Lankide:Lazkaotxiki/Proba orria

Biderketa

Matematikan, biderketa da multzo bateko elementu-bikote bakoitzari multzoko beste elementu bat esleitzen dion eragiketa aritmetikoa, $\times$ ikurrez adierazi ohi dena. Biderketak hartzen dituen elementuak biderkagaiak edo faktoreak direla esaten da. Biderketaren emaitzari biderkadura deritzo.

Biderketa oinarrizkoena zenbaki arrunten artekoa da, eta batuketa errepikatutzat har daiteke; hau da, zenbaki bat beste zenbaki batek adierazitako adina aldiz bere buruarekin batzean datza.$$a\times b=\underbrace {b\ +...+\ b} _{a\ {\text{aldiz}}}$$

Biderketa trukakorra da: 12 elementu 4 elementuko 3 lerrotan edo 3 elementuko 4 lerrotan bil daitezke, hau da, 3 × 4 = 12 = 4 × 3.

Adibidez, 3 eta 4 zenbakien arteko biderketa $3\times 4$ idazten da, eta “3 bider 4” irakurtzen. Emaitza hiru aldiz 4 zenbakia batuz lortzen da:$$3\times 4=4+4+4=12$$Hemen, 3 eta 4 biderkagaiak dira, eta 12 biderkadura da. Zenbaki arrunten arteko biderketen propietate nagusietako bat trukakortasuna da. Hau da, aurreko adibidean, 4 aldiz 3 zenbakia batuta emaitza bera lortuko dugu:$$4\times 3=3+3+3+3=12$$

Oinarrizko definizio hori orokortuz, zenbaki osoen (zenbaki negatiboak barne), zenbaki arrazionalen (zatikiak) eta zenbaki errealen biderketa definitzen da.

$4\times 5=20$. Lau eta bost luzerako aldeak dituen laukizuzen handia 20 karratuk osatzen dute.

Zenbakien biderkadura uler daiteke luzera horiek dituzten aldeek sortutako laukizuzen baten azalera moduan ere.

Biderketaren alderantzizko eragiketa zatiketa da. Adibidez, 4 bider 3 eginda 12 denez, 12 zati 3 eginez gero, 4 lortzen da. Bestela esanda, 3rekin biderkatzeak eta ondoren 3rekin zatitzeak jatorrizko zenbakia ematen du. 0 ez den zenbaki bat bere buruaz zatitzean, emaitza 1 da.

Zenbait kontzeptu matematikok biderketaren oinarrizko ideia orokortzen dute beste egitura batzuetan erabili ahal izateko. Esaterako, segideen, bektoreen, zenbaki konplexuen edo matrizeen arteko biderketa modu honetan definitzen dira.

Notazioa eta terminologia

Aritmetikan, biderketa gurutze baten ikurraren bidez adieraz daiteke:

$4\times 3=12$

$2\times 3\times 5=6\times 5=30$

$2\times 2\times 2\times 2\times 2=32$

Beste notazio batzuk ere badaude biderketa adierazteko:

• $\times$ biderketa-ikurra eta $x$ aldagai komuna elkar ez nahasteko, biderketa puntu ikurraren bidez ere adierazten da:$$5\cdot 2=10$$((Hamartarrak adierazteko koma erabiltzen duten herrialdeetan, puntua erabili ohi da biderketa adierazteko.))
• Aljebran, biderketa batean zenbait aldagaik parte hartzen badute, aldagaiak elkarren ondoan jarriz adierazten da biderketa (adib., $xy$ idazten da $x$ $y$ aldiz).
• Bektoreen arteko biderketan, bereizketa bat dago gurutzearen eta puntu-ikurraren artean. Gurutzearen ikurrak, orokorrean, biderketa bektoriala adierazten du, eta, horren ondorioz, bektore bat lortzen da emaitza gisa; puntuak, berriz, biderketa eskalarra adierazten du, eta, ondorioz, eskalar bat lortzen da.
• Programazio informatikoan, izartxoak (5*2) notazio arruntena izaten jarraitzen du. Izan ere, ordenagailu gehienak karaktere-multzo txikietara mugatzen ziren historikoki (ASCII eta EBCDIC, esaterako), eta ez zuten biderketa-zeinurik (adibidez, [beharrezko zitazioa]). Erabilera hori FORTRAN programazio-lengoaian sortu zen.

Definizioak

Zenbaki arrunten biderkadura

n eta m bi zenbaki arrunten biderketa honela adierazten da:$$\sum _{k=1}^{n}m=mn$$Hori «m bere buruari batu n aldiz» esamoldea sinbolizatzeko modu bat besterik ez da. Ulermena erraztu dezake aurreko adierazpena zabaltzean:$$mn=\underbrace {m\ +....+\ m} _{n\ {\text{aldiz}}}$$

Zenbaki osoen biderkadura

Zenbaki oso bat zero, positiboa edo negatiboa izan daiteke. Zeroren eta zenbaki oso baten arteko biderkadura zero da. Bi zenbaki oso ez-nuluren biderkaduraren balio absolutua haien balio absolutuen biderkadurak zehazten du. Biderkadura horren zeinua, berriz, honako arau honek adierazten du:

$\times$	$-$	$+$
$-$	$+$	$-$
$+$	$-$	$+$

(Arau hau batuketaren gaineko biderketaren banaketa propietatearen ondorioa da.)

Zatikien biderkadura

Bi zatiki biderkatu daitezke zenbakitzaileak eta izendatzaileak biderkatuz: $${\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}$$

Zenbaki konplexuen biderkadura

Bi zenbaki konplexu honela biderka daitezke:$$(a+b\ i)\cdot (c+d\ i)=a\cdot c+a\cdot d\ i+b\ i\cdot c+b\cdot d\cdot i^{2}=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)i$$Biderkadura honen esanahi geometrikoak zera islatzen du: magnitudeak biderkatu eta argumentuak gehitzea.

Erroketen biderkadura

Biderkadura baten erroa biderkagaien erroen biderkadura da.

$${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$$

Kalkulua

Biderketa-taula

Biderketa-algoritmoek 0tik 10erako zenbakien arteko biderketak buruz jakitea eskatzen dute gehienetan. Oinarrizko biderketa horiek ikasteko erabiltzen da biderketa-taula:

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

8 × 7 = 56, 5 hatzamar atera (5 hamarreko) eta atera gabeko hatzamarrak bidertuz 2 × 3 = 6 (6 bateko) lortzen delako.

Biderketa-taulako emaitzak buruz jakitea ez da guztiz erraza, batez ere biderkatu beharreko zenbakiak ${\textstyle [6,9]}$ tartean badaude. Halere, eskuko hatzak erabiliz azkar egin daiteke kalkulua.

Adibidez, $8\times 7$ egin behar bada, ezkerreko eskutik 5etik hasita 8 arteko atzamarrak ateratzen dira: 3 guztira. Eskuineko eskutik 5etik hasita 7 arteko atzamarrak ateratzen dira: 2 guztira. Jarraian, ateratako atzamar kopuruak batu ${\textstyle (3+2=5)}$ eta atera gabekoak biderkatu egiten dira ${\textstyle (2\times 3=6)}$. Amaitzeko, bi emaitzak batera jarriz biderkadura lortzen da ${\textstyle (8\times 7=56)}$.

Kalkulu-metodo honen azalpena biderketaren banatze propietatea erabiliz egin daiteke. $a$ eta $b$ bi eskuetan ateratako hatzak eta $x$ eta $y$ atera gabeko hatzak badira, hurrenez hurren:$$(10-x)(10-y)=10(10-x)-(10-x)y=10(10-x)-10y+xy$$$$=10(10-x-y)+xy=10(a+b)+xy$$Halaber, ${\textstyle [11,15]}$ bitarteko zenbakiak biderkatzeko antzeko metodo bat erabil daiteke, baina oraingoan, emaitza lortzeko, ateratako hatzak bakarrik erabiltzen dira. Ateratako hatz kopuruen baturak 100 zenbakiari gehitu beharreko hamarrekoen kopurua adierazten du. Ateratako hatz kopuruen biderketak, berriz, gehitu beharreko unitateen kopurua adierazten du. Horrela $11\times 12=132$ egiteko, 1 eta 2 hatz ateratzen da hurrenez hurren. 100era gehitu beharreko hamarkada kopurua ${\textstyle 1+2=3}$ da. Gehitu beharreko unitateak ${\textstyle 1\times 2=2}$ dira. Horrela:$$11\times 12=100+(1+2)\times 10+1\times 2=132.$$

Biderketa-metodoak

Edozein bi zenbaki eskuz biderkatzeko, bi biderkagaiak bata bestearen azpian jartzen dira, unitateen, hamarrekoen... zutabeak parean jarriz. Adibidez, ${\textstyle 4103\times 254}$ egin behar bada,

$${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline \end{array}}$$

Biderketa-taula erabiliz, azpiko biderkagaiaren azken zifra (4) hartu eta lehenengo biderkagaiaren zifra guztiekin biderkatzen da, hamarrekoak hurrengo zutabera eramanez. Adibidez, azken bi zifrak biderkatuz, ${\textstyle 4\times 3=12}$ lortzen da, eta hamarreko bat eraman behar da batugai moduan hurrengo eragiketarako: ${\textstyle [(4\times 0)+1=1]}$, 1 eramana izanik. Eta horrela lehenengo biderkagaiko zifra guztiekin bukatu arte ${\textstyle (4103\times 4=16412)}$:$${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\\end{array}}$$Bigarren biderkagaiko hurrengo zifrarekin (5) berdina egiten da, emaitzak aurreko emaitzen azpian jarriz, baina aldi berean emaitzak zutabe bat ezker aldera eramanez ${\textstyle (4103\times 5=20515)}$:$${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\&2&0&5&1&5&\\\end{array}}$$

Eta berdina hurrengo zifrarekin ${\textstyle (4103\times 2=8206)}$:$${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\&2&0&5&1&5&\\&8&2&0&6&&\\\end{array}}$$Azkenean, hiru lerroen batuketa egiten da, hutsuneak 0 moduan hartuz:$${\begin{array}{rrrrrrr}&&&4&1&0&3\\\times &&&&2&5&4\\\hline &&1&6&4&1&2\\&2&0&5&1&5&\\&8&2&0&6&&\\\hline 1&0&4&2&1&6&2\\\end{array}}$$Eta, beraz, ${\textstyle 4103\times 254=1042162}$.

Konputazioa

Arkatza eta papera erabiliz, zenbakiak biderkatzeko ohiko metodo askok goiko atalean agertzen den biderketa-taula behar dute. Beheko adibidean, biderketa luzea (algoritmo estandarra, eskola-mailako biderketa) ilustratzen da:

      23958233
×         5830
———————————————
      00000000 ( =      23.958.233 ×     0)
     71874699  ( =      23.958.233 ×    30)
   191665864   ( =      23.958.233 ×   800)
+ 119791165    ( =      23.958.233 × 5.000)
———————————————
  139676498390 ( = 139.676.498.390 )

Hainbat herrialdetan, Alemanian adibidez, goiko biderketa antzera irudikatzen da, baina jatorrizko produktua horizontalean mantenduz eta kalkulua biderkatzailearen lehen zifratik hasita: ${\textstyle 23958233\cdot 5830}$.

———————————————
   119791165
    191665864
      71874699
       00000000 
———————————————
   139676498390

Bestalde, zenbakiak hamartar pare bat baino gehiago baditu, eskuz biderkatzea aspergarria izan daiteke eta normalean akatsak egiten dira. Logaritmo arruntak halako kalkuluak errazteko asmatu ziren, logaritmoak gehitzea biderketaren baliokidea baita. Kalkulatzeko erregelak zenbakiak azkar biderkatzea ahalbidetu zuen hiru digituko zehaztasun maila arte.

Azkenik, XX. mendearen hasieran, kalkulagailu mekanikoek, Marchant kalkulagailuek adibidez, 10 zifrako zenbakien biderketa automatizatu zuten. Ordenagailu eta kalkulagailu elektroniko modernoek eskuz biderkatzeko beharra asko murriztu dute.

Algoritmo historikoak

Biderkatzeko metodoak antzinako egiptoar, greziar, indiar eta txinatar zibilizazioen idatzietan dokumentatuta daude.

Ishango hezurrak, Kristo aurreko 18.000 eta 20.000 urte ingurukoa, biderketaren ezagutza iradoki dezake, baina hori espekulatiboa da.

Egiptoarrak

Zenbaki osoak eta zatikiak biderkatzeko egiptoarren metodoa, Rhind Matematika Papiroan dokumentatua dagoena, batuketa eta bikoizketa kontsekutiboen bitartez egiten zen. Adibidez, 13ren eta 21en produktua aurkitzeko, aurrena 21 hiru aldiz bikoiztu behar zen: $2\times 21=42,\ 4\times 21=2\times 42=84,\ 8\times 21=2\times 84=168$ lortuz. Produktu osoa bikoizketaren sekuentzian aurkitutako termino egokiak gehituz aurki liteke:$$13\times 21=(1+4+8)\times 21=(1\times 21)+(4\times 21)+(8\times 21)=21+84+168=273.$$

Babiloniarrak

Babiloniarrek posizio-zenbaki sistema sexagesimala erabiltzen zuten, egungo sistema hamartarraren antzekoa. Beraz, babiloniarren biderketa eta sistema hamartar modernoaren biderketa oso antzekoak dira. 60 × 60 biderkadura ezberdin gogoratzea zaila zenez, Babiloniako matematikariek biderketa-taulak erabili zituzten. Taula horiek n zenbaki jakin baten lehen hogei multiploen (n, 2n, 3n, ..., 20n) eta 10n-ren multiplo batzuen (30n, 40n, 50n) zerrendaz osatuta zeuden. Ondoren, edozein produktu sexagesimal kalkulatzeko, demagun 53n, taulatik kalkulatutako 50n eta 3n batu behar dira.

Txinatarrak

K.a. 300 baino lehenagokoa den Zhoubi Suanjing testu matematikoan, eta Arte Matematikoari buruzko Bederatzi Kapituluetan, biderketen kalkulua hitzen bidez idatzi zen. Txinatarrek biderketa-taula hamartar bat erabiltzen zuten jada Erresuma Borrokalarien garaiaren amaieran (K.a. 221. urtean).

Metodo modernoak

Zenbaki-sistema hindu-arabiarrean oinarritutako biderketa metodo modernoa Brahmagupta indiar matematikariak (K.o. 590-670) deskribatu zuen lehen aldiz. Brahmaguptak batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa arauak eman zituen.

Izan ere, Henry Burchard Finek (1858-1928), orduan Princeton Unibertsitateko matematika irakasleak, honako hau idatzi zuen:

«

Indiarrak, sistema hamartarraren asmatzaileak ez ezik, sistema horretako oinarrizko kontakizunean parte hartzen duten prozesu gehienen asmatzaileak dira. Batuketak eta kenketak, gaur egungoaren modu antzekoan egiten zituzten; biderketa, modu askotan egin zuten, gurea haien artean; baina zatiketa era astunean egiten zuten.

»

Algoritmo aritmetiko hamartar horiek, IX. mendearen hasieran Al Khwarizmi-k sartu zituen herrialde arabiarretan eta, mendebaldeko munduan, Fibonaccik zabaldu zituen, XIII. mendean.

Lauki-sare metodoa

Lauki-sare metodoaren biderketa, edo kutxa metodoa, Ingalaterrako eta Galeseko lehen hezkuntzako eskoletan eta Estatu Batuetako zenbait eremutan erabiltzen da, zifra anitzeko biderketak nola funtzionatzen duen ulertzen laguntzeko. 34 zenbakia 13z biderkatzeko, adibidez, bi biderkagaiak deskonposatu (30+4, 10+3) eta ateratzen diren zenbaki guztiak lauki-sare batean jarriko lirateke

×	30	4
5	150	20
10	300	40
3	90	12

Orduan, biderketa osoaren emaitza, emaitzen arteko  batura da.

Algoritmo informatikoak

n zifrako bi zenbaki biderkatzeko, metodo klasikoak n² biderketa egiten ditu. Zenbaki handiak bidertzerakoan, konputazio-denbora nabarmen murrizteko, biderketa-algoritmoak diseinatu dira. Fourier-en transformatu diskretuan oinarritutako metodoek konplexutasun konputazionala O(n log n log log n)-ra murrizten dute.

2016an, log n faktorea askoz motelago handitzen den funtzio batekin ordezkatu zen, nahiz eta oraindik konstantea ez den.

2019ko martxoan, David Harvey-k eta Joris van der Hoeven-ek zenbaki osoen arteko biderketa-algoritmo bat azaltzen zuen lan bat aurkeztu zuten, hurrengo konplexutasun konputazionalarekin: O(n logn). Algoritmo hori, Fourier transformatu azkarrean oinarritua, asintotikoki optimoa dela uste da. Hala ere, algoritmoa praktikan ez da oso erabilgarria, zenbaki oso handiak biderkatzean soilik bihurtzen baita besteak baino azkarragoa (2^{1729^12} bit baino gehiago izatean baino ez).

Biderketa-neurriak

Magnitude bereko kantitateak soilik gehitu edo kendu daitezke; aldiz,magnitude desberdinetako kantitateak ezin dira gehitu ez kendu. Hala ere, magnitude desberdinetako kantitateak arazorik gabe biderkatu edo zatitu daitezke. Esate baterako, hiruna puxtarri dituzten lau poltsa daude: [4 poltsa] × [3 puxtarri poltsa bakoitzeko] = 12 puxtarri.

Bi neurketa elkarrekin biderkatzen direnean, haien biderkadura, neurketa-moten araberakoa izango da. Azterketa dimentsionalak ematen du teoria orokorra. Analisi hori fisikan aplikatu ohi da, baina finantzetan eta beste eremu batzuetan ere aplikatzen da.

Fisikan, adibidez, abiadura bider denbora egiteak distantzia ematen du. Adibidez:

50 kilometro orduko × 3 ordu = 150 kilometro.

Kasu horretan, ordu-unitateak ezeztatu egiten dira, eta biderketa kilometro-unitateekin uzten da bakarrik.

Unitateen biderketaren beste adibide batzuk:

2,5 metro × 4,5 metro = 11,25 metro karratu

11 metro/segundo × 9 segundo = 99 metro

4,5 pertsona etxebizitzako × 20 etxebizitza = 90 pertsona

Segida baten elementuen biderkadura

Pi letra larriaren notazioa

Segida baten elementuen biderkadura 𝚷 biderkaduraren sinboloarekin idatz daiteke. Notazio horren esanahia ondoko honetan ikusten da:

$\prod _{i=1}^{4}(i+1)=(1+1)\cdot (2+1)\cdot (3+1)\cdot (4+1)=120$

Idazkera horretan, $i$ aldagaiak zenbaki oso bat adierazten du, biderketa-indize deritzona, eta azpiindizean adierazitako 1 balio txikienetik goi-indizeak emandako 4 balio goreneraino doa. Biderkadura lortzeko, biderketa-indizea azpi- eta goi-indizeen arteko zenbaki oso bakoitzarekin ordezkatu eta elementu guztiak biderkatu behar dira. Oro har, honela definitzen da notazioa:

$\prod _{i=m}^{n}(x_{i})=x_{m}\cdot x_{m+1}\cdot x_{m+2}\cdot \ldots \cdot x_{n-1}\cdot x_{n}$

non $m$ eta $n$ zenbaki osoak diren.

$m=n$ denean, biderkaduraren balioa  $x_{m}$ balioa bera da; $m>n$ bada,

biderkadura 1 balioa da, elementuen adierazpena edozein dela ere.

Pi letra larriaren propietateak

Definizioz,

$\prod _{i=1}^{n}(x_{i})=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}$

Elementu guztiak berdinak badira, $n$ elementuen biderkadura esponentziazioaren baliokidea da:

$\prod _{i=1}^{n}(x_{i})=x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}$

Biderketaren elkartasunaren eta trukakortasunaren ondorioz,

$\prod _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\prod _{i=1}^{n}y_{i}{\bigg )}$beteko da,

eta $a$ zenbaki oso ez-negatiboa bada, edo $x_{i}$ guztiak zenbaki erreal positiboak badira,

${\bigg (}\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}^{a}=\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{a}$.

Biderkadura infinituak

Infinitu terminoko biderkadurak ere har daitezke; horiei produktu infinitu deritze. Notazio aldetik, $n$ goi-indizean infinituaren  sinboloaz ($\infty$) ordeztean datza. Sekuentzia infinitu horren biderkadura lehenengo $n$ gaien biderkaduraren limite gisa definitzen da, $n$ borne gabe hazi ahala. Hau da,

$\prod _{i=m}^{\infty }x_{i}=\lim _{n\to \infty }\prod _{i=m}^{n}x_{i}$.

Era berean, azpiindizean $m$ infinitu negatiboagatik ordezkatu daiteke, hurrengoa definituz:

$\prod _{i=-\infty }^{\infty }x_{i}={\bigg (}\lim _{m\to -\infty }\prod _{i=m}^{0}x_{i}{\bigg )}\cdot {\bigg (}\lim _{n\to \infty }\prod _{i=1}^{n}x_{i}{\bigg )}$

(hori egin ahal izateko bi limiteek existitu behar dute).

Berreketa

Berreketa bi zenbakiren, berrekizunaren eta berretzailearen, arteko eragiketa matematikoa da. Honela definitzen da a ber n berreketa, a berrekizuna edozein zenbaki eta n berretzailea zenbaki arrunta izanik:$$a^{n}=\underbrace {a\times a\times ...\times a} _{n\ {\text{aldiz}}}$$Adibidez, 2 ber 4:

$2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$, non 2 berrekizuna eta 4 berretzailea den.

Berretzailea 1 zenbakia denean:

$a^{1}=a$.

Berretzailea 2 denean, berriz, karratu hitza erabil daiteke, ber bi ordez (adibidez, 4² lau karratu edo lau ber bi esan daiteke).

Berretzailea 3 denean, aldiz, kubo hitza erabil daiteke, ber hiru ordez (adibidez, 4³ lau kubo edo lau ber hiru esan daiteke).

Propietateak

Zenbaki arrunt, oso, zatiki eta zenbaki erreal eta konplexuetarako, biderketak ezaugarri jakin batzuk ditu:

Propietate trukakorra

Biderkagaien ordenak ez dauka biderkaduran eraginik:$$x\cdot y=y\cdot x$$

Elkartze propietatea

Hainbat biderketa jarraian egiterakoan, eragiketen ordenak ez du eraginik emaitzan:$$(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$$

Banatze propietatea

Zenbaki bat batuketa batekin biderkatzea, zenbaki hori batugai bakoitzarekin biderkatu eta biderkadura hauek batzearen baliokidea da.$$x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z)$$

Elementu neutroa

Biderketarekiko elementu neutroa 1 da, edozein zenbaki 1ekin biderkatzen badugu zenbaki bera lortzen baita.$$x\cdot 1=x$$

Zeroren propietatea

Edozein zenbakiren eta zeroren arteko biderkadura 0 da.  

$$x\cdot 0=0$$

Ezeztapena    

Zenbaki baten eta -1en arteko biderkadura, zenbaki horren batuketarekiko alderantzizkoa da.  ${\textstyle (-1)\cdot x=(-x)}$ non $(-x)+x=0$.

Alderantzizko elementua  

Zenbaki guztiek, zerok izan ezik, biderketarekiko alderantzizkoa daukate, $1/x$,

$x\cdot (1/x)=1$  izanik.  

Ordenaren kontserbazioa  

Zenbaki positibo baten biderketak ordena gordetzen du, hau da, $a>0$ eta $b>c$ badira, orduan $a\cdot b>a\cdot c$.

Zenbaki negatibo batekin biderkatzeak,  berriz, ordena alderantzikatzen du, hots,

$a<0$ eta $b>c$ badira, orduan $a\cdot b<a\cdot c$.

Zenbaki konplexuek ez dute batuketarekin eta biderketarekin bateragarria den ordenarik.

Biderketa-eragiketa bat duten beste sistema matematiko batzuek baliteke propietate horiek guztiak ez izatea. Adibidez, biderketa ez da matrizeentzako trukakorra.

Eraztun trukakorrak

Eraztun trukakorrek biderketa eragiketa dute.

Kongruentzia klaseak

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ eraztunetan, kongruentzia klaseak biderkatu daitezke:$$(a+n\mathbb {Z} )\cdot (b+n\mathbb {Z} )=(a\cdot b)+n\mathbb {Z}$$

Polinomio eraztunak

Bi polinomioren arteko biderketa modu honetan definitzen da:$${\Biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}{\Biggr )}\cdot {\Biggl (}\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}{\Biggr )}=\sum _{k=0}^{n+m}c_{k}X^{k}$$non $c_{k}=\sum _{i+j=k}a_{i}\cdot b_{j}$ .

Biderketa aljebra linealean

Produktu edo biderketa mota asko daude aljebra linealean. Hurrengo ataletan, gai horien ikuspegi orokor labur bat eskaintzen da.

Biderketa eskalarra

Bektore-aljebran, biderketa eskalarra bi bektoreren arteko eragiketa mota bat da, emaitza moduan eskalar bat ematen duena. Oro har,

${\vec {x}}=(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ eta ${\vec {y}}=(y_{1},y_{2},...,y_{n})$ bektoreak emanda, ${\vec {x}}$ · ${\vec {y}}$ biderkadura eskalar "sinpleena", hau da, estandarra, honela definitzen da:$${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+...+x_{n}y_{n}$$Biderketa eskalarretik abiatuta, norma definitu daiteke:

$$\lVert x\rVert ={\sqrt {x\cdot x}}$$

Ikuspuntu geometrikotik, biderkadura eskalarra bektore bat bere gain proiektaturiko beste bektore batekin biderkatzean datza:$${\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\mid {\vec {x}}\mid \cdot \mid {\vec {y}}\mid \cdot \cos \beta$$

Biderketa bektoriala

Biderketa bektoriala hiru dimentsioko bektore-espazio batean definitzen den eragiketa bitarra da. Bi bektore harturik, haiekiko norabide elkarzuta duen bektorea du emaitza.

Biderketa bektoriala determinante baten gisa ere adieraz daiteke:$$\mid {\vec {x}}\times {\vec {y}}\mid ={\begin{vmatrix}i&j&k\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{vmatrix}}$$

Biderkaduraren modulua kalkulatzeko, biderkagaien moduluak eta bi bektoreen arteko angeluaren sinua biderkatzea nahikoa da:

$$\mid {\vec {x}}\times {\vec {y}}\mid =\mid {\vec {x}}\mid \mid {\vec {y}}\mid \sin \beta$$

Matrizeen biderketa

Bi matrizeren arteko biderketa definitu ahal izateko, lehenengo biderkagaia den matrizearen zutabe kopuruak bigarren biderkagaia den matrizearen errenkada kopuruarekin bat etorri behar du. Bi matrize emanik $A=(a_{i},_{j})_{i=1...s;j=1...r}\in \mathbb {R} ^{s\times r}$ eta $B=(b_{j},_{k})_{j=1...r;k=1...t}\in \mathbb {R} ^{r\times t}$

beraien arteko biderketa honela definitzen da:$$B\cdot A=(\sum _{k=1}^{r}a_{i},_{j}\cdot b_{j},_{k})_{i=1...s;k=1...t}\in \mathbb {R} ^{s\times t}.$$

Biderkadura kartesiarra

Multzo teorian, biderketa kartesiarra hainbat multzoren artean egiten den eragiketari deritzo, eta honen emaitza multzo berri bat izango da, n-kote ordenatuez osaturikoa.

Izan bitez $A$ eta $B$ bi multzo. Orduan, $A$ eta $B$-ren arteko biderkadura kartesiarra $A\times B$ izango da $(a,b)$ bikote ordenatu guztiekin osaturiko multzoa, $a\in A$ eta $b\in B$ izanik. Hau da, ${\textstyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\}}$.

Biderketa talde teorian

Multzo askok, biderketa eragiketarekiko , talde egitura definitzen duten axiomak betetzen dituzte. Axioma horiek honakoak dira: itxitura, elkartze propietatea, elementu neutroa (edo identitatea) izatea eta elementu guztiek alderantzizkoa  izatea.

Adibide sinple bat zenbaki arrazional ez-nuluen multzoa da. Talde hauetan 1 zenbakia identitatea da biderketarekiko (batuketarekin sortutako taldeetan ez bezala, hauetan identitatea 0 baita). Ohar bedi arrazionalen multzoan zeroa baztertu behar dugula; izan ere, biderketan, zerok ez du alderantzizkorik, hau da, ez dago zenbakirik zeroz biderkatu eta 1 emaitza lortuko denik. Adibide hau, gainera, talde abeldar bat dugu; baina hau ez da beti horrela izaten.

Biderketarekiko talde egitura duen beste adibide bat gorputz baten gaineko dimentsio jakin bateko matrize karratu alderantzikagarrien multzoa da. Hemen, erraz egiazta daitezke multzoaren itxitura, elkarkortasuna, identitatearen existentzia (identitate-matrizea) eta elementu guztiek alderantzizkoa dutela. Hala ere, matrizearen biderketa ez da trukakorra, eta horrek erakusten du talde hori ez dela abeldarra.

Ohartu zenbaki osoek ez dutela talde bat osatzen biderketarekin, ezta zeroa baztertzen badugu ere. Erraz ikus daiteke hori, 1 eta -1 elementuek izan ezik, beste elementu guztiek ez baitute alderantzizko elementurik biderketarekiko (zenbaki osoen multzoan).

Talde teorian, biderketa puntu batez edo justaposizioa erabiliz adierazten da. Beraz, a elementua b elementuaz biderkatzea a·b edo ab idazten da. Talde bat multzo eta eragiketa bidez adierazten bada, puntua erabiltzen da. Adibidez, ${\Bigl (}\mathbb {Q} /\{0\},\cdot {\Bigl )}$.