Lankide:Josune2023/Autobalioak eta autobektoreak

Aljebra linealean, eragile lineal baten bektore propioa edo autobektorea (eigenvector ingelesez) bektore ez-nulu bat da, eta, operadoreak transformatzen duenean, bere buruaren multiplo eskalarra eratzen du, eta, beraz, ez du norabidea aldatzen. Bektoreari dagokion balio propioa, eigenvalue-a edo autobalioa, askotan $\lambda$-ren bidez adierazten dena, autobektorea eskalatzeko faktore hura da.

Geometrikoki, autobektore bat, autobalio erreal ez-zero bati dagokiona, transformaziotik luzatzen den norabidea adierazten du, eta autobalioa bektorea luzatzen den faktorea da. Autobalioa negatiboa bada, norabidea alderantzikatu egiten da.

Oro har, dimentsio anitzeko bektore-espazio batean, autobektorea ez da biratzen.

Definizio formala

T aplikazioa V espazio bektorial baten transformazio lineala bada F eremu baten gainean definituta, eta v zero ez den bektore bat bada V bektore espazioan, orduan v T-ren autobektore bat da baldin eta T(v) v-ren multiplo eskalar bat bada. Honela idatz daiteke hori:$$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$$non λ baita F eremuan eskalar bat, autobalioa, balio bereizgarria edo v-rekin lotutako erro bereizgarria.

Zuzeneko korrespondentzia dago nxn matrize karratuen eta espazio bektorial baten transformazio linealen artean, espazio bektorialaren edozein oinarri hartuta. Hala, dimentsio finituko bektore espazio batean, autobalioak eta autobektoreak definitzea baliokidea da, matrizeen hizkuntza edo transformazio linealen hizkuntza erabiliz.

V dimentsio finituko espazio bat bada, aurreko ekuazioa honela geratuko da$$A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} .$$non A baita T-aplikazioaren adierazpen matriziala, eta u baita v-ren bektore koordenatua.

Sinopsia

Autobalioak eta autobektoreak leku nabarmena hartzen dute transformazio linealen azterketan. Eigen aurrizkia alemaniar eigen hitzetik hartzen da (cognate con la palabra inglés own) 'egokia', 'karakterisitkoa', 'berekoa' hitzetarako. Gorputz zurrunen errotazio-mugimenduaren ardatz nagusiak aztertzeko erabiltzen diren jatorrian, autobalioek eta autobektoreek aplikazio-sorta zabala dute; adibidez, egonkortasun-analisian, bibrazioen analisian, orbita atomikoetan, aurpegiaren azterketan eta matrizearen diagonalizazioan.

Funtsean, T transformazio linealeko v autobektorea zero ez den bektore bat da, eta, T bektoreari aplikatzen zaionean, ez da norabidea aldatzen. T autobektoreari aplikatzean, autobektorea soilik eskalatzen da λ balio eskalarraren bidez, autobalioa deritzona. Baldintza hori honela idatz daiteke:$$T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,$$autobalioen ekuazioa edo auto-ekuazioa deitzen zaio. Oro har, λ edozein eskalar izan daiteke. Adibidez, λ negatiboa izan daiteke; kasu horretan, autobektorearen norabidea alderantzikatzen, edo zero edo konplexua izan daiteke.

Ebaketa-mapa honetan, gezi gorriak norabidea aldatzen du, baina gezi urdinak ez. Gezi urdina ebaketa-mapa horren autobektorea da, norabidea aldatzen ez duelako, eta bere luzera aldatzen ez denez, autobalioa 1 da.

2 × 2 matrize erreal eta simetrikoa, planoaren luzaketa eta zizailadura adierazten duena. Matrizearen autobektoreak(lerro gorriak) bi helbide bereziak dira, halako moldez non puntu bakoitza haien gainean irristatuko baita.

Hemen erakusten den Mona Lisa-ren irudiak adibide sinple bat erakusten du. Pinturaren puntu bakoitza bektore gisa adieraz daiteke, pinturaren erdigunetik puntu horretara. Adibide honetako transformazio linealari ebaketa-mapa deritzo. Goiko erdiko puntuak eskuinera mugitzen dira, eta beheko erdiko puntuak ezkerrera mugitzen dira, pinturaren erditik pasatzen den ardatz horizontaletik urrun dagoenaren proportzioan. Beraz, jatorrizko irudiaren puntu bakoitza seinalatzen duten bektoreak eskuinerantz edo ezkerrerantz okertzen dira, eta luzeagoak edo laburragoak bihurtzen dira transformazioan. Ardatz horizontaleko puntuak ez dira inolaz ere mugitzen eraldaketa hori aplikatzen denean. Beraz, osagai bertikalik gabe zuzenean eskuinera edo ezkerrera begira dezakeen edozein bektore eraldaketa horren autobektore bat da, mapatzeak ez baitu bere norabidea aldatzen. Gainera, autobektore horiek guztiek balio bera dute, mapatzeak ere ez baitu luzera aldatzen.

Transformazio linealek hainbat forma har ditzakete, bektore-espazio desberdinetan bektoreak mapatuz; beraz, autobektoreek ere forma asko har ditzakete.

Adibidez, transformazio linealak nxn matrize karratuaren forma har lezake, eta, kasu horretan, autobektoreak nx1 matrizeak dira. Transformazio lineala n ordeneko A matrize karratuaren bidez adierazten bada, orduan, aurrean ikusitako auto-ekuazioa matrize biderketa gisa berridatz daiteke$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,$$non v autobektorea nx1 matrize bat baita. Matrize baterako, autobalioak eta autobektoreak erabil daitezke matrizearen deskonposizioa egiteko, adibidez, diagonalizazioaren bidez.

Autobalioek eta autobektoreek lotura estua duten matematika-kontzeptu asko sortzen dituzte, eta auto aurrizkia modu liberalean aplikatzen da horiek izendatzen dituenean:

• Transformazio lineal baten autobektore guztien multzoari, bakoitza bere autobalioarekin parekatuta, eraldaketa horren autosistema deritzo.
• autobalioa berari dagozkion T-ren autobektore guztien multzoari, zero bektorearekin batera, autoespazio deritzo, edo autobalio horri lotutako T-ren espazio bereizgarria.
• T-ren autobektore-multzo bat T-ren domeinuaren oinarri bat bada, oinarri horri auto-oinarri deritzo.

Historia

Autobalioak aljebra linealaren edo matrizearen teoriaren testuinguruan sartzen dira maiz. Historikoki, ordea, forma koadratikoen eta ekuazio diferentzialen azterketan sortu ziren.

XVIII. mendean, Leonhard Euler-rek aztertu zuen gorputz zurrun baten errotazio-mugimendua eta ardatz nagusien garrantzia aurkitu zuen. Joseph Louis Lagrange konturatu zen ardatz nagusiak inertzia-matrizearen autobektoreak zirela.

XIX. mendearen hasieran, Augustin-Louis Cauchyk ikusi zuen nola erabil zitekeen bere lana lauki-gainazalak sailkatzeko, eta nola orokortu nahi zituen. Cauchy arrazne caractéristique ere sortu zen (sustrai bereizgarria), eta, beraz, orain balio propioa(eigenvalue) du izena; termino hori ekuazio karakteristikoan bizi da. :

Geroago, Joseph Fourier-ek Lagrangeren eta Pierre Simon Laplace-ren lana erabili zuen aldagaiak banatzearen bidezko bero-ekuazioa ebazteko 1822ko Théorie analytique de la chaleur liburu ezagunean. [12] François Sturmek are gehiago garatu zituen Fourier-en ideiak, eta Cauchyri jakinarazi zizkion; hark bere ideiekin konbinatu zituen, eta benetako matrize simetrikoek autobalioak dituztela ikusi zuen. [11] Hori Charles Hermite-k zabaldu zuen 1855ean, eta orain matrize hermitiarrak deitzen zaie.

Aldi berean, gutxi gorabehera, Francesco Brioschik frogatu zuen matrize ortogonalen eigenbalueak zirkulu unitarioan daudela,[11], eta Alfred Clebschek aurkitu zuen inklinazioaren matrize asimetrikoei dagokien emaitza. [13] Azkenik, Karl Weierstrass-ek Laplacek hasitako egonkortasunaren teoriaren alderdi garrantzitsu bat argitu zuen, matrize akastunek ezegonkortasuna eragin dezaketela konturatu baitzen.

Bitartean, Joseph Liouville-k eigenvalue arazoak aztertu zituen, Sturm-en antzekoak; orain, Sturm–Liouville-ren teoria da bere lanetik sortu zen diziplina. [14] Schwarzek Laplaceren ekuazio-ko lehen eigenvalue aztertu zuen XIX. mendearen amaieran, eremu orokorretan; Poincaré-k, berriz, Poisson-en ekuazioa aztertu zuen urte batzuk geroago.

XX. mendearen hasieran, operadore integralen autobalioak aztertu zituen David Hilbert-ek, operadoreak matrize infinitu gisa ikustean. Alemaniako eigen hitza, "norberarena" esan nahi duena, erabili zuen lehena izan zen eigenvalues eta eigenvektoreak denotatzeko 1904an,[modest-alpha 3], nahiz eta Herman von Helmholtz-en erabilera bati jarraitu ahal izan zion. Denbora batez, ingelesezko termino estandarra "berezko balioa" izan zen, baina "eigenvalue" terminorik bereizgarriena gaur egungo estandarra da.

Eigenvalues eta eigenvektoreak konputatzeko lehen zenbakizko algoritmoa 1929an agertu zen, Richard von Mises-ek potentzia-metodoa argitaratu zuenean. Gaur egungo metodo ezagunenetako bat, QR algoritmoa, John G. F. Francis[18] eta Vera Kublanovskaya[19] autoreek proposatu zuten 1961ean. [20][21]

Autobalioak eta matrize-autobektoreak

Eigenbalueak eta eigenvektoreak askotan sartzen zaizkie ikasleei, matrizeetan oinarritutako aljebra linealeko ikastaroen testuinguruan. Gainera, bektore-espazio finitu baten gaineko transformazio linealak matrizeen bidez adieraz daitezke,[2][3], eta hori oso ohikoa da zenbakizko aplikazioetan eta aplikazio konputazionaletan.

A matrizeak x bektorea luzatuz jarduten du, haren norabidea aldatu gabe; beraz, x A-ren eigenvektore bat da.

Har itzazu n eskalarren zerrenda gisa eratzen diren n-dimentsioko bektoreak, hala nola bektore tridimentsionalak.$$\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.$$Esaten da bektore horiek elkarrekiko multiplo eskalarrak direla, edo paraleloak edo kolinealak, baldin eta λ eskala bat badago:$$\mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .$$Kasu honetan $\lambda =-{\frac {1}{20}}$

Har dezagun, orain, n dimentsioko bektoreen transformazio lineal bat

nxn dimentsioko A matrize batek definitutakoa,$$A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,$$edo$${\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n}\end{bmatrix}}$$non, ilara bakoitzeko,$$w_{i}=A_{i1}v_{1}+A_{i2}v_{2}+\cdots +A_{in}v_{n}=\sum _{j=1}^{n}A_{ij}v_{j}.$$Gertatzen bada v eta w multiplo eskalarrak direla, hau da:

$A\mathbf {v} =\mathbf {w} =\lambda \mathbf {v} ,$

(1)

orduan, v transformazio linealeko autobektore bat da, eta λ eskala-faktorea autobalioa da, autobektore horri dagokiona. (1) ekuazioa A matrizearen autobalio ekuazioa da.

(1) ekuazioa honela adieraz daiteke:

$\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$

(2)

$\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} ,$

(Txantiloi:EquationRef)

non I baita nxn identitate-matrizea, eta 0 baita zero bektorea.

Autobalioak eta polinomio bereizgarria

Artikulu nagusia: «Characteristic polynomial»

(2) ekuazioak badu zero ez den $\mathbf {v}$ soluzioa baldin eta (A–λI) matrizearen determinantea zero bada. Beraz, ekuazio hau betetzen duten λ balioak dira A-ren autobalioak:

$\displaystyle |A-\lambda I|=0$

(3)

$|A-\lambda I|=0$

(Txantiloi:EquationRef)

Leibniz-en formula determinatzaileetarako erabiliz, (3) ekuazioaren eskuineko aldea λ aldagaiaren funtzio polinomiala da, eta polinomio horren maila n da, A matrizearen ordena. Haren koefizienteak A-ren sarreren araberakoak dira, n gradu-terminoa beti (–1)nλn denean izan ezik. Polinomio horri Aren polinomio bereizgarria deitzen zaio. (3) ekuazioari A-ren ekuazio karakteristikoa edo ekuazio sekularra deritzo.

Aljebraren oinarrizko teoremak adierazten du nxn A matrize baten polinomio bereizgarria, n graduaren polinomio bat izanik, n termino linealen biderkaduran faktoriza daitekeela,

$|A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),$

(Txantiloi:EquationRef)

$|A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda )\cdots (\lambda _{n}-\lambda ),$

(Txantiloi:EquationRef)

$\lambda _{j}$ bakoitza erreala izan daiteke, baina, oro har, zenbaki konplexua da. Polinomioaren erroak zenbatzeko $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{n}$ zenbakiak erabiltzen dira baina litekeena da balio ezberdinak ez izatea, eta A-ren autobalioak dira.

Adibide labur gisa, aurrerago adibideen atalean zehatzago deskribatzen dena, har ezazu ondoko matrizea$$A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$$ $(A-\lambda I)$ matrizearen determinatzailea hartuta, A matrizearen polinomio bereizgarria kalkulatuko da:$$|A-\lambda I|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$$Polinomio bereizgarriaren balioa zero denean, λ=1 eta λ=3 erroak ditu, A-ren bi autobalioak. Autobalio bakoitzari dagozkion autobektoreak aurkitzeko ondoko ekuazioa ebatzi $\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$

eta v-ren osagaiak lortu. Adibide honetan, honako hauen multiplo eskalar ez-nuluak dira autobektoreak:$$\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$$A matrizeko sarrerak zenbaki errealak badira, polinomio karakteristikoaren koefizienteak ere zenbaki errealak izango dira, baina autobalioek irudimenezko zati ez-nuluak izan ditzakete. Beraz, autobektoren sarrerek ere irudimenezko zati ez-nuluak izan ditzakete. Era berean, autobalioak zenbaki irrazionalak izan daitezke, baita A sarrera guztiak zenbaki arrazionalak badira edo denak osoak badira ere. Hala ere, A-ren sarrerak zenbaki aljebraiko guztiak badira, arrazionalak barne, autobalioak zenbaki aljebrako konplexuak dira.

Benetako koefizienteak dituen polinomio erreal baten erro ez-errealak multzokatu egin daitezke konjokatu konplexuen bikoteetan, hau da, bikote bakoitzeko bi kideekin, zeinuan eta parte erreal berean soilik bereizten diren irudizko zatiak dituztela. Gradua bitxia bada, erdiko balioaren teoremagatik, gutxienez sustraietako bat erreala da. Beraz, ordena bakoitia duen edozein matrize errealek autobalio erreal bat du gutxienez, eta ordena bikoitia duen matrize erreal batek, berriz, baliteke autobalio errealik ez izatea. Autobalio konplexu horiei lotutako autobektoreak ere konplexuak dira, eta bikote konjugatu konplexuetan ere agertzen dira.

Aniztasun aljebraikoa

$\lambda _{i}$ n ordeneko A matrizeko autobalio bat izanik, $\mu _{A}(\lambda _{i})$ aniztasun aljebraikoa autobalio polinomio karakteristikoaren erro gisa duen aniztasuna da, hau da, k osoko handiena, non $(\lambda -\lambda _{i})^{k}$polinomio hori uniformeki zatitzen baita. [9][25][26

Demagun A matrizeak n eta d·n dimentsio autobalio desberdinak dituela. (4) ekuazioak Aren polinomio bereizgarria zehazten du termino linealak errepikakor izan daitezkeen zenbait terminorekin biderkatzean; polinomio bereizgarria, berriz, autobalio bati dagozkion d terminoen biderkadura gisa idatz daiteke, eta biderkadura hori aniztasun aljebraikoaren potentziarekiko desberdina eta handia da.$$|A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$$d = n bada, eskuineko aldea n termino linealen biderkadura da, eta hori (4) ekuazioaren berdina da. Autobalio bakoitzaren aniztasun aljebraikoaren tamaina n dimentsioarekin lotuta dago, honela:$${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{aligned}}$$μA(λi) = 1 bada, esan ohi da λi autobalio sinplea dela. μA(λi) hurrengo atalean definitutako λi-ren aniztasun geometrikoaren berdina bada, γA(λi) esaten da λi autobalio semisimple dela.

Autoespazioak, aniztasun geometrikoa eta matrizeen autobaseak

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Ondoko taulan, planoko eredu-eraldaketa batzuk ageri dira, 2 × 2 matrize, autobalio eta eigenvektoreekin batera.

Artikulu nagusia: «Basic reproduction number»

Artikulu nagusia: «Basic reproduction number»

Aplikazioak

Eraldaketa geometrikoen eigenbalioak

Eraldaketa geometrikoen eigenvaluesa

	Eskala	Eskala desberdina	Errotazioa	Ebakitzaile horizontala	Errotazio hiperbolikoa
Irudia
Matrizea	${\begin{bmatrix}k&0\\0&k\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}k_{1}&0\\0&k_{2}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi \\\sinh \varphi &\cosh \varphi \end{bmatrix}}$
Ezaugarriak	$\ (\lambda -k)^{2}$	$(\lambda -k_{1})(\lambda -k_{2})$	$\lambda ^{2}-2\cos(\theta )\lambda +1$	$\ (\lambda -1)^{2}$	$\lambda ^{2}-2\cosh(\varphi )\lambda +1$
Eigenbalueak,$\lambda _{i}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=k$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=k_{1}\\\lambda _{2}&=k_{2}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{i\theta }\\&=\cos \theta +i\sin \theta \\\lambda _{2}&=e^{-i\theta }\\&=\cos \theta -i\sin \theta \end{aligned}}$	$\lambda _{1}=\lambda _{2}=1$	${\begin{aligned}\lambda _{1}&=e^{\varphi }\\&=\cosh \varphi +\sinh \varphi \\\lambda _{2}&=e^{-\varphi }\\&=\cosh \varphi -\sinh \varphi \end{aligned}}$
Multo algebraikoa, $\mu _{i}=\mu (\lambda _{i})$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$	$\mu _{1}=2$	${\begin{aligned}\mu _{1}&=1\\\mu _{2}&=1\end{aligned}}$
Isun geometrikoa, $\gamma _{i}=\gamma (\lambda _{i})$	$\gamma _{1}=2$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$	$\gamma _{1}=1$	${\begin{aligned}\gamma _{1}&=1\\\gamma _{2}&=1\end{aligned}}$
Eigenvektoreak	Bektore ez-nulu guztiak	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\-i\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\+i\end{bmatrix}}\end{aligned}}$	$\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$	${\begin{aligned}\mathbf {u} _{1}&={\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}\\\mathbf {u} _{2}&={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Errotazio baten ekuazio karakteristikoa ekuazio koadratiko bat da, diskriminatzailea duena, eta zenbaki negatiboa da θ ez denean 180º-ren multiplo osoa.$D=-4(\sin \theta )^{2}$ Beraz, kasu berezi horietan izan ezik, bi eigenbalueak zenbaki konplexuak dira, ; eta eigenvektore guztiek sarrera ez-errealak dituzte.$\cos \theta \pm i\sin \theta$ Izan ere, kasu berezi horietan izan ezik, biraketa batek zero ez den bektore bakoitzaren norabidea aldatzen du planoan.

Lauki bat zona bereko laukizuzen batera daraman transformazio linealak (mapa zukutua) autobalio elkarkariak ditu.

Osagai nagusien azterketa(PCA)

Aldagai anitzeko banaketa gaussiarraren ACP, direkzioan 3 inguruko desbiderapen estandarra eta norabide ortogonalean 1 ingurukoa duena.$(1,3)$$(0.878,0.478)$ Erakutsitako bektoreak kobariantza-matrizearen (simetrikoa, errepikatua-erdifinitua) bektore unitarioak dira, eta dagokion eigenvaludearen erro karratutik eskalatzen dira. Dimentsio bakarreko kasuan bezala, erro karratua hartzen da desbiderapen estandarra bariantza baino errazago ikusten delako.

Artikulu nagusia: «Basic reproduction number»

Artikulu nagusia: «Basic reproduction number»

Ikus gainera

• Antigenoaren teoria
• Eigenoperator
• Eigenplanoa
• Eigenuneak
• Eigenvalue algoritmoa
• Eigenstateei buruzko sarrera
• Jordania forma arruntean
• Zenbakizko analisiko programen zerrenda
• Problema ez-lineala
• Autobalio arrunta
• Autobalio koadratikoaren problema
• Balio berezia
• Matrize baten espektroa

Iturriak

 

• .
• ISBN 0-471-84819-0..
• ISBN 0-395-14017-X..
• .
•  doi:10.1103/physrevlett.125.165901. ISSN 0031-9007. PMID 33124845. Bibcode: 2020PhRvL.125p5901B..
• .
• .
• ISBN 0-534-93219-3..
•  doi:10.1090/bull/1722..
•  doi:10.1007/BF00178324. PMID 2117040..
• ISBN 0-201-01984-1..
•  doi:10.1093/comjnl/4.3.265..
•  doi:10.1093/comjnl/4.4.332..
• ISBN 0-13-537102-3..
• ISBN 978-0-8018-5414-9..
•  doi:10.1002/1096-9837(200012)25:13<1473::AID-ESP158>3.0.CO;2-C. Bibcode: 2000ESPL...25.1473G..
•  doi:10.1016/0315-0860(75)90032-4..
• .
• .
• ISBN 978-1114541016..
• ISBN 0-19-501496-0..
•  doi:10.1016/S0098-3004(97)00122-2. Bibcode: 1998CG.....24..243K..
• ISBN 0-486-41147-8. Bibcode: 1968mhse.book.....K..
•  doi:10.1016/0041-5553(63)90168-X..
• ISBN 978-007139880-0..
• ISBN 978-0-89871-454-8..
• .
• ISBN 978-0521880688..
• ISBN 978-0-387-72828-5..
•  doi:10.1103/RevModPhys.89.015005. Bibcode: 2017RvMP...89a5005R..
• ISBN 0-486-63518-X..
•  doi:10.1086/626490. Bibcode: 1958JG.....66..114S..
• .
• Txantiloi:Cite arXiv
•  doi:10.1364/OL.32.002309. ISSN 1539-4794. PMID 17700768. Bibcode: 2007OptL...32.2309V..
• .
• .
• Txantiloi:Cite magazine
• .

[[Kategoria:Fisika matematikoa]] [[Kategoria:Aljebra lineala]] [[Kategoria:Aljebra abstraktua]] [[Kategoria:Testuan alemana duten artikuluak]] [[Kategoria:Gainbegiratu gabeko itzulpenak]]