Talde (matematika)

Aljebra abstraktuan, talde bat egitura aljebraiko bat da, multzo ez-huts eta barne-eragiketa bitar batez osatua, eta ondoko propietateak asetzen dituena: elkartze-propietatea (edo elkartze-legea), elementu neutroaren existentzia (identitatea ere deitzen zaio) eta alderantzizko elementua (batzuetan, elementu simetrikoa). Adibidez, zenbaki osoek batuketarekin talde bat osatzen dute.

Kontzeptuaren definizioa eta motibazioa

Lehen adibidea: zenbaki osoen batuketa-taldea

Talde ezagunenetako bat zenbaki osoen multzoa da, batuketa eragiketa gisa hartuta.

$\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$

Eragiketa aritmetiko horren propietateek taldearen kontzeptua argitzen lagunduko digute:

• Bi zenbaki osoren batuketaren emaitza (batura) zenbaki oso bat da: zenbaki batek ez badu parte hamartarrik, baturak ere ez du izango. Propietate horri itxiera aljebraikoa deritzo.

• Parentesiak alde batera utz daitezke eragiketen lehentasuna adierazteko: nahiz eta batuketa bi zenbakitarako definitu, ez dago anbiguotasunik a+b+c adierazpenean, (a+b) + c eta a + (b+c) eragiketen emaitzak berdinak baitira. Beraz, zenbaki osoen baturak egiaztatu egiten du elkartze-legea.

• Zenbaki bakar bat dago, zero, beste edozeini gehituta honen balioa aldatzen ez duena: a+0 = a = 0+a, a edozein zenbaki oso izanik. Zenbaki honi, hots, zerori, elementu neutroa deritzo.

• a zenbaki oso bakoitzarentzat, bere alderantzizkoa (-a) ere zenbaki osoa da, a + (-a) = 0 izanik. (-a) zenbakiari alderantziko elementua deritzo.

Lau propietate horiek eragiketa askotarako ere egiaztatzen dira, ez nahitaez zenbakizkoak; eta horiek guztiek kontzeptu abstraktu bat biltzen dute —taldearen kontzeptua— eta baita definitzen laguntzen ere. Definizio horrek, axiometan oinarritua, teoria abstraktu bat garatzeko aukera ematen du -taldeen teoria-.

Zenbaki osoen batuketaren kasuan, batugaien ordena ez da garrantzitsua, a eta b edozein direla ere, a+b = b+a betetzen baita. Propietate kommutatiboa da hori, baina ez da talde guztientzat egiazkotzat hartzen; beraz, taldeen teorian arreta berezia jartzen zaio eragiketen ordenari.

Definizio axiomatikoa

Izan bitez $G$ multzo ez-hutsa eta $\circledast$ eragiketa bitarra $G$-n definituta. $(G,\,\circledast )$ parea taldea dela esaten da, baldintza hauek betetzen badira:

1. $\circledast$ barne-eragiketa bitarra da, hau da, $G$ multzoko bi elementu hartzen ditu $G$-n ere hirugarren bat lortzeko. Ondorioz, $\circledast$ aplikazio bat da, honela definitua:
   $\quad \quad \circledast :G\times G\to G$
2. $\circledast$ eragiketak elkartze-propietatea betetzen du $G$-ko elementuentzat. Alegia, edozein $a,b,c\in G$ elementutarako,
   $\quad \quad (a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)$.
3. $G$-k elementu berezi bat du, elementu neutro edo identitatea izenekoa, $e$ bezala denotatua, eta propietate hau betetzen duena: Edozein $g\in G$ elementutarako,
   $\quad \quad e\circledast g=g\circledast e=g.$
4. $G$-ko edozein elementutarako existitzen da bere alderantzikoa (elementu simetrikoa), hau da, $g\in G$ guztientzat, existitzen da elementu bat, $g^{-1}$ denotatua,
   $\quad \quad g\circledast g^{-1}=g^{-1}\circledast g=e.$

Batzuetan, sinplifikatzeko, «G talde bat da» esaten da, «($G$, $\circledast$) talde bat» dela adierazi nahi dugunean.

$G$ talde bat abeldarra dela esango dugu, propietate kommutatiboa betetzen badu, hau da, $g_{1},g_{2}\in G$ elementu guztientzat

$g_{1}\circledast g_{2}=g_{2}\circledast g_{1}$.

Taldeen teoriako notazio eta nomenklatura

Axiomatika

$(G,\,\circledast )$ bikoteak, multzo bat adierazten du (ez dena derrigorrez zenbakizkoa). G erabiltzen dugu taldea adierazteko eta $\circledast$ barne-eragiketa bitarra (ez duena zertan operazio aritmetiko bat izan).

Beste letra larri batzuk ere erabil daitezke taldeak adierazteko; oro har, nahiago izaten da A letratik G arte erabiltzea, C letra izan ezik (konplexuen taldea adierazten baitu). Lehenengo aukera G izaten da.

Azpitaldeen kasuan, lehenengo aukera H eta hurrengo letrak dira, honako hauek izan ezik: K (gorputzak), N (arruntak), R (errealak), I (identitatea edo irrazionalak), Q (arrazionalak) eta Z (osoak), edo azalpenaren argitasun falta eragiten duen beste edozein.

Taldeko elementuak letra xehez adierazten dira: a, b, c, d, f, g, ...

Elementu simetrikoak txapeltxoarekin markatutako letra berarekin adierazten dira: ${\bar {a}},{\bar {b}},{\bar {c}},{\bar {d}},{\bar {f}},{\bar {g}},...$.

Elementu neutroa e letraz adierazten da.

Barne-konposizioaren legeak irudikatzeko, ikur hauek erabiltzen dira: $\odot \;,\quad \circledcirc \;,\quad \oplus \;,\quad \ominus \;,\quad \circledast \;,\quad \otimes \;,\quad \oslash \;.$

Biderketa notazioa

Testuliburuetan ohikoena da:

Eragiketa horri biderketa deritzo. Testuinguruaren arabera, ikur hauetakoren batekin adierazten da (besteak beste):

$\cdot \;,\quad \bullet \;,\quad \ast \;,\quad \star \;,\quad \odot \;,\quad \times \;,\quad \otimes$

Ohikoena "bider" ($\cdot$) zeinua erabiltzea da. Elementu batek bere buruarekin duen biderkadura errepikatua honela adierazten da:

$\quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{aldiz}}}$

$a^{n}=\overbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a}$.

e elementu neutroa da, eta 1 bezala izendatzen da e elementuaren ordez. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa egon daitekeenean, elementu neutroaren ikurra azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, G taldeko bat izendatzeko.

Elementu simetrikoa: biderketa-multzoetan alderantzizko elementua deritzo, eta $x^{-1}$ notazioa du. Bi zenbakiren zatiketa, «:» edo «/» ikurrez sinbolizatua, zenbaki baten eta bestearen arteko biderkadura da. ${\frac {a}{b}}$ motako notazioak zenbaki-taldeentzat erreserbatu ohi dira (oro har, abeldarrak), bestela $a^{-1}\cdot b$ eta $b\cdot a^{-1}$ nahas baitaitezke, eta desberdinak izan daitezke. Oro har, alderantzizkoarentzat hobe da $a^{-1}$ notazioa ${\frac {1}{a}}$ baino.

Batuketa Notazioa

Batuketa-notazioa talde abeldarrentzat soilik erabiltzen da.

Eragiketaren ikur gisa, «+» batuketarena erabiltzen da. Elementu batek bere buruarekin duen batuketa errepikatua honela adierazten da.

$\quad {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ n\,\,\,{\text{aldiz}}}$

$na=\overbrace {a+a+a+...+a}$.

Batuketarako elementu neutroa 0-z adierazten da, e-ren ordez, eta zeroa edo elementu nulua esaten zaio. Bi talde edo gehiagoren arteko nahasketa dagoenean, zeroaren sinboloa azpiindize batekin adierazten da, G-n bezala, taldearen zeroari berariaz erreferentzia egiteko. x elementu baten simetrikoa (-x) gisa adierazten da. Testuinguru horretan, x-ren aurkako elementua edo elementu negatiboa esaten zaio. Batuketa-notazioa zorrotz aplikatuz, x + (-y) idatzi behar litzateke, baina sarritan x - y erabiltzen da, eta bi zenbakiren arteko kenketa lehenengoaren eta bigarrenaren kontrakoaren batura gisa definitzen da. Edozein multzotan, (-x)-ren alderantzizkoa x da, eta, beraz, -(-x) = x behar da.

Aurrekoan ez da onartzen x positiboa denik eta -x negatiboa denik; izan ere, beste arrazoi batzuen artean, batuketa-notazioa erabiltzen den talde batzuetan ez dago elementuaren zeinuaren nozio intrintsekorik, hala nola zenbaki konplexuetan edo bektoreetan.

Taldeko axiomen ondorio nagusiak

Oinarrizko emaitzak

• Elementu neutroa bakarra da.

Froga

Demagun $e_{1}$ eta $e_{2}$ taldeko elementu neutroak direla; orduan, definizioz, $e_{1}$ $\circledast$ $e_{2}$ = $e_{1}$ eta $e_{1}$ $\circledast$ $e_{2}$ = $e_{2}.$ Beraz, $e_{1}$ = $e_{2}$; eta elementu neutroa bakarra da.

• Alderantzizko elementua bakarra da.

Froga

Demagun $g$ elementuak bi alderantzizko dituela $g_{1}$ eta $g_{2}$. Orduan, $g_{2}=(g_{1}\circledast g)\circledast g_{2}=g_{1}\circledast g\circledast g_{2}=g_{1}\circledast g\circledast g_{2}=g_{1}\circledast (g\circledast g_{2})=g_{1}$ da. Beraz, alderantzizko elementua bakarra da.

• $G$-ren elementuak sinplifikagarriak dira $\circledast$ -rekiko:

Izan bitez $a,b,c\in G$. Baldin $a\circledast c=b\circledast c$, orduan $a=b$

Froga

$a\circledast c=b\circledast c\Rightarrow a\circledast c\circledast c^{-1}=b\circledast c\circledast c^{-1}\Rightarrow a\circledast e=b\circledast e\Rightarrow a=b$

Bestelako adibideak

Zenbaki osoak

Zenbaki osoen taldea batuketarekin, $(\mathbb {Z} ,\,+)$ denotatua, lehenago deskribatu da. Biderketarekin, ordea, zenbaki osoek ez dute talde bat osatzen. Elkartze-propietatea eta elementu neutroaren existentzia betetzen dira, baina ez da betetzen alderantzizkoaren existentzia. Adibidez: a = 2 zenbaki osoa da, baina $a\cdot b=1$ ekuazioaren emaitza bakarra $b=1/2$ da, $b$ zenbaki arrazionala izanik. Beraz, $\mathbb {Z}$-ren elementu guztiek ez dute alderantzizkorik.

Zenbaki arrazionalak

Zenbaki osoez osatutako zatikiei zenbaki arrazional deritze, eta haien multzoa $\mathbb {Q}$ izendatzen da.

Zenbaki arrazionalek biderketarekin, $(\mathbb {Q} ,\,\cdot )$, ez dute talde bat osatzen: zerok ez du alderantzizko elementurik (ez da existitzen $x\in \mathbb {Q}$ zeinetarako $x\cdot 0=1$).

Ostera, zenbaki arrazional ez-nulu guztien multzoak ($\mathbb {Q} \setminus \{0\}=\{q\in \mathbb {Q} :q\neq 0\}$) biderketarekin talde abeldarra osatzen du.

Talde Ziklikoak

Taldeen teorian, talde zikliko bat elementu bakar batek sor dezakeena da; hau da, G taldean a elementu bat dago (G-ren "sorgailu" deritzona), G-ren elementu guztiak a elementuaren berreketa gisa adieraz ditzakeena. Taldearen eragiketa batuz adierazten bada, esango da G-ren elementu guztiak a elementuaren multiplo gisa adieraz daitezkeela, n osorako. Beste era batera esanda, G ziklikoa da eta a sorgailua, baldin eta G = { aⁿ | n ∈ Z }.

G-ren elementu batek sortutako talde bat berez G azpitalde bat denez, nahikoa da frogatzea a duen G azpitalde bakarra G bera dela, hau ziklikoa dela frogatzeko. Adibidez, G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ } ziklikoa da. Izan ere, G, funtsean, {0, 1, 2, 3, 4, 5} multzoaren berdina da (hau da, honen isomorfoa), 6 moduluko batuketaren azpian.

Horregatik, talde ziklikoak isomorfoak diren talde "kanonikoaren" bidez adierazten dira normalean: taldea n ordenakoa bada, eta n osoa bada, talde hori zenbaki osoen Z_n taldea da {0, ..., n-1} motako azpimultzoa n moduluarekin. Infinitua bada, hau da, espero daitekeen bezala, Z. Z_n notazioa, eskuarki, zenbakien teoristek ekiditen dute, ohiko notazioarekin nahas baitaiteke zenbaki p-adikoetarako. Aukera bat talde zatitzailearen notazioa erabiltzea da.

Z/nZ beste irtenbide bat eragiketa biderketa bidez denotatzea da, eta Cn = {e, a1, a2,... ,an-1} taldea irudikatzea. Baina, bi notazio horiek ez dira Zn bezain ezagunak.

Propietateak

Sarreran esandakoagatik, edozein talde zikliko Z_n edo Z-ri isomorfoa da. Nahikoa da talde ziklikoak oro har ulertzeko talde horiek aztertzea. n ordenako G talde zikliko bat emanik (non n infinito izan daiteke), eta g ∈ G izanik, hau dugu:

• G talde abeldarra; hau da, bere eragiketa kommutatiboa da: ab = ba edozein a, b ∈ G. Hori egia da, a, b ∈ G edozein bikoterako, a + b mod n = b + a mod n baita.
• n < ∞, orduan gⁿ = e, zeren eta n mod n = 0.
• n = ∞ bada, taldeak bi sorgailu ditu zehazki: 1 eta -1 Z-n, eta irudi isomorfikoak beste talde zikliko infinitu batzuetan.
• G azpimultzoa ziklikoa da. Hain zuzen, n finitorako, G azpitalde oro isomorfo da Z_m batean, non m, n-ren zatitzailea baita; eta n infinitua bada, G azpitalde oro mZ azpitalde bati dagokio (hori ere Z isomorfoa da).

Z_n-ren sorgailuak n-rekin erlatiboak diren lehen osoak dira. Sorgailu horien kopurua φ(n) bidez adierazten da, non φ Eulerren funtzioa baita. Oro har, d n-ren zatitzailea bada, d ordenako Z_n elementuen kopurua φ(d) da. m elementuaren ordena n / zkh(m,n) da.