Talde (matematika)

Aljebra abstraktuan $(A,\circledast )$taldea da $A$multzorako $\circledast$eragiketa elkartze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen egitura aljebraikoa.

Definizioa

$A\neq \emptyset$ multzoa eta $\circledast$eragiketa (aplikazioa edo funtzioa) talde bat eratzen dute propietate hauek betetzen dituenean:

• $\circledast$eragiketa $A$-ko elementuentzako elkartze propietatea betetzen du, hau da: $\forall a,b,c\in A:(a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)$
• Existitzen da $e\in A$non $\forall a\in A:a\circledast e=a=e\circledast a$. $e$$\circledast$eragiketarekiko elementu neutroa moduan denotatuko dugu.
• $A$-ko edozein elementurako existitzen da elementu alderantzizkoa (simetrikoa), hau da: $\forall a\in A,\exists a'\in A:a\circledast a'=e=a'\circledast a$

Hiru propietate hauek betetzen dituzten multzoa eta eragiketa (edo aplikazio) taldea eratzen dute.

Propietate trukakorra betetzen duten taldeek izen berezi bat hartzen dute: Talde abeldarra (edo talde ). Talde abeldarra izateko lau propietateak bete behar dira.

• (Talde abeldarra izateko) $\circledast$Propietate trukakorra betetzen du: $\forall a,b\in A:a\circledast b=b\circledast a$

Adibideak

Hartu $A=\mathbb {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$(zenbaki osoak) eta $\circledast =+$(batuketa):

$(i)$$\forall a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)$Elkartze propietatea betetzen da.

$(ii)$Elementu neutroa existitzen da: $e=0$zeren $\forall a\in \mathbb {Z} :a+0=a$

$(iii)$Alderantziakoa existititzen da: $\forall a\in \mathbb {Z} ,\exists a'\in \mathbb {Z} :a+a'=0\rightarrow a'=-a$

Beraz $(\mathbb {Z} ,+)$taldea da, gainera talde abeldarra da ere trukatze propietatea betetzen delako.

Hartu $A=\mathbb {N} =\{1,2,3,...\}$(zenbaki arruntak) eta $\circledast =+$(batuketa):

$(i)$$\forall a,b,c\in A:(a+b)+c=a+(b+c)$

$(ii)$Batuketarekiko elementu neutroa, $0$ ez dago multzo barruan.

Batuketarekiko elementu neutroa ez denez existitzen multzo barruan, orduan $(\mathbb {N} ,+)$ez da taldea eta ez ditugu propietateak frogatzen segitu behar.

Adibide gehiago $+$ (gehiketa) eta $\cdot$(biderketarekin):

Taldeak: $(\mathbb {Z} ,+),(\mathbb {Q} ,+),(\mathbb {R} ,+),(\mathbb {R^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {R} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),+),(\mathbb {C} ,+),(\mathbb {C^{n}} ,+),(M_{n}(\mathbb {C} ),+),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),+)$

Ez-taldeak: $(\mathbb {Z} ,\cdot ),(\mathbb {Q} ,\cdot ),(\mathbb {R} ,\cdot ),(\mathbb {R^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {R} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {R} ),\cdot ),(\mathbb {C} ,\cdot ),(\mathbb {C^{n}} ,\cdot ),(M_{n}(\mathbb {C} ),\cdot ),(M_{mxn}(\mathbb {C} ),\cdot )$Zenbaki multzo gehienak ez dira biderkaketarekiko taldeak $0$-ren alderantzizkorik ez delako existitzen, hau da, $\nexists a^{-1}\in A:0\cdot a^{-1}=1$.

Propietate gehiago

$(A,\circledast )$Taldea bada hurrengo propietateak betetzen dira:

$(i)$$(a\circledast b)\circledast c=a\circledast (b\circledast c)$denez parentesiak kendu ditzakegu zentzua galdu gabe: $a\circledast b\circledast c$, orokorrean: $a_{1}\circledast a_{2}\circledast ...\circledast a_{n}$adierazpenak zentzua du.

$(ii)$Elementu neutroa bakarra da eta $e$adierazteko $0_{\circledast }$denotatuko dugu ($\circledast$eragiketarekiko elementu neutroa).

$(iii)$Elementu bakoitza alderantzizko bakarra du.

$(iv)$$A$-ren elementuak sinplifikagarriak dira $\circledast$-rekiko: $\forall a,b,c\in A:a\circledast b=a\circledast c\Rightarrow b=c$

Froga:

$(ii)$Demagun $e$eta $e'$taldeko elementu neutroak direla eragiketarekiko, orduan definizioz:

$e\circledast e'=e$eta baita $e\circledast e'=e'$

Beraz $e=e'$, elementu neutroa bakarra da.

$(iii)$Demagun $a'$eta $a'$$a$elementuaren alderantzizkoak direla, orduan definizioz:

$a\circledast a'=e$ eta baita $a\circledast a''=e$, orduan $a'\circledast a\circledast a''={\begin{cases}e\circledast a''=a''\\a'\circledast e=a'\end{cases}}$beraz $a'=a''$, elementu alderantzizkoa bakarra da.

$(iv)$$a\circledast b=a\circledast c$adierazpenaren bi aldeetan $a'$gaia gehitu eta alderantzizkoaren eta elementu neutroaren definizioak erabiliz:

$a'\circledast a\circledast b=a'\circledast a\circledast c\Rightarrow e\circledast b=e\circledast c\Rightarrow b=c$