrigorrez zenbakizkoa). G erabiltzen dugu taldea adierazteko eta barne-eragiketa bitarra (ez duena zertan operazio aritmetiko bat izan).

Beste letra larri batzuk ere erabil daitezke taldeak adierazteko; oro har, nahiago izaten da A letratik G arte erabiltzea, C letra izan ezik (konplexuen taldea adierazten baitu). Lehenengo aukera G izaten da.

Azpitaldeen kasuan, lehenengo aukera H eta hurrengo letrak dira, honako hauek izan ezik: K (gorputzak), N (arruntak), R (errealak), I (identitatea edo irrazionalak), Q (arrazionalak) eta Z (osoak), edo azalpenaren argitasun falta eragiten duen beste edozein.

Taldeko elementuak letra xehez adierazten dira: a, b, c, d, f, g, ...

Elementu simetrikoak txapeltxoarekin markatutako letra berarekin adierazten dira: .

Elementu neutroa e letraz adierazten da.

Barne-konposizioaren legeak irudikatzeko, ikur hauek erabiltzen dira:

Biderketa notazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Testuliburuetan ohikoena da:

Eragiketa horri biderketa deritzo. Testuinguruaren arabera, ikur hauetakoren batekin adierazten da (besteak beste):

Ohikoena "bider" () zeinua erabiltzea da. Elementu batek bere buruarekin duen biderkadura errepikatua honela adierazten da:

.

e elementu neutroa da, eta 1 bezala izendatzen da e elementuaren ordez. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa egon daitekeenean, elementu neutroaren ikurra azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, G taldeko bat izendatzeko.

Elementu simetrikoa: biderketa-multzoetan alderantzizko elementua deritzo, eta notazioa du. Bi zenbakiren zatiketa, «:» edo «/» ikurrez sinbolizatua, zenbaki baten eta bestearen arteko biderkadura da. motako notazioak zenbaki-taldeentzat erreserbatu ohi dira (oro har, abeldarrak), bestela eta nahas baitaitezke, eta desberdinak izan daitezke. Oro har, alderantzizkoarentzat hobe da notazioa baino.


Batuketa Notazioa[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Batuketa-notazioa talde abeldarrentzat soilik erabiltzen da. [5][6]

Eragiketaren ikur gisa, «+» batuketarena erabiltzen da. Elementu batek bere buruarekin duen batuketa errepikatua honela adierazten da. [7]

.

Batuketarako elementu neutroa 0-z adierazten da, e-ren ordez, eta zeroa edo elementu nulua esaten zaio. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa dagoenean, zeroaren sinboloa azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, taldearen zeroari berariaz erreferentzia egiteko. x elementu baten simetrikoa (-x) gisa adierazten da. Testuinguru horretan, x-ren aurkako elementua edo elementu negatiboa esaten zaio. Batuketa-notazioa zorrotz aplikatuz, x + (-y) idatzi behar litzateke, baina sarritan x - y erabiltzen da, eta bi zenbakiren arteko kenketa lehenengoaren eta bigarrenaren kontrakoaren batura gisa definitzen da. Edozein multzotan, (-x)-ren alderantzizkoa x da, eta, beraz, -(-x) = x behar da.

Aurrekoan ez da onartzen x positiboa denik eta -x negatiboa denik; izan ere, beste arrazoi batzuen artean, batuketa-notazioa erabiltzen den talde batzuetan ez dago elementuaren zeinuaren nozio intrintsekorik, hala nola zenbaki konplexuetan edo bektoreetan.



Taldeko axiomen ondorio nagusiak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Oinarrizko emaitzak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Froga
Demagun eta taldeko elementu neutroak direla; orduan, definizioz, = eta = Beraz, = ; eta elementu neutroa bakarra da.
Froga
Demagun elementuak bi alderantzizko dituela eta . Orduan, da. Beraz, alderantzizko elementua bakarra da.
  • -ren elementuak sinplifikagarriak dira -rekiko: [9]

Izan bitez . Baldin , orduan

Froga

Bestelako adibideak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki osoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki osoen taldea batuketarekin, denotatua, lehenago deskribatu da. Biderketarekin, ordea, zenbaki osoek ez dute talde bat osatzen. Elkartze-propietatea eta elementu neutroaren existentzia betetzen dira, baina ez da betetzen alderantzizkoaren existentzia. Adibidez: a = 2 zenbaki osoa da, baina ekuazioaren emaitza bakarra da, zenbaki arrazionala izanik. Beraz, -ren elementu guztiek ez dute alderantzizkorik.

Zenbaki arrazionalak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Zenbaki osoez osatutako zatikiei zenbaki arrazional deritze, eta haien multzoa izendatzen da.

Zenbaki arrazionalek biderketarekin, , ez dute talde bat osatzen: zerok ez du alderantzizko elementurik (ez da existitzen zeinetarako ).

Ostera, zenbaki arrazional ez-nulu guztien multzoak () biderketarekin talde abeldarra osatzen du.

Talde Ziklikoak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Taldeen teorian, talde zikliko bat elementu bakar batek sor dezakeena da; hau da, G taldean a elementu bat dago (G-ren "sorgailu" deritzona), G-ren elementu guztiak a elementuaren berreketa gisa adieraz ditzakeena. Taldearen eragiketa batuz adierazten bada, esango da G-ren elementu guztiak a elementuaren multiplo gisa adieraz daitezkeela, n osorako. Beste era batera esanda, G ziklikoa da eta a sorgailua, baldin eta G = { an | nZ }.

G-ren elementu batek sortutako talde bat berez G azpitalde bat denez, nahikoa da frogatzea a duen G azpitalde bakarra G bera dela, hau ziklikoa dela frogatzeko. Adibidez, G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 } ziklikoa da. Izan ere, G, funtsean, {0, 1, 2, 3, 4, 5} multzoaren berdina da (hau da, honen isomorfoa), 6 moduluko batuketaren azpian.

Horregatik, talde ziklikoak isomorfoak diren talde "kanonikoaren" bidez adierazten dira normalean: taldea n ordenakoa bada, eta n osoa bada, talde hori zenbaki osoen Zn taldea da {0, ..., n-1} motako azpimultzoa n moduluarekin. Infinitua bada, hau da, espero daitekeen bezala, Z. Zn notazioa, eskuarki, zenbakien teoristek ekiditen dute, ohiko notazioarekin nahas baitaiteke zenbaki p-adikoetarako. Aukera bat talde zatitzailearen notazioa erabiltzea da.

Z/nZ beste irtenbide bat eragiketa biderketa bidez denotatzea da, eta Cn = {e, a1, a2,... ,an-1} taldea irudikatzea. Baina, bi notazio horiek ez dira Zn bezain ezagunak.

Propietateak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

Sarreran esandakoagatik, edozein talde zikliko Zn edo Z-ri isomorfoa da. Nahikoa da talde ziklikoak oro har ulertzeko talde horiek aztertzea. n ordenako G talde zikliko bat emanik (non n infinito izan daiteke), eta gG izanik, hau dugu:

  • G talde abeldarra; hau da, bere eragiketa kommutatiboa da: ab = ba edozein a, b ∈ G. Hori egia da, a, bG edozein bikoterako, a + b mod n = b + a mod n baita.
  • n < ∞, orduan gn = e, zeren eta n mod n = 0.
  • n = ∞ bada, taldeak bi sorgailu ditu zehazki: 1 eta -1 Z-n, eta irudi isomorfikoak beste talde zikliko infinitu batzuetan.
  • G azpimultzoa ziklikoa da. Hain zuzen, n finitorako, G azpitalde oro isomorfo da Zm batean, non m, n-ren zatitzailea baita; eta n infinitua bada, G azpitalde oro mZ azpitalde bati dagokio (hori ere Z isomorfoa da).

Zn-ren sorgailuak n-rekin erlatiboak diren lehen osoak dira. Sorgailu horien kopurua φ(n) bidez adierazten da, non φ Eulerren funtzioa baita. Oro har, d n-ren zatitzailea bada, d ordenako Zn elementuen kopurua φ(d) da. m elementuaren ordena n / zkh(m,n) da.

Erreferentziak[aldatu | aldatu iturburu kodea]

  1. a b Lenguaje matemático, conjuntos y números (2010) Delgado Pineda,M y Muñoz Bouzo,M.J; Editorial Sanz y Torres (UNED);ISBN 978-84-92948-30-7; pág.125 y ss.
  2. Lang 2005, Apéndice 2, p. 360 orr. .
  3. Hall 1967.
  4. Herstein 1988, 40 orr. .
  5. Hatcher 2002, 23 orr. .
  6. Lang 2005, 17 orr. .
  7. Rotman 1994, 12 orr. .
  8. Hall 1967, 5 orr. .
  9. Artin 1991, 42 orr. .